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raizes de funcoesfdgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfgdfdfgdfg
Tipologia: Exercícios
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(Última revisão em novembro de 2013)
Conforme mostrado nas figuras 1.2.a e 1.2.b, estas duas condições não são equivalentes.
Figura 1.2.a Figura 1.2.b
A figura 1.2.a apresenta a situação em que a condição (i) é satisfeita e a (ii) não. Na figura 2.1.b é mostrado o caso contrário.
1.2 - Raiz múltipla Uma raiz, , de uma equação f(x) = 0, tem multiplicidade m se:
f() = f ´() = f ´´() = ... =f m^ –^ 1() = 0 e f m() ≠ 0
Onde f j^ (), j = 1, 2, ..., m; é a derivada de ordem j da função y = f(x) calculada no ponto .
Exemplo – 1. Sabendo-se que = 2 é uma raiz da equação f(x) = x^4 – 5.x^3 + 6.x^2 + 4.x – 8 = 0, determi- nar a sua multiplicidade. Solução f(2) = 0 f ´(x) = 4.x^3 - 15.x^2 + 12.x + 4 f ´(2) = 0 f ´´(x) = 12.x^2 - 30.x + 12 f ´´(2) = 0 f ´´´(x) = 24.x - 30 f ´´´(2) ≠ 0
Portanto, = 2 é uma raiz com multiplicidade 3. A figura 1.3 ilustra o comportamento da função polinomial no intervalo [-1,5; 3].
Figura 1.3: a função f(x) = x^4 – 5.x^3 + 6.x^2 + 4.x – 8
Exemplo – 1. Verificar qual é a multiplicidade da raiz = 0 da equação f(x) = sen^2 (x) – x.sen(x) + 0,25.x^2 = 0 Solução f ‘(x) = 2.sen(x).cos(x) – sen(x) – x.cos(x) + 0,5.x f ‘(0) = 0 f ‘’(x) = -2.sen^2 (x) + x.sen(x) + 2.cos^2 (x) – 2.cos(x) + 0,5 f ‘’(0) = 0, Portanto, = 0 é uma raiz com multiplicidade 2. A figura 1.4 mostra o comportamento da função no intervalo [-4, 4].
Figura 1.4: a função f(x) = sen^2 (x) – x.sen(x) + 0,25.x^2 Observe-se que a equação possui outras duas raízes múltiplas cujos valores aproximados são 1,8954943 e -1,8954943.
Com base neste resultado, pode-se concluir que uma forma de isolar as raízes é a utilização de uma tabela de pontos [xi, f(xi)], i = 1, 2, ..., n.
Exemplo – 2. Isolar as raízes positivas da equação f(x) = x^5 – 6.x^4 – 14.x^3 + 72.x^2 + 44.x - 180 = 0. Sabendo-se que elas são em número de três e estão situadas no intervalo (0, 7) Solução Inicialmente, estabelece-se um passo h = 1 e gera-se uma tabela de pontos.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -180 - 83 20 - 21 - 260 - 535 - 348 1255
Tendo em vista que f(1) × f(2) < 0, f(2) × f(3) < 0 e f(6) × f(7) < 0 e considerando o Teo- rema 2.1, conclui-se que a equação dada tem uma raiz em cada um dos intervalos: (1, 2), (2, 3) e (6, 7).
Outra maneira de isolar as raízes de uma equação f(x) = 0 é fazer uma análise teórica e gráfica da função que dá origem a ela. Para a análise gráfica pode ser utilizado um dos pro- cedimentos a seguir.
Procedimento I: Esboçar o gráfico de y = f(x), com o objetivo de detectar intervalos que contenham, cada um, uma única raiz.
Exemplo – 2. Seja a equação f(x) = x^3 – 9.x + 3 = 0. Conforme mostra a figura 2.3, ela tem três raízes isoladas nos intervalos (-4, -3); (0, 1) e (2,3).
