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Teoria dos conjuntos
No estudo dos conjuntos numéricos utilizaremos uma linguagem matemática adequada. Por
esse motivo vamos rever alguns itens da teoria dos conjuntos
Símbolos lógico
com o auxilio dos símbolos lógico , como estes que descrevemos abaixo a linguagem
matemática torna-se mais simples.
Conjunto
Podemos pensar em conjunto como sendo uma colecção de objectos , de números de letras
etc.
Exemplo:
➢ Um time de futebol é um conjunto de vários jogadores.
➢ Os números 1,3,5,7 formam o conjunto dos números naturais ímpares
Elementos:
Os objectos, números , pessoas etc. que fazem parte de um conjunto são os elementos desse
conjunto.
Indicamos o conjunto por letras maiúsculas os elementos por letras minúsculas do nosso
alfabeto.
Relação de pertinência
se uma pessoa é um elemento de um conjunto , dizemos que ela pertence a esse conjunto.
de modo geral, se um elemento qualquer a for parte de um conjunto A dizemos que a
pertence a um conjunto A e indica-se por :
Representação de um conjunto
Podemos representar o conjunto de várias maneiras.
Representação de um conjunto pela enumeração dos seus elementos
Exemplos:
a) Conjunto A dos, divisores positivos de 20 , maiores que 2 e menores que 16
b) Conjunto B dos números naturais pares:
As reticências no conjunto indicam que ele é infinito
Representação de um conjunto por uma propriedade comum a todos os seus elementos
para representar um conjunto C por meio de uma propriedade P , comum a todos os seus
elementos , usamos seguinte notação:
O símbolo 𝘭 significa tal que
Lê-se C é o conjunto dos elementos x tal que x obedece a propriedade P
Exemplos:
a) Se 𝐴 = {𝑥 𝘭 𝑥 é 𝑚ê𝑠 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚 } , então:
𝑚𝑎𝑟ç𝑜 𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜
b) Se 𝐵 = {𝑥 𝘭 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 10 },então
Representação de um conjunto por um diagrama
Um conjunto pode ser representado por um diagrama que facilita a visualização das suas
propriedades. Esses diagramas são conhecidos como diagrama de Euler ou de Venn e foi
introduzido por Euler na obra Carta a uma princesa da Alemanha, por volta de 1770.
Os elementos do conjunto A são representados por pontos da região interior de uma linha
fechada. Verificando a relação de pertinência no diagrama ao lado temos:
a
d
b
c
A
Observação:
1 - O sinal ⊂ é denominado sinal de inclusão ,e a relação de inclusão só se aplica entre
conjuntos;
2 - A ⊄B significa que A não esta contido em B;
3 - B ⊅ A não contem A;
4 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
Igualdade de conjunto
Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se , A ⊂ B E B ⊂ 𝐴 indicamos essa igualdade por :
A = B
Ou seja 𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀ 𝑥
Exemplo :
1 - Se 𝑨 =
e 𝑩 =
, então A = B
2 - Se 𝑩 = { 0 , , 1 , 2 , 3 , 4 … } e B = {𝑥 𝘭 𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙} então A=B
Note que, nos dois exemplos anteriores, todos os elementos do conjunto A são
elementos de B e que todos os elementos de B são elementos de A. Isso garante a
igualdade entre conjunto A e B
Intersecção de conjunto
Dados dois conjuntos A e B denomina-se intersecção de conjunto de A com B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. E indicamos essa
operação por 𝐴 ∩ 𝐵.
Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos
Propriedades
União (ou reunião ) de conjunto
Dados dois conjuntos A e B denomina-se União (ou reunião ) de A com B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. E indicamos essa operação
por 𝐴 ∪ 𝐵.
Propriedades
Conjunto diferença
Dados dois conjuntos A e B denomina-se conjunto diferença de A e B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem ao conjunto A que não pertencem ao conjunto conjunto B. E
indicamos essa operação por 𝐴 − 𝐵.
Complementar de um conjunto em relação ao outro
Dados dois conjuntos A e B , com B ⊂ A, denomina-se complementar de B em relação a A ao
conjunto A-B. E indicamos essa operação por ∁
𝐴
𝐵
= 𝐴 − 𝐵, com B ⊂A
Exemplo
1 - Dado o conjunto A 𝐴 = {𝑥 𝘭 𝑥 é 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑛𝑜𝑠𝑠𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 } , 𝐵 = {𝑥 𝘭 𝑥 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑎𝑛𝑡𝑒 }
Temos: ∁
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
Conjunto numérico
Conjunto dos números naturais: os números naturais foram os primeiros a ser idealizados
pelo homem. Nasceram da necessidade de contar unidades.
Enumerando os elementos do conjunto dos números naturais temos:
Representando alguns dos primeiros elementos numa recta numérica temos:
Subconjunto de N
O conjunto 𝑁
∗
é subconjunto de N (𝑁
∗
⊂ 𝑁) e 𝑁
∗
Conjunto dos números inteiros
Representando alguns numa recta temos
Determina a fracção geratriz das dizimas :
a) 0,232323…
b) 0,03131…
Solução
a) Chamando x a fracção geratriz de 0,232323… temos :
x = 0 , 232323 … , vamos multiplicar essa igualdade por 100, posicionando ,assim a
virgula após o primeiro período 100 x = 23 , 2323 …
subtraímos ambos os membros por x teremos : 100 x − x = 23 , 2323 … − 0 , 2323 …
99 x = 23 , x =
23
99
, portanto
23
99
é a fracção geratriz da dizima 0,2323…
b) Chamando x a fracção geratriz de 0,03131… temos :
x = 0 , 03131 … , vamos multiplicar essa igualdade por 10, posicionando ,assim a
virgula antes do primeiro período 10 x = 0 , 3131 … , (1)multiplicamos por 100 ambos
os membros , para posicionar a virgula logo após o primeiro período
1000 x = 31 , 3131 …, (2). subtraindo 2 por (1) 1000 𝑥 − 10 x = 31 , 3131 − 0 , 3131 …
990 x = 31 , x =
31
990
, portanto
31
990
é a fracção geratriz da dizima 0,03131…
Todo o número inteiro é também um numero racional. portanto o conjunto dos números
inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q)
Observe que N⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄
Os subconjuntos de Q são os seguintes: 𝑄
∗
−
∗
−
∗
Escolhemos alguns dos números racionais e representamos na recta
Números irracionais
A medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo de catetos com unidades unitárias é o
número irracional √ 2 = 1 , 14142135 …. , 𝜋 = 3 , 14155926 …
Observe que todo o número irracional está representado na forma decimal, com infinitos
algarismos , e não apresenta periodicidade
Conjunto dos número reais (R)
A reunião do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais constitui
o conjunto dos números reais , que é indicado por R. então podemos escrever :
𝑥: 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Subconjunto de R
Os conjuntos N,Z,Q, 𝑄
são subconjunto de R então ,
São também subconjunto de R os conjuntos :
∗
−
∗
−
∗
Com o auxilio do diagrama podemos ilustrar a a relação de inclusão entre os conjuntos da
seguinte forma :
Recta real
Intervalos
Vamos ver agora alguns subconjunto de R , indicado por desigualdade, denominados
intervalos.
Dado dois conjuntos reais a e b , sendo 𝑎 < 𝑏 vamos definir os seguintes intervalos :
Intervalos abertos de extremos de a e b é o conjunto :
]
[
Representação geométrica
