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NP 007 - SINAIS E SISTEMAS

Nota de Aula – I – SINAIS E SISTEMAS

1. Introdução

Esta seção tem o objetivo de mostrar ao aluno, conceitos necessários para o tratamento com Séries de Fourier e Integrais de Fourier e Laplace. Nas próximas notas de aula começaremos a análise da série de da transformada de Fourier.

2. Sinais

2.1 Sistema de Comunicação Um sistema básico de comunicação é composto por transmissor, canal e receptor, conforme mostra a figura a seguir:

Estação Trasnmissora Estação Receptora

CANAL

Figura 1 – Sistema de Comunicação Este tipo de transmissão pode ser modelado matematicamente como: x(t) y(t)

X(f) Y(f)=X(f).H(f) Y(f)

y(t)=x(t)*h(t)

Figura 2 – Representação de um sistema O sistema acima permite esclarecer em grande parte o motivo de realizaremos a análise de Fourier e Laplace.

b) Sinais pares e ímpares Par - x(-t) = x(t) , para todo t Ímpar - x(-t) = -x(t) , para todo t

c) Sinais periódicos e não periódicos Periódico - x(t) = x(t+T) , para todo t Aperiódico- qualquer sinal x(t) para o qual não haja nenhum valor de T para satisfazer a condição da equação acima. A figura abaixo mostra: a) sinal periódico, b) sinal não periódico x(t)

t -1 0 T

A

x(t)

0 T 1

A

t

(a) (b) Figura 5 - Onda quadrada com amplitude A, período T. Pulso retangular de amplitude A e duração T 1.

d) Sinais determinísticos e aleatórios Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer tempo. Consequentemente, consideramos que os sinais determinísticos podem ser modelados como funções de tempo completamente especificadas. Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência real. Este tipo de sinal pode ser visto como pertencente a um grupo de sinais tendo cada sinal do conjunto uma forma de onda diferente. O conjunto de cada sinal dentro do conjunto tem certa probabilidade de ocorrência. O conjunto desses sinais é chamado processo aleatório. O ruído gerado no amplificador de um receptor de rádio ou televisão é um exemplo de sinal aleatório.

e) Sinais de energia e sinais de potência

( )^
( )

∞ →∞ (^) − −∞ E = x tdt = x tdt

T T T

/ (^22) / 2

lim^2

( )^
( ) →∞ (^) − −

/ 2 / 2

/ (^22) / 2

lim^12 1^ T T

T T (^) T P T x tdt T x tdt

Um sinal é chamado de sinal de energia se e somente se a energia total do sinal satisfizer a condição: 0 < E < ∞ Um sinal é chamado de sinal de potência se e somente se a potência média do sinal satisfizer a seguinte condição: 0 < P < ∞ As classificações de energia e potência de sinais são mutuamente exclusivas. Em especial, um sinal de energia tem potência média zero, enquanto que um sinal de potência tem energia infinita. É interessante observar também que sinais periódicos e sinais aleatórios normalmente são vistos como sinais de potência, enquanto que os sinais que são tanto determinísticos como não periódicos são sinais de energia.

2.3 Operações básicas em Sinais a) Operação executadas na variáveis dependentes 1- Mudança de escala de amplitude : Se x(t) representa um sinal de tempo contínuo, o sinal y(t) resultante da mudança de escala da amplitude aplicada a x(t) é definida por:

y^ (^ t )^ = cx (^ t )

Em que c é o fator de mudança de escala. Um exemplo físico de um dispositivo que executa mudança de escala de amplitude é um amplificador eletrônico.

2 - Adição : Digamos que x 1 ( t ) ex 2 ( t )representem um par de sinais de tempo

contínuo. O sinal y ( t )obtido pela adição de x 1 ( t ) ex 2 ( t )é definido por:

y ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t )

Um exemplo físico de dispositivo que adiciona sinais é o misturador de áudio, o qual combina sinais de música e de voz.

v ( ) t C i ( )τ d τ

t

−∞

i(t)

v(t)

C

Figura 7 - Capacitor com corrente i(t) induzindo a tensão v(t) em seus terminais. b) Operação realizadas na variável independente 1 - Mudança de escala de tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo contínuo. O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável independente, tempo t por um fator α, é definido por :

y ( t ) = x ( α t )

Se α>1, o sinal y(t) é uma versão comprimida de x(t). Se, por outro lado, 0<α<1, ο sinal y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t). Estas duas operações são ilustradas na figura 8.