Figura 2.3: Isolamento das raízes da equação f(x) = x^3 – 9.x + 3 = 0
Procedimento II: (i) Transformar a equação f(x) = 0, na forma equivalente f(x) = g(x) – h(x) = 0, o que leva a g(x) = h(x). O objetivo é obter duas funções, y = g(x) e y = h(x), que sejam conhecidas e mais simples do que y = f(x). (ii) Construir os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de eixos cartesianos. (iii) Detectar intervalos que contenham, cada um, uma abscissa de ponto de interseção en- tre y = g(x) e y = h(x). Estas abscissas são raízes de f(x) = 0. Com efeito, sejam xi os pontos de interseção dos gráficos de y = g(x) e y = h(x). Logo: g(xi) = h(xi) g(xi) − h(xi) = 0 Como f(x) = (g − h)(x) = g(x) − h(x) x então: g(xi) − h(xi) = f(xi) Sendo g(xi) − h(xi) = 0 resulta que f(xi) = 0, isto é, os valores xi são as raízes de f(x) = 0.
Exemplo – 2. Seja a equação f(x) = ex^ + x^2 – 2 = 0. Solução f(x) = 0 ex^ + x^2 – 2 = 0 ex^ = 2 - x^2 Assim tem-se que g(x) = ex^ e h(x) = 2 - x^2
Figura 2.4: Isolamento das raízes da equação f(x) = ex^ + x^2 – 2 = 0
Logo, conclui-se que a equação possui uma raiz em cada um dos intervalos:
(- , 0) e (0, )
É interessante considerar o fato de que existem equações transcendentes que não possuem um número finito de raízes. Esta situação é ilustrada no exemplo 2.4.
Teorema 3. Se os coeficientes de uma equação polinomial forem reais, então as suas raízes complexas ocorrerão em pares conjugados.
Corolário 3. Uma equação polinomial de grau ímpar, com coeficientes reais, tem, no mínimo, uma raiz real.
Teorema 3. Toda equação polinomial de grau par, cujo termo independente é negativo, tem pelo menos uma raiz real positiva e outra negativa.
Teorema 3. Toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real com o sinal contrá- rio ao do termo independente.
Valor numérico de um polinômio Para avaliar um polinômio
em um ponto x = , usualmente, faz-se
Desta forma, são necessárias n.(^ n 2 1) multiplicações, considerando que as potenciações
são feitas por meio de produtos, e n adições. Uma forma mais eficiente de avaliar um polinômio é o Método de Horner , que consiste em reescrever 3.2 de modo que não sejam necessárias as potenciações, conforme é mostra- do a seguir.
Continuando com este procedimento, obtém-se
Este procedimento requer apenas n multiplicações e n adições.
Exemplo 3. Avaliar o polinômio f(x) = 3.x^5 – 2.x^4 + 5.x^3 + 7.x^2 – 3.x + 1 no ponto x = 2 utilizando o Método de Horner. Solução f(x) = ((((3.x -2).x + 5).x + 7).x – 3).x + 1 f(2) = ((((3.2 -2).2 + 5).2 + 7).2 – 3).2 + 1 f(2) = 127
3.1 – Delimitação das raízes reais 3.1.1 - Limite Superior das Raízes Positivas (LSRP)
Teorema 3.5 (Lagrange) Seja f(x) = anxn^ + a (^) n – 1 xn^ –^1 + .... + a 1 x + a 0 = 0 uma equação polinomial de grau n na qual an > 0 e a 0 ≠ 0. Para limite superior das suas raízes positivas, caso existam, pode ser toma- do o número:
a n
L 1 M (3.4)
Onde k é o grau do primeiro termo negativo e M o módulo do menor coeficiente negativo.
