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FRACASSO DA MATEMÁTICA MODERNA Prof. Morris Kline * Todo mundo foi envolvido por ela... | * As crianças começaram a falar em conjuntos... A linguagem dos mestres se complicou... * E os alunos não aprenderam a somar! ESTA DENÚNCIA, MUITA GRAVE, É FEITA POR UM DOS MAIS EMINEN! | PROFESSORES DE | MATEMÁTICA DO MUN | Meet ds À Cad 7 O MATEMÁTICA MODERNA | | | Prof. Morris Kline * Todo mundo foi envolvido por ela... * As crianças começaram a falar em conjuntos... * Alinguagem dos mestres se complicou... * E os alunos não. aprenderam a somarl, ESTA DENÚNCIA, MUITO GRAVE, É FEITA POR UM DOS MAIS EMINENTES PROFESSORES | MATEMÁTICA DO MUNDO | e oo o FRACASSO | DA MATEMÁTICA MODERNA FICHA CATALOGRÁFICA (Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte, Câmara Brasilera do Livro, SP) Kline, Morris, 1908- Km2r O fracasso da matemática moderna; tradu- ção de Leonidas Gontijo de Carvalho. São Paulo, IBRASA, 1976. Pp. ilust. (Biblioteca ciência moder- na, 22) Bibliografia. 1, Matemática — Estudo e ensino 2, Mate- mátiea (1.º grau) — Estudo e ensino 1. Título. 17. CDD-510.07 18. -510.7 76-0901 17. e 18. =872.78 índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Estudo e ensino 510,07 (17.) 510.7 (18.) 2. Matemática moderna : Ensino de 1.º grau 372.13 (17. e 18.) Título do original norte-americano; WHY JOHNNY CAN'T ADD: The Failure of the New Math Copyright (O) 1973 by MORRIS HLINE Capa de CARLOS CESAR Direitos exclusivos para a lingua portuguesa da IBRASA — INsmTuição BRAasttmina DE DirUsão CULTURAL EA. Rua Vinte é Um de Abril, 97 — Tel. 98-8524 CEP 08047 — São Paulo, SP, Publicado em 1976 IMPRESSO NO BRASIL — PRINTED IN BRAZIL Isso é vida — pergunto — é até mesmo prudência Aborrecer a ti e aos estudantes? JOHANN WOLFGANG VON GOETHE Índice Prejácio 11 1. Uma Amostra de Matemática Moderna 15 2. O Currículo Tradicional 19 3. Origem do Movimento da Matemática Moderna 32 4. Abordagem Dedutiva da Matemática 42 5. Rigor 72 6. À Linguagem da Matemática 82 Por conseguinte, é importante a questão sobre se o novo currículo verdadeiramente tem melhorado o ensino da matemática e se realmente tornou esta matéria mais acessível ao estudante, Agora que o novo programa se estabilizou um pouco e sua natureza se tornou clara, parece possível e neces- sário decidir se se fez verdadeiramente progresso. Estão nossas crianças realmente em melhor situação em virtude desta reforma de âmbito nacional e altamente apre- gonda? A educação de nossas crianças é sumamente importante para que possamos aceitar um currículo sem crítica só porque foi extensivamente promovido e teve o apoio de muitos professores de matemática. Até o tempo presente o público em geral tem suposto que a classe do professorado se pronunciou e que O único problema está em como estender o ensino do novo currículo a mais e mais escolas. Entretanto, existem níti- das diferenças de opiniões entre matemáticos profissio- nais e professores quanto aos méritos das inovações. Compete a todos os elementos interessados examinarem a eficácia do novo material para que as inovações não venham a ficar estabelecidas como a nova ortodoxia ape- sar da ausência de qualquer evidência firme de que as inovações constituem genuíno melhoramento. Isto é o que me proponho a fazer, Espero que o leitor sinta, como eu, que qualquer livro que faz uma crítica sobre determinada tentativa de reforma não é ipso facto reacionário. O currículo tradi- cional apresenta grandes defeitos e não deixarei de citá- los. É preciso melhorá-lo, Mas parece-me que somente será possível obter verdadeiramente progresso — e uma atitude realmente progressista pode existir — se tiver- mos coragem de admitir que qualquer tentativa parti- cular de reforma não tem surtido efeito. Sou grato a muitas pessoas pelas críticas e suges- tões úteis mas especialmente ao professor Fred V. Pohle, da Adelphi University, professor Alexander Calandra, da Washington University, e ao dr. George Grossman, diretor da Matemática para o Conselho Municipal de Educação de Nova York. Sou também grato ao ar. Thomas MeCormack, presidente de St. Martin's Press, 12 não só pelas críticas e sugestões como também por enco- rajar a publicar este livro. Ele acentuou