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Cálculo Numérico Eng Elétrica e Computação Noções básicas sobre erros O processo de solução de um problema, por meio da aplicação de métodos numéricos, é representado da seguinte forma: e erros na fase de modelagem Muitas vezes são necessários fazer simplificações quando se trabalha com fenômenos do mundo físico para que posssa utilizar-se de um modelo matemático. E Para o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante, têm-se: 1 d=do+wt+ uia (+) d - distância percorrida do - distância inicial “5 - velocidade inicial t - tempo a - aceleração constante Suponha que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício e que para isso disponha de uma bolinha de metal, um cronômetro e a fórmula (*). Ele sobe ao topo do edifício « mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos. Estes resultados não são confiáveis, pois ao utilizar um modelo matemático não foram consideradas forças como; resistência do ar, velocidade do vento, etc. Além dessas for existe a precisão da leitura do cronômetro € o erro humano ao acionar. Cálculo Numérico Eng Elétrica e Computação e erros na fase de resolução São erros provenientes da utilização de instrumentos de cáleulo, por exemplo, um computador, para solução do problema através de modelos matemáticos. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada. para. armazenar os dígitos signifi >, mul- tivos provenientes das operações elementares de adi o. tiplicação, subtração e di e erros de mudança de base e erros de representação e erros de mudança de base A maioria dos equipamentos computacionais representam os valores numéricos no sistema binário. Conversão da base decimal para binária m > q;.2º onde: a; são 0 ou 1, nem números inteiros, n<0em>0 (1) i=m 2. (296) = ()» Cálculo Numérico Eng Elétrica e Computação Conversão da base binária para decimal EX.: 1. (1010010), =1xP+0x2+1x2+0x2 40x 41x = 2. (101011) = 3. (11001010110), — e Aritmética de ponto flutuante Num computador ou calculadora representa-se um nº real no sistema conhecido por aritmética de ponto flutuante. Nessa aritmética o nº será representado por: 2 = (didods.. do) x 2º (2) 8 é a base que a máquina opera t é o número de dígitos na mantissa 0 Sem <| x |< AM E : = 233,68 ele pode ser representado por (2) caso 2> Se [x | Se [2 |> M = 0,248 x 10º. “Também não pode ser representado, pois o expoente é maior que À máquina acusa um overflow, (3 E 5. OBS Precisão dupla: a máquina representa o número com o dobro de dígitos disponíveis para mantissa. EXERCÍCIO: Dar a representação dos nº num sistema de aritmética de ponto flutu- ante de três dígitos para ; I)em=-deM=d4 representação obtida | representação obtida por arredondamento por truncamento 3924.0036 =di3T.IZ 1.85288 0.0000564247 7623594 36.1572 0,0027589 0.000000369 876189,23 2345.809 Cálculo Numérico Eng Elétrica e Computação e erro de truncamento: Quando representamos uma função através de uma série infinita e devido ao nº de dígitos que o sistema de armazenamento da máquina opera em aritinética de ponto flu- tuante, considerarmos apenas um nºfinito de termos, dizemos que estamos cometendo vm erro de truncamento. s erro de arredondamento: Quando utilizamos equipamentos computacionais para processar uma determinada operação aritinética, se o nº obtido não pertencer as regiões de underflow ou overlow e este não pode ser representado no sistema de ponto flutuante, deve-se aproximar o número de tal forma que ele possa ser representado no sistema de ponto flutuante. Esta aproximação é denominada como arredondamento do número real, seguindo as reg arredondamento. OBS: Apesar do arredondamento acarretar erros menores, ele usa um maior tempo de execução e, por isso, O truncarnento é mais utilizado. Exercício: 1. Escreva (637.581) 1 na forma de ponto flutuante na base 10, com 3 dígitos. 2. Escreva o número (482.461), na forma de ponto flutuante na base 2. Cálculo Numérico Eng Elétrica e Computação Operações de ponto flutuante adição Para cfetuar à soma de dois números, alinha-se os pontos, colocando os dois números com o expoente igual ao maior dos dois e soma as mantissas. subtração Se » É y, a máquina alinha os pontos como na soma e subtraí a man tis- sa de x da de y. multiplicação A máquina multiplica as mantissas e soma os expoentes. O sinal da operação segue a regra dos sinais da aritmética usual. divisão Para cfetuar x:/y, divide-se a mantissa de x pela de y e subtrai o expoente de y do de x. O sinal do resultado segue a mesma regra do sinal de operaç ºs usuais. Dado x = 0.8967 x 101 e y = 0.º tema. que trabalha. com £ px? obterz+Hyr-ye y. considerando 