1

-1 0 1 t

1

0 t

1

-2 0 2 t 2 − 1 2

1

x ( t ) y ( t )= x ( 2 t ) y ( t )= x ( 21 t )

(a) (^) (b) (c)

Figura 8 - Operação de mudança de escala de tempo: (a) sinal de tempo contínuo x(t) , (b) versão comprimida de x(t) por um fator de 2, e (c) versão expandida de x(t) por um fator de 2. 2 - Reflexão : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo contínuo. Se y(t) representa o sinal observado substituindo-se o tempo t por –t , como é mostrado por:

y ( t ) = x ( − t )

O sinal y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo de amplitude. O dois casos a seguir são de especial interesse:

a) Sinais pares, para os quais temos x(-t) = x(t) para todo tempo t; ou seja, um sinal par é o mesmo que sua versão refletida. b) Sinais ímpares, para os quais temos x(-t) = -x(t) para todo tempo t; ou seja, um sinal ímpar é o negativo de sua versão refletida. 3 - Deslocamento no tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo contínuo. A versão de x(t) deslocado no tempo é definido por:

y ( t ) = x ( t − t 0 )

Em que t 0 é o deslocamento de tempo. Se t (^) 0 >0, a forma de onda que representa

x(t) é deslocada para a direita(atrasada), em relação ao eixo de tempo. Se t 0 <0, ela é

deslocada para a esquerda(adiantada). 4 – Regra de procedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo. Digamos que y(t) represente um sinal de tempo contínuo que é derivado de outro sinal de tempo contínuo x(t) através de uma combinação de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo, como descrevemos aqui:

y ( t ) = x ( at − b )

Esta relação entre y(t) e x(t) satisfaz as seguintes condições:

y ( 0 ) = x (− b )

y ba = x ( 0 ) 

As quais permitem verificações úteis em y(t) em termos de valores correspondentes de x(t). Devemos assim estabelecer uma ordem correta para realizar estas operações. A ordem apropriada baseia-se no fato de que a operação de mudança

de escala sempre substitui t por α t, enquanto a operação de deslocamento no tempo

sempre substitui t por t-b. Deste modo, a operação de deslocamento no tempo é executada primeiro em x(t) , resultando em um sinal intermediário v(t) definido por:

v ( t ) = x ( t − b )

O deslocamento no tempo substituiu t em x(t) por t-b. Em seguida, a operação de

mudança de escala de tempo é executada em v(t). Esta substitui t por α t , resultando na

saída desejada

0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1

2

2.5^3

4

5

x(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 (^1) tempo t(s) 5

10

15

20

25

30

35

40

x(t)

tempo t(s) (a) (b)

Figura 10 - (a)Forma exponencial crescente de sinal de tempo contínuo. (b)Forma exponencial decrescente de sinal de tempo contínuo.

b) Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido A multiplicação de um sinal senoidal por um sinal exponencial decrescente de valor real resulta em um novo sinal, denominado sinal senoidal exponencial amortecido.

Especialmente multiplicar o sinal exponencial de tempo contínuo A sen( wt + φ) pelo

exponencial (^) e −^ α^ t resulta no sinal senoidal exponencial amortecido:

x ( t ) = Ae −^ α t^ sen( wt +φ), α> 0

A figura 11 mostra a forma de onda do sinal do sinal correspondente a A=60 ,

α = 6 e φ= 0. Para o tempo crescente^ t , a amplitude da oscilação senoidal decrescente

de maneira exponencial, aproximando-se de zero no tempo infinito.

-40 0 0.2 (^) 0.4 0.6 0.8 1

0 10

20

30 40

50 60

Figura 11 – Sinal senoidal exponencialmente amortecido e^ α t^ sen( wt ), com α > 0.

Os demais tipos de sinais serão tratados nos próximas capítulos.

