Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
O Problema das 4 retas do C´alculo
de Schubert
Viviane de Jesus Lisboa
2011
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Projetação de Subespaços Lineares em Espaços Projetivos e Aplicação no Mergulho de Plücker, Notas de aula de Cálculo
Este documento aborda a construção de subespaços lineares de dimensão r em p(v), onde v é um espaço vetorial de dimensão n+1, através da projetivização de subespaços de v. Além disso, é apresentado o conceito de variedade linear e o radical de um ideal homogêneo, bem como a aplicação do mergulho de plücker no estudo de retas em p3. O documento também aborda a demonstração de alguns lemas e corolários relacionados a esses conceitos.
O que você vai aprender
- Como são construídos os subespaços lineares de dimensão r em P(V)?
- O que é uma variedade linear e qual é a definição de radical de um ideal homogêneo?
- Como o Mergulho de Plücker é aplicado no estudo de retas em P3?
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 57
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Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
O Problema das 4 retas do C´alculo
de Schubert
Viviane de Jesus Lisboa
Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
O Problema das 4 retas do C´alculo
de Schubert
por
Viviane de Jesus Lisboa
sob orienta¸c˜ao da
Prof.a^ Dr.a^ Jacqueline Fabiola Rojas Arancibia
Mar¸co de 2011
Jo˜ao Pessoa-PB
ii
iv
Aos meus pais, Joselito e Vilma Maria e a minha irm˜a Lidiane que tanto me apoiaram nas decis˜oes que tomei, a toda minha fam´ılia e amigos que acreditaram em mim, muitas vezes mais do que eu mesma.
v
Resumo
Neste trabalho expomos a resolu¸c˜ao do problema das 4 retas do C´alculo de Schubert utilizando o mergulho de Pl¨ucker, com ˆenfase no estudo da posi¸c˜ao relativa das 4 retas dadas em P^3 , o que nos permite obter uma descri¸c˜ao expl´ıcita do conjunto de solu¸c˜oes e dar sentido preciso a no¸c˜ao de posi¸c˜ao geral. No cap´ıtulo 1 inserimos a no¸c˜ao de espa¸co projetivo e outras correlatas que servir˜ao de base no estudo do problema a ser resolvido. No cap´ıtulo 2 introduzimos o Mergulho de Pl¨ucker, ω, o qual nos permite identificar o conjunto das retas que encontram uma reta fixa l 0 com a interse¸c˜ao da qu´adrica de Pl¨ucker e o espa¸co tangentea mesma no ponto ω(l 0 ). Al´em disso damos a descri¸c˜ao das variedades lineares contidas na qu´adrica de Pl¨ucker. Por fim, no cap´ıtulo 3 demonstramos o Teorema 3.0.3 que ´e a chave para resolu¸c˜ao do nosso problema e fazemos a descri¸c˜ao do conjunto solu¸c˜ao cada para posi¸c˜ao relativa poss´ıvel das 4 retas. Conclu´ımos com um apˆendice onde tratamos da conjectura de Shapiro-Shapiro no caso do problema das quatro retas do c´alculo de Shubert.
Palavras-chave:
Grassmanniana, Mergulho de Pl¨ucker, C´alculo de Schubert.
vii
Abstract
In this dissertation we expose the solve the four line problem in Schubert Calculus using the Pl¨ucker embedding, giving emphasis to the study of the relative position of the four given lines in P^3 , this allows us to obtain an explicit description of the solution’s set as well as to give the precise meaning to the notion of general position. In chapter 1, we insert the notion of projective space and other related, which are the basic notions for addressing the problem that we treat. In chapter 2, we introduce the Pl¨ucker embedding, ω, which allows us to identify the set of lines that meet a fixed given line l 0 with the intersection of the Pl¨ucker’s quadric, Q, and the tangent space of Q at ω(l 0 ). We also give the description of all the linear varieties contained in the Pl¨ucker’s quadric Q. Finally, in chapter 3 we demonstrate the Theorem 3.0.3 which is a key ingredient to find solutions for our problem. Moreover, we establish a relationship between the relative position of the four given lines and their solution’s set. Finally, we conclude in the appendix with the Shapiro-Shapiro conjecture in the case of the four line problem in Schubert Calculus.