repetidamente que uma crítica sobre o currículo de matemática seria prestar um serviço ao público. Naturalmente as opiniões pas eculores expressas aqui são de minha responsabili- ade. Morkis KLINE 13 Uma Amostra de Matemática Moderna “(...) Meu Deus! Eu preferiria ser Um pagão alimentado numa crença antiquada; Poderia assim... Vislumbrar coisas que me deixariam menos [abandonado.”] WILLIAM WORDSWORTH Contemplemos uma aula de matemática, A professora pergunta: — Por que 2 4+3=342? — Porque ambos são iguais a 5 — respondem os alu- nos sem hesitar. — Não, a resposta exata é porque a propriedade comutativa da soma assim o sustenta. — A segunda pergunta é; Por que 9 + 2 = 11? Novamente os alunos se apressam a responder: — 9.e 1 são 10 e mais um é 11. — Está errado! — exclama a professora. — A res- posta exata é que pela definição de 2, Sfr=94U +. 15 O pai apressou-se a dizer que a resposta. — Oh, não tem importância se se fala sobre maçãs, peras ou livros — disse o filho; 5 + 38 = 8 + 5 em qualquer dos casos. Outro pai, interessado em saber como o pequeno filho estava indo em aritmética, perguntou-lhe como ele se estava saindo, — Não muito bem — respondeu o menino. — A professora vive falando em propriedades associativa, comutativa e distributiva. Eu apenas somo e obtenho u solução exata, mas ela não gosta disso. Estes pequenos exemplos talvez sejam uma ilustração e talvez uma caricatura de algumas características do currículo agora denominado matemática moderna ou a nova matemática. Examinaremos as características mais importantes com mais detalhes no devido tempo e consideraremos seus méritos e deméritos. Mas primeiro revisemos sucintamente a matemática “antiga” para ver quais as falhas que provocaram o desenvolvimento de um novo currículo. im e esperou ansioso 18 2 O Currículo Tradicional “Arranjeilhe um argumento, mas não sou obrigado a arranjar-lhe a compreensão.” SAMUEL JOHNSON Embora o currículo tradicional tenha sido algo afetado nos últimos anos pelo espírito de reforma, suas caracte- rísticas básicas são facilmente descritas. Os primeiros seis graus da escola elementar são dedicados à aritmé- tica. No sétimo e oitavo graus os alunos aprendem um pouco de álgebra e os fatos simples de geometria, tais como fórmulas para a área e o volume de figuras comuns. O primeiro ano de escola secundária preocupa-se com álgebra elementar, o segundo com geometria dedu- tiva e o terceiro com mais álgebra (geralmente deno- minada álgebra intermediária) e com trigonometria. O quarto ano de escola secundária geralmente abrange geometria sólida e álgebra adiantada; contudo, não tem kavido a mesma uniformidade no tocante ao estudo do quarto ano como houve para os anos anteriores. Houve fregiientemente várias críticas sérias sobre este currículo. A primeira crítica importante, que se aplica particularmente à álgebra, é que ela apresenta pro- cessos mecânicos e força, portanto, o estudante a con- fiar mais na memorização do que na compreensão. Pode-se ilustrar facilmente a natureza desses pro- cessos mecânicos. Consideremos um exemplo de aritmé- 19 tica. Para somar as frações 5/4 e 2/3, isto é, para calcular diz-se aos estudantes que encontrem primeiro o mínimo denominador comum, isto é, o menor número que pode ser dividido igualmente por 4 e 3. Este número é 12. Divide-se então 12 por 4, obtém-se 3 e multiplica-se o numerador 5 da primeira fração por 3. Do mesmo modo, divide-se 12 por 3, obtém-se 4 e multiplica-se o nume- rador 2 da segunda fração por 4. O resultado assim obtido converterá a soma acima na soma igual 15 8 12 rã 12 Vê-se logo que a soma é 29/12. Uma boa professora sem dúvida esforçar-se-ia por auxiliar os alunos a compreender o fundamento lógico deste processo, mas via de regra o currículo tradicional não dá muita atenção à compreensão. Confia em exer- cícios para fazer com que os alunos sigam facilmente o processo. Após aprenderem a somar as frações numéricas, os alunos enfrentam uma nova dificuldade quando são solicitados a somar frações onde letras se acham envol- vidas. Conquanto se empregue o mesmo processo para calcular ARE bersonçE da + a +. os passos individuais são mais complicados. Novamente o currículo confia em que os exercícios transmitam a ão. É solicitado ao