3. Funções Singulares

3.1 Função Degrau

U − 1 ( t ) ou u ( t )

1 ( )^10 ,, 00 = →Descontínua (a)

− (^) t t o U t t

1 (^ )^10 ,, = →Descontínua (b)

− (^) t a t a U t a t a

* 1 ( ) 0 ,, = →Descontínua (c)

− (^) At a t a A U t a t a

U-1(t)

t

U-1(t-a)

a

1

t

A*U-1(t-a)

a

A

t

1

(a) (b) (c) Figura 12 – Função degrau 3.2 Função Rampa

U − 2 ( t ) ou r ( t )

U − 2 ( ) t 0 t ,,^ tt 00 = tU − 1 ( ) t (a)

U 2 ( t a ) 0 t ,^ a , tt aa =( t − a ) U 1 ( t − a ) (b)

− −

U-2(t)

t

U-2(t-a)

a

t (a) (b)

Figura 13 – Função Rampa

3.5 Diagrama Representativo das Funções Singulares

U-2(t) U-1(t)

U-3(t)

-3 (^0)

Uo(t)

1 2

UN(t)

-1 n

U 1 (t) U 2 (t)

s ( t ) r ( t ) u ( t^ ) δ ( t ) δ '( ) t δ''( ) t

Figura 16 – Funções Singulares 3.6 Decomposição em Funções Singulares Seja a seguinte função f(t) : 1

0 1 2 3 4 5

f(t)

t

1

0 1 2 3 4 5

f'(t)

t

1

4

2 3 0

1 5

• 1

f''(t)

t

2U 0 (t-4)

-U 0 (t-1) -U 0 (t-2) -U 0 (t-5)

U 0 (t)

Figura 17 – Decomposição em funções singulares Após derivarmos a função f(t) , o segundo passo é integrar o mesmo no^ de vezes que derivamos:

f ''^ ( ) t = U 0 ( ) t − U 0 ( t − 1 ) − U 0 ( t − 2 ) + 2 U 0 ( t − 4 ) − U 0 ( t − 5 ), logo:

f ( t ) = U − 2 ( t ) − U − 2 ( t − 1 ) − U − 2 ( t − 2 ) + 2 U − 2 ( t − 4 ) − U − 2 ( t − 5 )

realizando a síntese da função, teremos:

f ( t ) = U − 2 ( t ) − U − 2 ( t − 1 ) − U − 2 ( t − 2 ) + 2 U − 2 ( t − 4 ) − U − 2 ( t − 5 )

f ( t ) = tU − 1 ( t ) −( t − 1 ) U − 1 ( t − 1 ) −( t − 2 ) U − 1 ( t − 2 ) + 2 ( t − 4 ) U − 1 ( t − 4 ) −( t − 5 ) U − 1 ( t − 5 )

t

t t

t t

t

t t

t

f t

___________________________________________________________

Prg – MatLab para geração de uma função impulso e uma função degrau, com possibilidade de deslocamento no tempo. Programa - Matlab Função Degrau function [x,n] = degrau(n0,n1,n2) % Gera x(n) = degrau(n-n0); n1 <= n,n0 <= n % [x,n] = degrau(n0,n1,n2) if((shift < n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2') end n = ([n1:n2]); x = ([(n-shift) >= 0]); axes('position',[0.05 0.05 0.6 0.4]); plot(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('degrau unitario'); title('degrau unitario deslocado no tempo') Função Impulso function [x,n] = impseq(shift,n1,n2) % Gera x(n) = delta(n-n0); n1 <= n,n0 <= n % [x,n] = impulso(n0,n1,n2) if((shift< n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2') end n =([(n1):(n2)]), x =([(n-(shift)) == 0]), axes('position',[0.05 0.57 0.6 0.4]) stem(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('impulso unitario'); title('impuso unitario deslocado no tempo')

---

• Utilizando os seguintes operadores : Re(.) e Im(.) obtém-se uma separação do número complexo em parte real e imaginária respectivamente.

Re 3 , Im 5

Re 4 , Im 2

Re 2 , Im 6

= = −

C C

B B

A A

• O operador Im(.) não inclui o j : Im(2+j6) é igual a 6 , e não j.
• Uma das finalidades dos números complexos é meramente providenciar um modo formalizado de guardar duas componentes num único vetor.

