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MOVIMENTO DA ÁGUA NO SOLO
1 - Fluxo d'água em meios porosos
2 - Equação da continuidade
3 - Método da rede de fluxo
4 - Métodos Analíticos
5 - Métodos Numéricos
6 - Modelos de Fluxo
1 - Fluxo d'água em meios porosos
A energia potencial total que faz mover o fluido através do meio
poroso é constituída pela soma dos potenciais de:
- Gravidade;
- Pressão;
- Eletrostático;
- Térmico;
- Forças de natureza físico-química.
- Gravidade - a água fluirá das cotas mais elevadas para as mais
baixas.
- Pressão - do ponto de maior pressão para o de menor pressão.
- Eletrostático - fluxo do potencial mais elevado para o menor
(positivo para o negativo).
- Térmico - ponto de maior temperatura para o de menor
temperatura.
- Forças de natureza físico-química - atuam diretamente sobre as
partículas. Química: diferença de concentração de sais → do maior para
o menor.
A percolação provoca um conjunto de ações sobre o solo que
poderemos classificar como:
Levitação (levantamento) → a perda de peso por pressões
ascendentes devido a água.
Carreamento (“piping”) → arrastamento pelas forças de
percolação.
Erosão → arrastamento e arrancamento por trações devido à
lâmina d'água.
Necessidade de obras de proteção contra essas ações:
- Filtros
Regimes de escoamento: laminar e turbulento
Forma de energia: Teorema de Bernoulli
1 + 2 + 3 = z + u/γa + v
2
/2g = constante
v
2
/2g Î desprezível e z + u/γa = constante
O fluxo que entra no prisma nas três direções é:
dxdy δz
δh q KiA Kz
dxdz δy
δh q KiA Ky
dydz δx
δh q KiA Kx
z zz z
y yy y
x xx x
Onde:
h = carga hidráulica no ponto.
Kx, Ky e Kz = coeficientes de permeabilidade nas direções x, y e z.
O fluxo que deixa o prisma é:
dz dxdy z
h
z
hz q dq K i di A K
dy dxdz y
h
y
h q dq K i di A K
dx dydz x
h
x
h q dq K i di A K
z z z z z z z
y y y y y y y
x x x x x x x
2
2
2
2
2
2
Para o fluxo em regime permanente através de um meio
incompressível, o fluxo que entra em um prisma é igual ao que sai.
Continuidade do campo num espaço fechado ocorre quando não há
contribuição alguma à água do fluxo no interior do solo.
qx + qy + qz =( qx + dqx )+( qy + dqy )+( qz + dqz )
Assim:
2
2
2
2
2
2
h K y
h K x
h K x y z
que é a equação do fluxo tri-dimensional.
Para o fluxo bi-dimensional , a equação fica:
2
2
2
2
h K x
h K x y
Se o solo for isotrópico e homogêneo :
Kx = Kz = K
2
2
2
2
h
x
h
que é a Equação de Laplace.
A percolação da água no solo dá-se por efeito do potencial
gravitacional: Φ (x,z), ou potencial hidráulico.
Gradiente da posição → velocidade
As velocidades de Darcy são dadas por:
z
h V K z
x
h V K x
z
x
diferenciando-se as equações:
2
2
2
2
=
x δ z
Assim, Φ (x,z) satisfaz a equação de Laplace , ou seja:
x z Khx z g x
x z Khx z f z
z
p h
a
dz z
dx x
d
Como Φ é constante ao longo da curva , d Φ = 0 , então:
...( I )
Vz
Vx
z
x
dx
dz =− Φ
φ
Novamente, fazendo Ψ (x, z) ser a função do fluxo :
A função do fluxo é a curva , ou lugar geométrico dos pontos nos
quais a velocidade de Darcy é tangente à mesma em cada ponto.
z
h Vz K x
x
h Vx K z
Combinando-se as funções:
2
2 2
2
2
2
z x x z x
z x z
x z
Das equações acima:
2 2
2
2
2
2
=
x z x z δ x δ z
Então:
2
2
2
2
=
x δ z
o que satisfaz, também, a equação de Laplace.