Exemplo – 3. Determinar um limite superior das raízes positivas da equação f(x) = x^5 - 2x^4 -7x^3 + 9x^2 +8x – 6 = 0. Solução Tem-se que k = 4, M = 7. Sendo assim L = 8
3.1.2 - Limite Inferior das Raízes Negativas (LIRN) (i) Toma-se a equação auxiliar f 1 (x) = f(- x) = 0. (ii) Aplica-se o teorema de Lagrange em f 1 (x) = 0 para determinar L 1 , que é um limite su- perior das suas raízes positivas. (iii) Sendo assim, - L 1 é um limite inferior das raízes negativas de f(x) = 0.
Para demonstrar que a afirmativa (iii) é verdadeira, seja:
f(x) = anxn^ + a (^) n – 1 xn^ –^1 + .... + a 1 x + a 0 = 0
uma equação com as raízes r 1 , r 2 , r 3 , ..., rn.. Escrevendo-a na forma fatorada, tem-se que
f(x) = an.(x – r 1 )(x – r 2 )(x – r 3 ) ... (x – rn) = 0
Raízes negativas Tomando f 1 (x) = - x^5 - 2x^4 + 7x^3 + 9x^2 - 8x – 6 = 0 do exemplo 4.3 conclui-se que a equa- ção tem 2 ou nenhuma raiz negativa
3.2.2 – Regra dos sinais de Sturm Seqüência de Sturm Seja y = f(x) um polinômio de grau n 1 da forma
com ai ; i = 0, 1, ... , n. Define-se a sequência de Sturm de f(x) como sendo o seguinte conjunto de funções poli- nomiais: {f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), ..., fk(x)}; k ≤ n. onde f 0 (x) = f(x), f 1 (x) é a primeira derivada de f(x) e, de f 2 (x) em diante, cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos dois termos anteriores. A sequência finaliza quando se obtém um resto constante. A seguir são relacionadas três propriedades desta seqüência. (i) Se a equação f(x) = 0 possuir raízes múltiplas, então o último termo da seqüência é uma constante nula. (ii) Para nenhum valor de x dois termos consecutivos da seqüência podem se anular. (iii) Se, para algum valor de x, um termo médio da seqüência se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos.
Teorema 3.6 (Sturm) Sejam: (i) f(x) = 0 uma equação polinomial de grau n 1; (ii) dois números reais, a e b , tais que a < b , f( a ) 0 e f( b ) 0; (iii) N() o número de variações de sinal apresentado pela sequencia de Sturm quando ca- da um dos seus termos é avaliado em x = . Sendo assim, o número de raízes reais distintas de f(x) = 0, no intervalo (a, b), é igual a N(a) - N(b).
Exemplo – 3. Enumerar as raízes reais da equação f(x) = x^5 - 2x^4 -7x^3 + 9x^2 +8x – 6 = 0 utilizando a re- gra dos sinais de Sturm e sabendo-se que estão nos intervalos (-4, 0) e (0, 8).
Solução O quadro a seguir apresenta a seqüência de Sturm associada à equação assim como as vari- ações de sinais. x - 4 0 8 f(x) = x^5 - 2x^4 -7x^3 + 9x^2 +8x – 6 - - + f 1 (x) = 5x^4 – 8x^3 – 21x^2 + 18x +8 + + + f 2 (x) = 3,4x^3 – 3,7x^2 – 7,8x + 5,4 - + + f 3 (x) = 12,4x^2 – 4,3x – 12 + - + f 4 (x) = 5,4x – 2,9 - - + f 5 (x) = 10,7 + + + N(x) 5 3 0
Número de raízes negativas N(- 4) – N(0) = 5 - 3 = 2 Número de raízes positivas N(0) – N(8) = 3 – 0 = 3
A exigência de que a equação não tenha raízes múltiplas não é tão restritiva, uma vez que, se esta condição não é satisfeita, e então a seqüência termina quando se obtém um resto nulo, o penúltimo termo origina uma equação que tem as raízes múltiplas. Dividindo-se a equação dada por este termo, o quociente será uma equação que possui somente raízes simples. A ela aplica-se o Teorema de Sturm.
