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Conceitos básicos da transformada de laplace, sua utilidade no resolvimento de equações diferenciais lineares e aplicação em sistemas de controle. O texto inclui definições, exemplos e exercícios.
Tipologia: Exercícios
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A Transformada de Laplace Exercício
Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Marco de 2012.
A Transformada de Laplace Exercício
(^1) Introdução
(^2) A Transformada de Laplace
(^3) Exercício
A Transformada de Laplace Exercício
Vamos def nir: (^1) f (t) é uma função do tempo t, tal que f (t) = 0 para t < 0. (^2) s é a variável complexa. (^3) L é um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele pref xa é para ser transformada pela integral Laplace
∞ e
−st (^) dt. (^4) F (s) é a transformada de Laplace de f (t). Então, a transformada de Laplace de f (t) é def nida por:
L[f (t)] = F (s) =
0
e−st^ [f (t)]dt =
0
f (t)e−st^ dt.
A Transformada de Laplace Exercício
Exemplo : Considere a função
f (t) = 0 , para t < 0 , = Ae−bt^ para t ≥ 0 ,
os termos A e b são constante. Assim a transformada de Laplace é obtida da seguinte maneira,
L[f (t)] = F (s) =
0
Ae−bt^ e−st^ dt,
F (s) =
0
Ae−(s+b)t^ dt,
F (s) =
s + b
A Transformada de Laplace Exercício
Transformada de Laplace: Degrau, Rampa e Senoide (t > 0 )
(^1) Degrau
f (t) = A, ⇒ L[f (t)] = F (s) =
s (^2) Rampa
f (t) = At, ⇒ L[f (t)] = F (s) =
s^2
(^3) Senoide
f (t) = Asen(ωt) ⇒ L[f (t)] = F (s) =
Aω s^2 + ω^2
A Transformada de Laplace Exercício
Teoremas da Transformada de Laplace (^1) Função Transladada: considere a função f (t − α).
L[f (t − α)] = e−αsF (s)
(^2) Multiplicação de f (t) por e−αt
L[e−αt^ f (t)] = F (s + α)
A Transformada de Laplace Exercício
Teorema do Valor Final Se f (t) e (^) dtd f (t) são transformáveis segundo Laplace, e se limt→∞ f (t) existe e se F (s) é analítica no semiplano direito do plano s, incluindo o eixo jω, exceto por um pólo simples na origem, então,
lim t→∞
f (t) = lim s→ 0
sF (s)
Teorema do Valor Inicial Se f (t) e (^) dtd f (t) são ambos transformáveis segundo Laplace, e se lims→ 0 F (s) existe, então,
f ( 0 +) = lim s→∞
sF (s)
A Transformada de Laplace Exercício
Teorema da Integração A transformada de Laplace da integral de f (t) é dada por,
f (t)dt
F (s) s
f −^1 ( 0 ) s
sendo f −^1 ( 0 ) =
f (t)dt, avaliada em t = 0.
Consideração
Se f (t) envolve uma função impulso, modif ca-se a equação anterior,
L+
[∫ f (t)dt
] = F^ ( ss )− f^
− (^1) ( (^0) +) s
L−
[∫ f (t)dt
] = F^ ( ss )− f^
− (^1) ( (^0) −) s
A Transformada de Laplace Exercício
Teorema da Derivada Complexa Se f (t) for transformável por Laplace, então, exceto nos pólos de F (s),
L[tf (t)] = −
d ds
F (s)
Generalizando,
L[tnf (t)] = (− 1 )n^
dn dsn^
F (s)
A Transformada de Laplace Exercício
Integrais de Convolução Considere o seguinte sistema descrito na forma de diagrama de blocos:
Entrada G(s) H(s)^
Saída
Neste caso temos,
Saída = Entrada(G(s)H(s)) ⇋ Domínio da Frequência
Entretanto se tivermos,
Entrada g(t) h(t)^
Saída
A Transformada de Laplace Exercício
A Transformada de Laplace Exercício
Transformada de Laplace Inversa O processo de transformar uma variável descrita no espaço frequencial para o espaço temporal e denominado de transformada inversa de Laplace, e sua denominação é:
L−^1
Matematicamente f (t) é determinado por meio de F (s) da seguinte maneira:
f (t) =
2 πj
∫ (^) c+jω
c−jω
F (s)est^ ds, t > 0. (1)
sendo c a abscissa de convergência uma constante real e escolhida como maior do que as partes reais de todos os pontos singulares de F (s).
A Transformada de Laplace Exercício
Consequentemente,
F (s) =
B(s) A(s)
K (s + z 1 )(s + z 2 ) · · · (s + zp) (s + p 1 )(s + p 2 ) · · · (s + pn)
F (s) tem Apenas Pólos Distintos Neste caso F (s) pode ser expandido em uma soma de simples frações parciais.
Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace da seguinte função:
F (s) =
s + 3 (s + 1 )(s + 2 )
Podemos expandir F (s) como,
F (s) =
a 1 s + 1
a 2 (s + 2 )
A Transformada de Laplace Exercício
Assim temos que determinar os valores de a 1 e a 2 , então,
a 1 = lim s→− 1
(s + 1 )(s + 3 ) (s + 1 )(s + 2 )
a 2 = lim s→− 2
(s + 2 )(s + 3 ) (s + 1 )(s + 2 )
Portanto,
f (t) = L−^1 [F (s)] = L−^1
s + 1
s + 2
Assim,
f (t) = 2 e−t^ − e−^2 t