4.1.2. - Propriedades

• Adição

( a + jb ) +( c + jd ) =( a + c ) + j ( b + d )

• Subtração

( a + jb ) −( c + jd ) =( a − c ) + j ( b − d )

• Multiplicação

( a + jb ).( c + jd ) =( ac − bd ) + j ( bc + ad )

• Divisão

(^2 2) c (^2) d 2 j bc ad c d

ac bd c jd

a jb

As próximas propriedades são derivadas pela “quebra” de cada uma das variáveis dentro de partes reais e imaginárias. Trabalhando com álgebra obtemos:

• Comutativa AB = BA
• Associativa

( A + B ) + C = A +( B + C )

• Distributiva

A^ (^ B + C )^ = AB + AC

4.1.3. - Manipulação

• 1. − 1 = j , j^2 =− 1 , j^3 =− j , j^4 = 1
• 2. Eliminando o termo do denominador de uma fração.
  • É realizado pela multiplicação do numerador e denominador pelo termo chamado complexo conjugado.
  • Complexo conjugado é o nome geral dado quando comutamos o sinal da parte imaginária do número complexo. Exemplo: Z = a + jb Z *= a − jb Z = a + jb = rej θ^^ Z *= a − jb = re − j^ θ
• O produto de um número complexo por seu conjugado é sempre um número real.

4.1.4. - Representação

• Notação : - Retangular
  • Polar 4.1.4.1. – Retangular

Z = a + jb =Re ( Z ) + j Im( Z )

4.1.4.2. – Polar

Z

arctg Z

M Z Z

Z M

Re

Im

Re 2 Im( )^2

• Magnitude Comprimento do vetor começando na origem e terminando no ponto complexo.
• Angulo de fase Medida entre este vetor e o eixo real positivo.

Reescrevendo a + jb = M ( cos( θ ) + j sen( θ ))usando Euler, resulta no mais útil

modo de expressar um número na notação polar, denominado exponencial complexa. a + jb = M ej^ θ Ou

a + jb = Mej^ θ^^ = M ∠θ= M ( cos ( θ ) + j sen( θ ))

Números complexos nesta forma são utilizados na matemática para modelar sistemas em comunicações. Uma das razões da utilização desta forma exponencial, é o fato de ser muito simples de multiplicar e dividir números complexos.

• Multiplicação M 1 ej θ^^1 ⋅ M 2 ej θ^2 = M 1 M 2 ej^ (θ^1 +^ θ^2 )
• Divisão ( 1 2 ) 2

1 2

1 2

(^1) θθ^  θ−^ θ 

=  j j

j MMee MM^ e

Para a Adição e subtração é mais conveniente convertermos para a forma retangular, realizando as operações necessárias, e depois reconverter para a forma polar.

4.1.6. - Identidades Importantes Z. Z *= M^2

Re ( Z ) Z 2 Z Im( Z ) Z 2 jZ

cos ( ) 2

θ θ

e j^ + e −^ j

( ) e^ je

j j sen 2

θ θ

−^ −

e Z^ = ex .( cos ( y ) + j sen( y ))

4.1.7. - Representação Complexa de Senóides Em eletrônica e processamento de sinais, os números complexos são muito importantes porque eles são um modo compacto para representar e manipular a mais útil de todas as formas de onda: seno e coseno Forma convencional de representar uma senóide:

cos ( ) sen( ) Retangular

cos Polar

A wt B wt

M wt φ

A a e B -b

(representaçãoconvencional) (númerocomplexo)

cos sen Retangular

↔ ↔

A wt + B wt ⇔ a + jb

Isto não é uma equação, mas sim um modo de fazer um número complexo representar uma senóide.

φ^ θ

M M e -

(representaçãoconvencional) (númerocomplexo)

cos Polar

↔ ↔

M wt + ⇔ M ej

Estas mudanças no sinal da parte imaginária e o ângulo de fase é realizada para a substituição aparecer na mesma forma da transformada complexa de Fourier. Isto pode é permitido pois muitas das regras e leis que governam os números complexos são as mesmas que governam as senóides. Porém, duas condições devem ser satisfeitas:

1. Todas as senóides precisam ter a mesma freqüência.
2. As operações representadas precisam ser lineares. Ex: convolução, análise de Fourier.