aluno que faça as somas em inúme- ros exercícios até que as possa realizar com facilidade. Ensinam-se-lhe muitas dezenas de tais processos: fato- rar, resolver equações de uma e duas incógnitas, usar expoentes, somar, subtrair, multiplicar e dividir poli- 20 nômios e fazer operações com números negativos e radi- cais como «/8. Em cada caso pede-se ao aluno que copie o que a professora e o texto mostram como fazer. De- fronta, portanto, o aluno uma desnorteante variedade de processos que ele repete de cor a fim de aprender a manejá-los. À aprendizagem consiste quase sempre em simples memorização. É também verdade que os vários processos são des- conexos, pelo menos como geralmente se apresentam. Raramente têm muito a ver um com o outro. Conquanto todos eles realmente contribuam para o fim de capacitar co aluno a realizar operações algébricas em matemática adiantada, no que diz respeito ao aluno os tópicos se lhe afiguram sem conexão. São como páginas arran- cadas de cem livros diferentes, nenhuma das quais trans- mite a vida, o sentido e o espírito da matemática. Esta apresentação da álgebra começa nenhures e termina também em nenhures. Após um ano desse estudo de álgebra o currículo tradicional passa para a geometria enclidiana. Nela a matemática torna-se subitamente dedutiva, isto é o texto começa com definições das figuras geométricas e com axiomas ou asserções que presumivelmente são “obviamente verdadeiros” acerca das figuras. Eles pro- vam depois teoremas aplicando o raciocínio dedutivo aos uxiomas. Os teoremas seguem um e outro numa segiiên- cia lógica; quer dizer, as demonstrações dos teoremas posteriores dependem das conclusões já estabelecidas nos anteriores. Esta mudança repentina de álgebra mecânica para geometria dedutiva certamente trans- torna a maioria dos alunos. Até então, em seu estudo de matemática, não aprenderam o que “demonstração” é e tem que estar senhor deste conceito além da apren- aizagem da própria matéria. O conceito de “demonstração” é fundamental em mate- mática e, assim, na geometria, o aluno tem a oportuni- dade de aprender uma das grandes características da matéria. Mas como a demonstração dedutiva final de um teorema é geralmente o resultado final de ume série de adivinhações e tentativas e muitas vezes depende de um esquema engenhoso que permita provar o teorema na devida sequência lógica, a demonstração a tempo a menos que se torne um cientista profissional, matemático ou engenheiro. Este grupo, entretanto, não vai além de uns poucos por cento da população de esco- las secundárias. Além disso mesmo que todos os estu- dantes devessem empregar alguma matemática mais tarde na vida, esta utilização não pode ser motivação. Não se pode pedir aos jovens que levem a sério esta matéria da qual possam necessitar anos mais tarde. Esta motivação é muitas vezes descrita como uma oferenda utópica. Na verdade, as escolas, num esforço para motivar os estudantes, procuravam ensinar certos usos de aritmé- tica nos graus sétimo e oitavo. Ensinavam juros simples e compostos e descontos em empréstimos. Mas alunos de doze é treze anos não apreciavam essa matéria e a experiência acabou sendo julgada um fracasso, A moti- vação tem que agradar o aluno ao tempo em que ele segue O curso. Outra motivação que frequentemente se oferecia aos estudantes é a de que deviam estudar matemática a Tim de ingressar no colégio. Se a matemática que lhe haviam ensinado nas escolas elementar e secundária é típica da que os espera no colégio, talvez não queiram ingressar neste último. Futuros matemáticos, cientistas e engenheiros açharão útil a matemática em sua profissão. Mas se a matemá- tica apresentada não dá uma idéia de como será útil e se, em si mesma, é completamente sem atrativo, dizer aos estudantes que é necessária na ciência e na enge- nharia os encoraja a procurar outra carreira. Muita coisa do que se ensina na matemática é muitas vezes defendida como “treinamento do espírito”. Pode muito bem haver certo treinamento, pode-se conseguir o mesmo efeito com matéria que seja muito mais com- preensível e agradável, Poder-se-iam ensinar as formas de raciocinar comumente usadas recorrendo a proble- ras sociais ou legais simples cuja relevância para a vida seja mais visível aos