Keywords:
Grammannian, Pl¨ucker Embedding, Schubert Calculus.
viii
Introdu¸c˜ao
O problema do qual trataremos neste trabalho ´e um t´ıpico problema de Geometria Enumerativa, a saber: Dadas quatro retas distintas no espa¸co projetivo complexo tridimensional P^3 , determinar o n´umero de retas que as intersectam simultaneamente. Para resolver problemas deste tipo o geˆometra alem˜ao Hermann C¨asar Hannibal Schubert (1848-1911) introduziu um c´alculo, hoje chamado em sua homenagem de C´alculo de Schubert. De modo simplificado a id´eia deste c´alculo ´e: dado um sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas transform´a-lo em um novo sistema cujas solu¸c˜oes s˜ao mais f´aceis de calcular. Este c´alculo ´e baseado no Princ´ıpio da Conserva¸c˜ao do N´umero que garante que o n´umero de solu¸c˜oes encontradas no fim do processo ´e o mesmo que o do in´ıcio. Por´em tal principio era na ´epoca muito questionado pela falta de uma demonstra¸c˜ao. Justificar este resultado foi a base do 15o^ problema dentre os 22 da lista apresentada por Hilbert no Congresso Internacional de Matem´atica realizado em Paris em 1900. De fato, com o desenvolvimento da teoria de interse¸c˜ao, em particular pelo c´alculo do anel de Chow da grassmanniana de retas em P^3 , G(2, C^4 ), sabe-se que dadas 4 retas em posi¸c˜ao geral em P^3 , existem exatamente 2 solu¸c˜oes (veja problema 1 na p´agina 210 em [2], [4] ou [6] para uma pesquisa mais aprofundada). Assim o objetivo deste trabalho ´e determinar as solu¸c˜oes do problema das 4 retas de Schubert, estudando a posi¸c˜ao relativa das 4 retas dadas em P^3 e, em particular esclarecer o significado de “posi¸c˜ao geral”das 4 retas neste problema. Salientamos que a no¸c˜ao de posi¸c˜ao geral trata da posi¸c˜ao “mais geral”dos objetos em estudo. De fato, consiste em encontrar um aberto no espa¸co de parametros destes objetos no qual o problema em quest˜ao admite solu¸c˜ao finita, naturalmente a determina¸c˜ao deste aberto depende do problema em quest˜ao. Neste trabalho veremos as no¸c˜oes b´asicas necess´arias para a determina¸c˜ao das solu¸c˜oes deste problema, entre elas espa¸co projetivo, grassmanniana de retas e mergulho de Pl¨ucker. De fato, um ingrediente chave para encontrarmos as solu¸c˜oes do problema em quest˜ao ´e a utiliza¸c˜ao do mergulho de Pl¨ucker, que tem esse nome em homenagem ao f´ısico e matem´atico alem˜ao Julius Pl¨ucker (1801-1868). Por outra parte quando se estudam problemas em ´areas aplicadas (f´ısica, estat´ıstica,...) a determina¸c˜ao de solu¸c˜oes reais ´e imprescind´ıvel. Com foco nisto, no apˆendice discutimos a conjectura de Shapiro-Shapiro no caso do problema das 4 retas do C´alculo de Schubert baseado em [12] e [13].
x
Nota¸c˜ao e Terminologia
A seguir fazemos uma lista de nota¸c˜oes e terminologias utilizadas no decorrer do texto e damos os seus significados:
- Sejam p 6 = q dois pontos distintos em Pn. Ent˜ao denotaremos por lp,q a (´unica) reta em Pn^ passando por estes pontos.
- Sejam p ∈ Pn^ e l ⊂ Pn^ uma reta tal que p n˜ao pertence a l. Ent˜ao denotaremos por 〈p, l〉 o (´unico) plano em Pn^ contendo o ponto p e a reta l.
- Ser´a utilizada a mesma nota¸c˜ao para dimens˜ao afim e projetiva e o contexto indicar´a qual dimens˜ao o texto se refere.