Atribuindo-se vários valores para Ψ, Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ,....., tem-se também
uma família de curvas no plano x z.:
dz z
dx x
d
Se Ψ = constante ==> dΨ = 0. Assim:
.....( II )
Vx
Vz
z
x
dx
dz
Ψ
A declividade ( é na mesma direção da resultante da velocidade;
assim as curvas são
dzdx )Ψ
Ψ =Ψ 1 , Ψ 2 ,Ψ 3 ... linhas de fluxo ou corrente.
Comparando-se as equações (I) e (II), pode-se ver que as linhas
equipotenciais são ortogonais às linhas de fluxo.
Soluções da equação de Laplace:
a) Método gráfico da rede de fluxo
b) Métodos analíticos
c) Métodos numéricos
d) Métodos físicos ou analógicos
3 - Método da rede de fluxo
Método gráfico, cuja rapidez, economia e conveniência para
compreensão dos problemas, pelo engenheiro, é notável.
O traçado da rede de fluxo consiste na determinação de uma série de
equipotenciais igualmente intercaladas entre o potencial de entrada e o de
saída e outra série de linhas de fluxo, intercaladas igualmente de uma certa
fração constante da vazão total que percola através da seção em questão.
b = largura entre duas linhas equipotenciais
Da equação de Darcy:
a b
h Nd A K l
h q KiA K
L
Assim, a carga total por unidade de profundidade é:
Vazão por canal de fluxo:
Nd
Nf
b
a q qNf Kh
q q Nf
Onde:
Nf = número total de canais de fluxo
Para a = b (quadrados)
Nd
Nf q KhL
Onde ( Nf / Nd )= fator de forma
Considerando-se a anisotropia da permeabilidade no meio:
Utiliza-se do Artifício de Samsioe que consiste em transformar a escala
na qual se desenha a rede de fluxo, dividindo-se as distâncias horizontais por:
n = K max K min
A escala vertical continua a mesma.
Sobre a figura deformada traça-se a rede de fluxo pelo processo
gráfico apresentado (quadrângulos).
Assim, a quantidade percolada fica:
K .K h L Nd
Nf q = max min
Após a transformação, volta-se à escala original e redesenha-se a
rede de fluxo que agora ficará com a malha deformada (deixam de ser
quadrângulos e se transformam em losangos).
Dois problemas típicos de percolação que também podem ser
resolvidos através do traçado da rede de fluxo:
1 ° - Problema de Forchheimer :
É o caso de estacas-pranchas cravadas normalmente a um curso d'água
de largura indefinida, formando um represamento à montante no nível h 1 que
se comunica à jusante no nível h 2 , através de um substrato permeável de
profundidade indefinida.
Corresponde ao fluxo forçado em tubos de seção plena.
2 ° - Problema de Kozeny :
Corresponde à percolação d'água através de um solo, com coeficiente de
permeabilidade K, apoiado sobre uma camada impermeável (K = 0) e
desaguando num dreno (K = ∞).
O método dos fragmentos é um cálculo analítico para a solução de
problemas de fluxo confinado e tem a vantagem de ser rápido e fornecer uma
boa aproximação.
5 - Métodos numéricos
Possuem as vantagens de possibilitar a resolução de problemas em
condições mais complexas possíveis com introduções de variáveis para
verificação de seus efeitos nas conclusões finais.
O uso de computadores também facilita a solução dos problemas em
tempo hábil. Os métodos das diferenças finitas e de elementos finitos são
exemplos.
6 - Modelos de Fluxo
a) Modelo Físico: modelos reduzidos
b) Analogia Elétrica: o fluxo elétrico através de um condutor obedece à
equação de Laplace.
voltagem Î carga hidráulica
condutividade Î permeabilidade
corrente elétrica Î vazão.
Anexo:
Parábola de Kozeny :
A solução de Kozeny mostra que a linha de fluxo superior se aproxima
de uma parábola.
Equação da parábola: 0
2 2 x + y = x + y
A distância de um ponto qualquer da parábola à sua origem 0 (
2 2
x + y )
é igual a distância deste ponto à diretriz F da parábola ( x + y 0 ).
0
2 2
B + H = B + y Î y = B + H − B
2 2 0
Para o traçado da parábola:
x + y = x + B + H − B
2 2 2 2