estudantes. Não há necessidade de matemática para ensinar as pessoas que a declaração “Todo automóvel bom é caro” não é o mesmo que dizer “Todo automóvel caro é bom”. Mais ainda, o uso de 24 problemas sociais ou legais não exige o domínio de linguagem técnica, simbolismo e conceitos abstratos, os quais tendem a obscurecer o raciocínio. Assim é muito mais difícil ao estudante ver que a asserção “todu paralelograma é quadrilátero” não significa o mesmo que “todo quadrilátero é paralelograma”, De fato, a expe- +iência no ensino mostra que, para tornar claro ao estu- dante o argumento lógico empregado no raciocínio mate- mático, devemos empregar exemplos não matemáticos que envolvam os mesmos argumentos. Além disso, duvi- da-se que o treinamento do pensamento em determinada esfera conduza a pensar em outra. O indivíduo talvez esteja inclinado a crer que conduza mas não se pode provar que isso se dê realmente. Outra justificativa que comumente se apresenta para o ensino de matemática ao nível de escola secundária é de ser uma bela matéria, Mas sabemos que as maté- rias ensinadas não foram escolhidas por serem belas. Foram escolhidas porque são necessárias para mais estudos de matemática. Não há beleza em somar frações, na fórmula quadrática ou na lei dos senos, Nenhuma pregação ou rapsódias sobre a beleza da matemática tornará atraente esse bichinho. Mais ainda, os novatos provavelmente não encontrarão beleza numa matéria que estejam ainda procurando dominar do mesmo modo que alguém que esteja estudando gramática francesa não poderá encontrar beleza na literatura desta língua. Alguns estudantes são atraídos para a matemática pelo desafio intelectual ou porque gostam daquilo que, por ventura, desempenham bem. O raro estudante que experimenta este desafio talvez se sinta realmente intri- gado — como acontece com alguns matemáticos — por haver apenas cinco poliedros regulares. Entretanto, no que diz respeito à maioria dos estudantes, o mundo esta- ria em situação melhor se houvesse um número infinito deles. Na realidade existe um número infinito de polí- wonos regulares e ninguém parece deprimido por este fato. Hã realmente um valor intelectual na matemática. Duvida-se, entretanto, que os jovens possam apreciá-lo do mesmo modo que se duvida que um menino de seis anos possa apreciar a música de Beethoven. Se o pro- 25 fessor prova um teorema de matemática, o estudante einda estará lutando para compreender o teorema, sua prova e seu significado, Enquanto passa por essa luta, o estudante provavelmente não fique impressionado com o conteúdo intelectual e com o que a mente humana realizou, Nele, o teorema e a prova produzem perplexi- dade e confusão. Além dos pretendidos valores, quais o de treinamento do espírito, a beleza e o desafio intelectual, os defen- sores do currículo tradicional assinalam os exercícios. Estes — dizem eles — mostram o uso da matemática e devem convencer o estudante de que a matéria é impor- tante. Há problemas enfadonhos como o do dilema dos cavadores de fossos. “Um homem só pode cavar um fosso em dois dias e outro em três dias. Quanto tempo será preciso se ambos o cavarem juntos?” Problemas desta natureza criam um trabalho inútil. Há depois os problemas de encher tanques para estu- dantes que não têm nenhuma piscina para encher. Ou os problemas de mistura: “Quantas quartas de leite com dez por cento de nata e quantas quartas de leite com cinco por cento de nata precisam ser misturadas para formarem cem quartas de leite com cingiienta por cento de nata ?” Esses problemas são úteis para os gran- jeiros que desejam adulterar o conteúdo de nata de seu leite. Outros problemas de mistura dizem respeito a misturas de tipos de café ou de chá para fazer infusões intragáveis. Há também os problemas de idade: “Joana é vinte anos mais velha que Maria, Dentro de dez anos terá o duplo da idade. Quantos anos tem Maria?” Este tipo de problema requer que se descubra a idade de outras pessoas, e muita gente é sensível no tocante à idade que tem. Há depois os problemas de números, como “um núme- ro é três vezes outro menos dois. Quais são eles?” (O jogo de números é na realidade ilegal.) Mais “realistas” são os problemas com tábuas. “Tem-se que cortar uma tábua de sete pés de