Exemplo – 3. A equação f(x) = x^5 - 11x^4 + 34x^3 + 8x^2 -160x + 128 = 0 tem as raízes -2, 1, 4, 4, 4. A se- qüência de Sturm a ela associada é:
f(x) = x^5 - 11x^4 + 34x^3 + 8x^2 -160x + 128 f 1 (x) = 5x^4 - 44x^3 + 102x^2 + 16x - 160 f 2 (x) = 5,76x^3 – 49,68x^2 + 120,96x – 57, f 3 (x) = 10,546875x^2 – 84,375x + 168, f 4 (x) = 0 A equação f 3 (x) = 0 tem as raízes 4 e 4. Dividindo a equação dada por ela, obtém-se a equação f 5 (x) = 0.0948148x^3 - 0.2844444x^2 - 0.5688889x + 0.7585185 = 0 que tem somente as raízes simples -2,1 e 4.
4.1.4 - Estimativa do número de iterações O método da Bisseção permite que seja estimado, a priori , o número mínimo de iterações para calcular uma raiz ξ com uma precisão (^) a partir de um intervalo [a, b]. As iterações geram uma seqüência de intervalos encaixados da forma
{[a, b], [a 1 , b 1 ], [a 2 , b 2 ], [a 3 , b 3 ], ..., [ak, bk]}
Como cada intervalo gerado, tem tamanho igual à metade do intervalo anterior, tem-se que:
b - a b-a , 2 b - a b^1 - a^1 (^2 2) , logob 2 - a 2 b 2 - 2 a
b - a b^2 - a^2 3 3 ^ , então (^3 ) b - a b-a
Tendo em vista estes resultados, chega-se a k k k 2
b - a b-a. Como se deseja obter k tal que
bk – ak , então:
b-a k^ log(2) klog(b-a)-log(^ )
Exemplo 4. Dada a equação f(x) = x^5 - 2x^4 -7x^3 + 9x^2 +8x – 6 = 0, pede-se: (a) Isolar as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos inter- valos (-4, 0) e (0, 8), respectivamente. (b) Considerar o intervalo que contém a menor raiz positiva e estimar o número, k, de ite- rações necessário para calculá-la utilizando o método da bisseção com precisão 0,040. (c) Utilizando o método da bisseção, calcular a sua menor raiz positiva com precisão 0, e um máximo de (k + 1) iterações.
Solução No exemplo 3.2 foi determinado que todas as possíveis raízes positivas desta equação estão no intervalo (0, 8). No exemplo 3.3 foi constatado que as possíveis raízes negativas estão no intervalo (- 4, 0). No exemplo 3.5 foi verificado que esta equação tem duas raízes nega- tivas e três positivas.
a) Isolamento das raízes reais Raízes negativas x - 4^ - 3^ - 2^ - 1^0 f(x) - 982 - 165 6 - 1 - 6
Raízes positivas x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) - 6^3 - 10^ - 9^234 1.259^ 4.038^ 10.095^ 21.
Verifica-se, então, que cada intervalo, a seguir, contém uma raiz: (-3, -2), (-2, -1), (0, 1), (1, 2) e (3, 4).
b) Estimativa do número de iterações necessário para calcular a menor raiz positiva utilizando o método da Bisseção com precisão 0,040.
log(2) k log(1-0)-log(^0 ,^040 ) K 4,6 k = 5
c) Cálculo da menor raiz positiva
k a b f(a) f(b) b - a xk f(xk) 01 0,000 1,000 - 6,000 3,000 1,000 0,500 - 0, 02 0,500 1,000 - 0,719 3,000 0,500 0,750 1, 03 0,500 0,750 - 0,719 1,714 0,250 0,625 0, 04 0,500 0,625 - 0,719 0,597 0,125 0,563 - 0, 05 0,563 0,625 - 0,042 0,597 0,062 0,594 0, 06 0,563 0,594 - 0,042 0,283 0,
Para a precisão estabelecida, qualquer ponto do intervalo [0,563; 0,594] pode ser tomado como uma estimativa para a menor raiz positiva da equação.
