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Professor: Valter Costa Fernandes Junior
Material baseado no livro “Análise Matemática para a Licenciatura” de Geraldo
Ávila, 3ª edição revista e revisada, 2001.
Números Reais
Números Racionais e representação decimal
A ideia aqui é reconhecer a representação decimal de um racional.
Toda fração ao ser transformada em um número decimal resultará em um
decimal finito ou numa dízima periódica.
Exemplo 1.
a)
4
5
b)
5
7
Qual é a explicação para o que foi dito acima?
Caso, a decomposição do denominador em fatores primos seja formada
somente pelos números 2 ou 5 a representação será finita. Ou seja, se 𝑥 =
𝑎
𝑏
, com
𝛼
𝛽
≠ 0
e 𝛼, 𝛽 ∈ ℕ ∪ { 0 }, então 𝑥 é um decimal finito.
Observação 1. Toda representação decimal finita pode ser representada por uma
fração cujo denominador é uma potência de 10. De fato,
1
2
3
𝑛
1
2
2
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛− 1
1
𝑛− 2
2
𝑛
𝑛
onde 𝑥 ∈ ℤ e 𝑎
𝑖
, com 𝑖 ∈
A observação acima nos ajuda a entender o porquê uma fração, cujo denominador 𝑏
é da forma 𝑏 = 2
𝛼
𝛽
, com 𝛼, 𝛽 ∈ ℕ ∪ { 0 }, assume a representação decimal finita.
Podemos multiplicar 𝑏 por potências de 2 ou 5 de forma a obter uma potência de 10
no denominador.
Observação 2. Se um racional 𝑟 pode ser escrito como 𝑟 =
𝑥
10
𝛼
, com 𝛼 ∈ ℕ ∪ { 0 },
então sua representação decimal é finita.
Seja 𝑥 = 𝑎
1
2
𝑛
∈ ℤ, com 𝑎
𝑖
∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }. Temos:
1
𝑛− 1
2
𝑛− 2
𝑛
0
𝛼
1
𝑛− 1
2
𝑛− 2
𝑛
0
𝛼
1
𝑛− 1 −𝛼
2
𝑛− 2 −𝛼
𝑛
−𝛼
Cada parcela é um decimal finito, logo
𝑥
10
𝛼
é uma representação decimal finita.
Por outro lado, se na decomposição do denominador da fração houver outros
fatores primos diferentes de 2 e 5 , então a representação será uma dízima periódica.
Isso se dá pelo fato de não ser possível obter uma fração cujo denominador seja uma
potência de 10.
Exemplo 2. Determine a fração que representa as dízimas periódicas.
a) 1 , 232323 …
Seja 𝑥 a fração que representa a dízima periódica 1 , 232323 …. Temos:
Daí, subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
b) 2 , 01333 …
Seja 𝑥 a fração que representa a dízima periódica 2 , 01333 …. Temos:
Daí, subtraindo a terceira equação da segunda, obtemos:
A ideia para transformar uma dízima periódica em fração é multiplicar o
decimal por potências de 𝟏𝟎 com o intuito de “criar” números que tenham
Atividades: (Exercícios retirados do livro “Análise Matemática para a Licenciatura”)
- Prova que 0 , 121212 … é igual a
12
99
- Escreva as dízimas periódicas abaixo na forma de fração ordinária.
a) 0,777...
b) 1, 666 ...
c) 0,170170170...
d) 1,272727...
e) 0,343343343...
f) 0,270270270...
g) 21,454545...
h) 3,020202...
i) 5,212121...
- Estabeleça a seguinte regra: toda dizima periódica simples ("simples" quer
dizer que o período começa logo após a vírgula) é igual a uma fração ordinária,
cujo numerador é igual a um período e cujo denominador é constituído de
tantos 9 quantos são os algarismos do período.
- Prove que a dízima periódica 0 , 21507507 … é igual a
- Escreva na forma de fração ordinária as seguintes dízimas periódicas.
a) 0,3777...
b) 0,2050505...
c) 3,2666...
d) 0,000272727...
- Prove que √
3 é irracional. (Sugestão: exemplo 4)
- Prove que √
𝑝 é irracional, onde 𝑝 > 1 é um número primo qualquer. (Sugestão:
exemplo 4)
- Prove que, se 𝑝 e 𝑞 forem números primos distintos, então √
𝑝. 𝑞 é irracional.
- Prove que, se 𝑝
1
2
𝑟
forem números primos distintos, então √
1
2
𝑟
é
irracional.
- Se 𝑎 e 𝑏 são números irracionais, é verdade que
𝑎+𝑏
2
é irracional? Prove a
veracidade dessa afirmação ou dê um contraexemplo, mostrando que ela é
falsa.
- Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número
irracional é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o
produto de dois números irracionais pode ser racional.
- Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente
de zero é um número irracional.
- Prove que se 𝑟 for um número irracional então
1
𝑟
também o será.
- Prove que se 𝑥 e 𝑦 forem números irracionais tais que 𝑥
2
2
seja racional
não-nulo, então 𝑥 + 𝑦 e 𝑥 − 𝑦 serão ambos irracionais. Exemplo: √ 3 + √ 2 e
- Prove que, se 𝑝 1
𝑟
forem números primos distintos, então √𝑝
1
𝑠 1
𝑟
𝑠 𝑟
é
irracional se algum dos expoentes 𝑠
1
𝑟
for ímpar.
- Prove que um número 𝑁 é quadrado perfeito se e somente se todos os fatores
primos de 𝑁 comparecem em 𝑁 com expoentes pares.
- Prove que um número que não seja quadrado perfeito, tampouco terá raiz
quadrada racional.