comprimento em duas partes, uma das quais deve ser dois pés mais comprida que.a outra. Qual o comprimento das partes? “Os estudantes natu- 26 ralmente ficam enfarados com esses problemas relacio- nados com tábuas. E não devemos esquecer de mencionar os problemas de hora, velocidade e distância como o percurso de subida e descida de um rio para estudantes que não pretendem ir a lugar algum e nos quais não se desper- tou o interesse de ir algures. Alguns problemas envol- vem caminhadas em torno de um jardim circular e pedem as dimensões do jardim, Se permitissemos que eles caminhassem pelo jardim e déssemos a cada um vma companhia agradável estaríamos lhes proporcio- nando maior benefício. Infelizmente todos esses problemas são artificiais e não convencerão pessoa alguma de que a álgebra é útil. Alguns autores de textos algébricos assinalam que os problemas são “verdadeiramente físicos”. Por exemplo, a lei de Ohm enuncia que a voltagem E é igual à inten- sidade da corrente I vezes a resistência R. Em símbo- los E — IR. Calcule E seI = 20 e R = 30. Contudo, a corrente envolvida em tais problemas não impul- siona motores mentais. No que tange ao conhecimento do estudante, a lei de Ohm poderia estar descrevendo o número de casamentos em Birmânia realizados anual- mente, Há muito que os compêndios de cálculo vêm pedindo ao estudante para calcular os centros de gravidade e os momentos de inércia dos corpos sem jamais indicarem por que estas quantidades são importantes. Consegiente- mente, a gravidade desses problemas nada produz nos estudantes senão inércia. Esses problemas físicos, apre- sentados sem nenhuma explicação preliminar do ambiente físico ou importância física nada significam ao estudante, Evidentemente é inútil uma aplicação física se o estu- dante não pode perceber o que se realizou. Mesmo o uso da palavra “aplicação” é muitas vezes aborrecido. Ensina-se ao estudante, digamos, uma fór- mula para área e pede-se-lhe depois que calcule a área com ela. Supõe-se que estes cálculos sejam uma “apli- cação”. Essa espécie de aplicação adiciona insulto a injúria. Visto estas denominadas aplicações não terem ainda sentido e façam ainda parte da própria matemá- tica, em que sentido são aplicações? 27 quantas trigonometrias um homem possa escrever renhuma sequer reflete seu julgamento sincero, Perguntei a outro professor que publicara uma álge- bra colegial estereotipada por que se dera ao trabalho de escrever essas enfadonhas tolices. “Oh — disse ele — posso escrever sobre esse assunto entre uma aula e outra sem ter que pensar nele. Por que eu deveria pensar?” Desnecessário dizer que era evidente não ter pensado na apresentação da matéria. Outro professor publicou um livro que incluía certo material que ele considerava não ter importância. Con- Tessa-o em seu prefácio e depois diz muito francamente que o incluíra visando o mercado. Sim senhor, que hones- ta desonestidade! Esses autores que repetem tópicos de uns e outros estão, em certo sentido, plagiando. Mas o plágio esten- de-se além disso. Paráfrases de partes inteiras de mate- rial cobrindo muitos parágrafos são facilmente encon- tradas. Um autor transcreveu capítulos inteiros de outro livro com apenas pequenas modificações, confessando, naturalmente, inspiração recebida de Deus, Euclides, Newton e Einstein. A maioria dos compêndios tradicionais de matemática parece trabalho de caráter comercial que faz contribui- cão tão-somente para os bolsos do autor, A ética de alguns professores, sem falar em sua mentalidade, encon- tra-se em mau estado. As únicas pessoas que podem pretender qualquer crédito por trabalhos originais com relação a estes livros são os agentes publicitários dos editores, os quais têm que inventar bons “slogans” para a propaganda. O espírito de justiça exige que se faça menção de recentes melhorias no formato dos textos de matemática. Fórmulas importantes são agora encerradas em qua-' dro vermelho, Outros textos usam revestimentos de plástico para mostrar a crescente complexidade de uma figura à medida que um revestimento é sobreposto em outro na figura original do texto. Evidentemente são inúmeros os defeitos do currículo tradicional. O confiar na memorização de processos e provas, os tratamentos díspares