Exemplo 4. As figuras a seguir mostram um recipiente na forma de um cilindro circular reto que deve ser construído para conter 1000cm^3. O fundo e a tampa, conforme é mostrado na figura 4.2.a, devem ter um raio 0,25cm maior que o raio do cilindro, de modo que o excesso pos- sa ser utilizado para formar um lacre com a lateral. A chapa do material usado para confec- cionar a lateral do recipiente, como apresentado na figura 4.2.b, deve ser, também, 0,25cm maior para que o lacre possa ser formado. Utilizar o método da Bisseção, com precisão 0.040 e um máximo de 10 iterações, para de- terminar a quantidade mínima de material a ser utilizada para construir o recipiente.
Considerando 3 casas decimais, tem-se, a partir de 4.7, a seguinte equação a resolver:
f '(r)12,566.r^4 3 , 142 .r^3 2000 .r-159,160 0 (4.8)
Limite superior positivo Seja, então, a determinação do limite superior positivo utilizando o Teorema de Lagrange.
n-k
Toma-se, então, L = 7
Enumeração das raízes positivas Utilizando a regra dos sinais de Descartes, verifica-se que 4.8 possui somente uma raiz positiva, o que era de se esperar tendo em vista a natureza do problema.
Estimativa do número de iterações
log(2) k log(7-0)-log(^0 ,^040 ) K 7,5 k = 8
Cálculo da raiz
k a b f(a) f(b) b - a xk f(xk) 01 0,000 7,000 - 2000 17089.512 7,000 3,500 - 5138, 02 3,500 7,000 - 5138,761 17089.512 3,500 5,250 - 658, 03 5,250 7,000 - 658,221 17089,512 1,750 6,125 5998, 04 5,250 6,125 - 658,221 5998,485 0,875 5,688 2192, 05 5,250 5,688 - 658,221 2192,593 0,438 5,469 656, 06 5,250 5,469 - 658,221 656,791 0,219 5,359 - 27, 07 5,359 5,469 - 27,228 656,791 0,110 5,414 308, 08 5,359 5,414 - 27,228 308,019 0,055 5,387 138, 09 5,359 5,387 0,
Para a precisão estabelecida, qualquer ponto do intervalo [5,359; 5.387] pode ser tomado como uma estimativa para a raiz. Tomando, por exemplo, r = 5,375cm obtém-se Atotal = 573,651cm^2. Observe-se que r = 5,375cm é abscissa de ponto de mínimo de 4.5, uma vez que
f ''(r)50,264.r^3 9 , 426 .r^2 2000
é maior que zero no intervalo [5,359; 5.387].
Exemplo 4. A concentração, c, de uma bactéria poluente em um lago é descrita por
Utilizar o Método da Bisseção, com precisão 0,050 e um máximo de 5 iterações, para esti- mar o tempo t, em segundos, para que esta concentração seja reduzida para 9.
Solução O problema consiste em determinar o tempo, t, para o qual
Para isto deve ser resolvida a equação
A figura 4.3 apresenta o gráfico da função que dá origem à equação 4.9. Como pode ser observado há uma única raiz situada no intervalo (1,5; 2) segundos.
Figura 4.3: Gráfico da função que origina 4.2. Aplicando o método da Bisseção são obtidos os resultados apresentados a seguir.
k a b f(a) f(b) b - a xk f(xk) 01 1,500 2,000 0,612 -3,363 0,500 1,750 -1, 02 1,500 1,750 0,612 -1,737 0,250 1,625 -0, 03 1,500 1,625 0,612 -0,670 0,125 1,563 -0, 04 1,500 1,563 0,612 -0,059 0,063 1,531 0, 05 1,531 1,563 0,269 0,059 0,
Para a precisão estabelecida, qualquer valor do intervalo [ 1,531; 1.563] pode ser tomado como uma estimativa para o tempo.