de álgebra e geometria, pequenos defeitos de lógica, a retenção de alguns tópi- 30 cos antiquados e a ausência de qualquer motivação ou atração explicam a razão por que os jovens não apreciam a matéria e, portanto, por que não se saem bem nela. Intensifica-se-lhes a aversão e as dificuldades se fazem sentir em sua compreensão ao pedir-se-lhes que leiam compêndios enfadonhos, mal escritos e visando fins comerciais. Exigia-se certamente uma reforma. Os líderes do movi- mento da nova matemática não citaram todos os defeitos acima. Assinalaram, porém, alguns deles. Examinemos, portanto, o que essas pessoas propuseram fazer e tente- mos avaliar sua eficacidade para a melhoria do ensino de matemática. 31 Origem do Movimento da Matemática Moderna “A experiência, porém, mostra que, para a maioria das pessoas cultas, até mesmo dos cientistas, a matemática permanece a ciência do incompreensível.” ALFRED PRINGSHEIM Concordava-se geralmente no princípio da década de 1950 e-mesmo antes dessa data que o ensino de matemática “malograra.) As notas dos estudantes em matemática eram muito mais baixas que em outras matérias. A aversão e até mesmo o pavor do estudante pela matemá- tica eram generalizados. Adultos instruídos quase nada retinham da matéria que lhes fora ensinada e não sabiam fazer simples operações com frações. De fato, essas pessoas não hesitavam em dizer que nada obtive- ram de seus cursos de matemática, Quando os Estados Unidos entraram na Segunda Guerra Mundial, os mili- tares logo descobriram que os homens eram deficientes em matemática, e tiveram que instituir cursos especiais para elevar-lhes o nível de eficiência, Embora haja muitos fatores que determinam o resul- tado de qualquer atividade de ensino, os grupos que empreenderam a reforma concentraram-se no currículo e explicaram que, se se melhorasse este componente, o ensino de matemática seria coroado de êxito. 32 “Sput ik> Esse acontecimento convenceu o governo no: BIBLIOTECA - CCE Em 1952, a Comissão de Matemática Escolar da Universidade de Illinois, presidida pelo professor Max Beberman, começou a preparar um novo, ou moderno, currículo de matemática. Por volta de 1960, o currículo (nesse tempo orientado unicamente para as escolas secundárias) foi empregado em base experimental. Sub- sequentemente, a Comissão empreendeu a formação de um currículo para escola elementar e, gradualmente, estendeu o ensino da matéria, tanto do âmbito elemen- tar como do de escola secundária, para outras áreas geográficas. Os textos experimentais, em forma de foto-ofíset) acabaram sendo publicados como textos comerciais. Em 1955, a Junta Examinadora de Admissão ao Colé- gio, cuja função é preparar os exames para admissão em colégios, que atendem às exigências de muitos desses estabelecimentos, decidiu tratar do problema do cur- rículo de matemática da escola secundária e compor o que considerava ser o currículo apropriado. Criou sua própria Comissão de Matemática. Em 1959 a Comissão publicou seu relatório, Programa Preparatório de Matemática para os Colégios e acrescentou vários apêndices que continham amostras da matéria recomen- dada. Não organizou textos, Durante os anos de 1955 a 1959 e por muitos anos depois, os membros da Comis- são viajaram pelo país e fizeram uma campanha em favor do tipo de currículo que propuseram em seu Pro- grama, “No outono de 1957, os russos lançaram seu primeiro te-americano e o país de que deviam estar atrás dos russos em matemática e ciência, e teve o efeito de afrou- xar os cordéis das bolsas das agências governamentais e funções. Talvez seja coincidência, mas nessa ocasião muitos outros grupos decidiram entrar no negócio de criar um novo currículo, A American Mathematical Society (Sociedade de Matemática Americana), organização interessada em pesquisas, decidiu em 1958 que seus talentos fossem apli- cados à criação de um currículo de escola secundária e estabeleceu um novo grupo, o de Estudos de Mate- mática Escolar, presidido pelo professor Edward G. 33 recomendou a inclusão — ao fim do décimo segundo grau, o quarto ano de escola secundária — de muitos tópicos adiantados adicionais extraídos da teoria de números, álgebra abstrata, álgebra linear, geometria m-dimensional, geometria projetiva, tensores, topologia, equações diferenciais e, naturalmente, o cálculo, À pági- na 7 o relatório declara: “A matéria que estamos propondo pode ser aproximadamente descrita dizendo que um estudante que tenha estudado durante todos os treze anos de matemática nos graus K a 12 (kindergar- ten até o final do quarto ano de escola secundária) deve ter um nível de treinamento comparável a 3 anos de um treinamento de alto nivel de colégio hoje em dia,” A justificativa para advogar esse programa, quando os grupos de currículos já existentes mal começaram a experimentar seus programas ou estavam ainda se for- mando, foi dada no Prefácio por Francis Keppel, que era. nesse tempo Comissário de Educação dos Estados Uni- dos. Ele observou que as recentes mudanças no currículo são em essência diferentes das que tinham sido ten- tadas no passado e que as reformas tinham aido eminen- temente hem sucedidas em sua maior parte (Como o dr, Keppel sabia disso em 1963 quando a maioria dos currículos da nova matemática mal havia sido experi- mentada não está claro), tanto assim que “às vezes tem sido difícil distinguir-lhes as deficiências. Contudo, as deficiências lá estão e não são de forma alguma insignificantes. Pode-se alegar, de fato, que as deficiên- cias do atual movimento de reforma são bastante graves a ponto de ameaçar os manifestos objetivos dos próprios movimentos.” Keppel observou depois que as mudanças recomendadas pelo grupo de Cambridge visavam repre- sentar a matéria como o estudioso via a disciplina, e que se presumia que os estudantes poderiam aprender muito mais do que se esperara no passado, Notaram-se também as limitações do professor! “A maioria das reformas de currículos, praticamente bastantes, pre- feriu limitar suas ambições à luz dessas realidades. Elas tendiam a criar novos cursos tais que os professo- res existentes, depois de gozar dos benefícios de breve retreinamento, pudessem dirigir com competência, Eles o fizeram plenamente cônscios de que estão assim esta- 36 belecendo um limite superior, e um limite superior que é inquietantemente rigoroso.” + Keppel continuou depois; “Se a questão devesse ter- minar aí, o resultado teria sido desastroso. Novos cur- rículos ficariam congelados no novo sistema educacional que passaria a ter, com o tempo, todas as deficiências dos currículos que estão agora sendo eliminados, E, com toda probabilidade, o atual entusiasmo pela reforma dos currículos há muito se teria exaurido; os “novos” currículos talvez permanecessem no sistema até que, à semelhança dos antigos, se tornassem não só inadequa- dos como realmente intoleráveis. Dados o relativo con- servantismo do sistema educacional e a tendência dos estudiosos de voltarem-se para suas próprias preocupa- ções diretas, o atraso poderia muito bem, no mínimo, ser tão demorado quanto foi durante a primeira metade do século atual. “O atusl relatório constitui um passo ousado no sen- tido de enfrentar este problema. Caracteriza-se por uma completa impaciência com a presente capacidade do sistema educacional, Não é só que a maioria dos pro- fessores estaria completamente incapaz de ensinar gran- de parte da matemática exposta nos currículos aqui propostos; a maioria se sentiria em dificuldade para compreendê-lo, Não bastará um breve período de retrei- namento, Mesmo o currículo do primeiro grau incorpora noções, as quais o professor comum desconhece com- pletamente, “Não obstante (sic) estes são currículos que as esco- las deveriam visar. (...)” O segundo dos novos grupos que se juntaram ao movimento para rever os currículos, o Estudo de Melho- ria do Currículo de Matemática da Escola Secundária, foi organizado em 1965 pelo professor Howard Fehr, da Universidade de Colúmbia, Seu objetivo é reconstruir a matemática da escola secundária “partindo de um pônto de vista global”. Procura eliminar as barreiras que separam os vários ramos de matemática e unificar a matéria por meio de seus conceitos gerais, conjuntos, operações, mapeamentos, relações e estrutura. (Discuti- remos esses conceitos mais adiante.) A opinião do pro- fessor Fehr é que sua organização da matéria permitirá 37 introduzir no currículo da escola secundária grande barte do que tem sido considerado matemática colegial, O trabalho do grupo de Cambridge e do Estudo de Melhoria do Currículo tem marchado lentamente e seu efeito sobre o movimento de matemática moderna não se encontra ainda generalizado. Por conseguinte, nosso relato e avaliação do movimento de matemática moderna concentrar-se-ão nos esforços sobre os currículos dos grupos precedentes, alguns dos quais continuam traba- lhando num aspecto ou outro dos programas escolares. Os currículos que foram formulados por essas várias organizações são o produto de esforços de grupos nos quais matemáticos de pesquisas, professores de colégio e de escola secundária e mesmo representantes de indús- trias têm colaborado. A julgar por isso, tal colabora- ração pareceria um processo sensato. Contudo, tenta- tivas para chegar a uma concordância de espírito mui- tas vezes resultam em acomodações que não satisfazem a ninguém ou que viciam o impulso do esforço. Pode-se ilustrar este ponto com o caso da famosa dançarina Isadora Duncan, que se oferecera para casar com Ber- uard Shaw e dissera talvez com certa facécia: “ (...) € imagine o filho que teria seu cérebro e minhas fei- ções?” Quando se procura determinar quais as modificações que esses currículos oferecem, por que elas são dese- jáveis e que raciocínio ou evidência se podem cferecer para apoiar a desejabilidade dessas mudanças, a gente defronta com um problema de considerável magnitude, É verdade que, em seu relatório de 1959, a Comissão de Matemática da Junta Examinadora de Admissão ao Colégio descreveu o conteúdo que ela recomendava. Mas, exceto a ênfase de que a sociedade moderna neces- sita de uma matemática inteiramente nova, a Comissão não defendeu o conteúdo que propusera. Além disso, os vários grupos de currículos que escreveram textos rão só estenderam a reforma para os graus da escola elementar como não seguiram necessariamente as reco- mendações da Comissão, Era de esperar que cada grupo declarasse sua própria posição e apresentasse suas razões por ineluir ou excluir determinados tópicos ou por ado- tar sua própria abordagem. Nenhum desses documentos 38 foi publicado. Isso é também verdadeiro no tocante a muitos textos publicados por autores individuais que se proclamam serem modernos em caráter. Por conseguinte, temos que deduzir o que é o currículo da matemática moderna e por que motivo é ele presumivelmente supe- rior ao currículo tradicional. Poderia a ausência de material explicativo e de uma justificação ser inter- pretada como significando que os defensores da mate- mática moderna não estão muito claros no tocante no rumo tomado ou será que temem que as declarações explícitas das características e dos méritos enunciados sobre seus materiais não suportam uma análise? Seja como for, para determinar a natureza. e as qualidades do currículo da matemática moderna, tem-se que exa- minar os textos e ouvir os discursos feitos por vários proponentes. No momento, até uma discussão mais empla, notemos que há duas características principais no novo currículo; uma nova abordagem da matemática tradicional e novo conteúdo. Como tenctionamos avaliar a nova matemática, é neces- sário considerar em que base se deve julgá-la. Poder- seja usar como critério: é a matemática correta? A resposta é afirmativa, mas o critério é inútil. A quali- dade de ser correta não garante que os estudantes se apeguem à matéria, possam absorvê-la ou que esta mate- mática particular é a que deve ser ensinada. Desenvolverá ela matemáticos? Mesmo que fosse o currículo ideal para o treinamento de matemáticos, não satisfaria. À nova matemática é ensinada a estudantes de escolas elementar e secundária que afinal ingressarão em toda uma variedade de profissões, negócios, empre- gos técnicos e comércio ou se tornarão primariamente esposas e mães. Das crianças de escola elementar nenhu- ma em mil será um matemático; e dos estudantes da escola secundária, nenhum em cem o será também. É claro, pois, que um currículo que poderia ser ideal para o treinamento de matemáticos ainda não estaria certo para esses níveis de educação. O conteúdo deve contribuir para os objetivos da edu- cação na escola elementar e na secundária e ser acessível aos jovens. A abordagem do material deveria tornar o conteúdo atrativo e auxiliar a compreensão 39 