As demais nota¸c˜oes e terminologias presentes no trabalho ter˜ao seu significado expresso no decorrer do mesmo.
xi
1.1. ESPAC¸ O PROJETIVO
s´o ent˜ao este recria a sensa¸c˜ao de tridimensionalidade. Leon propˆos ent˜ao que fosse pintado o que s´o um olho vˆe e utilizar-se de jogos de luz e sombra, al´em da diminui¸c˜ao da intesidade da cor em fun¸c˜ao da distˆancia, para dar a id´eia de tridimensionalidade. Matematicamente podemos interpretar que entre o olho e o objeto ´e formado um cone de raios luminosos, denominado Cone de Imagem, na pintura ´e retratada uma se¸c˜ao deste cone. Neste ponto questiona-se: quais seriam as propriedades preservadas pelas se¸c˜oes de cone? Notamos que algumas propriedades da Geometria Euclidiana s˜ao quebradas, como distˆancia, ˆangulos, paralelismo de retas e semelhan¸ca. Surge ent˜ao a Geometria Projetiva e nela o conceito de espa¸co projetivo. Iniciaremos com a constru¸c˜ao do plano projetivo real, que d´a sentido matem´atico preciso ao conceito de perspectiva comentado anteriormente. Para mais detalhes, veja [1] e [14].
1.1 Espa¸co Projetivo
Antes de falarmos do Espa¸co Projetivo Complexo, no qual trataremos nosso problema, vamos conhecer o Plano Projetivo Real, que nos servir´a de motiva¸c˜ao para a constru¸c˜ao dos espa¸cos projetivos em geral. O conceito de Plano Projetivo Real foi inicialmente introduzido pelo matem´atico, engenheiro militar e arquiteto francˆes de Lion, Girard Desargues (1591 - 1661). Podemos constru´ı-lo do seguinte modo (conforme [14]): Considere o plano afim mergulhado no espa¸co tridimensional real R^3 como o plano π de equa¸c˜ao z = 1.
Figura 1.2: Constru¸c˜ao do Plano Projetivo
Cada ponto p do plano π determina uma ´unica reta Up passando pela origem. Note que al´em dos subespa¸cos unidimensionais da forma Up, em R^3 h´a tamb´em subespa¸cos unidimensionais que n˜ao intersectam o plano π, que s˜ao justamente os subespa¸cos contidos no plano Oxy, estes s˜ao ditos pontos no infinito. Assim passamos a definir o plano projetivo real por:
1.1. ESPAC¸ O PROJETIVO
Defini¸c˜ao 1.1.1 O plano projetivo real P^2 ´e o conjunto das retas do espa¸co tridimensional real passando pela origem. Isto ´e, o conjunto dos subespa¸cos unidimensionais do espa¸co tridimensional real R^3.
Utilizando a mesma no¸c˜ao da constru¸c˜ao do plano projetivo real podemos considerar para qualquer espa¸co vetorial V sobre um corpo K o conjunto formado pelos subespa¸cos unidimensionais de V , que denotaremos por P(V ) e denominaremos de projetiviza¸c˜ao de V (ou espa¸co projetivo determinado por V ). Assim
P(V ) =
[v] ⊂ V |v ∈ V, v 6 = 0
onde [v] denota o subespa¸co de V gerado pelo vetor v (conforme [10]). Por simplicidade, de aqui em diante denotaremos Pn^ = P(Cn+1). Veja que P^0 = {[1]} consiste de um ´unico ponto, pois C = [1] ´e o ´unico subespa¸co de C de dimens˜ao
- Ja P^1 consiste de uma c´opia de C e o ponto no infinito, mais precisamente P^1 = {[(a, 1)] | a ∈ C} ∪ {[(1, 0)]}. Um ponto p = [v] ∈ Pn^ com v = (a 0 ,... , an), ser´a denotado por p = [a 0 :... : an], a 0 ,... , an ser˜ao chamados de coordenadas homogˆeneas do ponto p. Note que se a 0 ,... , an s˜ao coordenadas homogˆeneas de p ent˜ao λa 0 ,... , λan, com λ ∈ C∗, tamb´em s˜ao coordenadas homogˆeneas de p.
Observa¸c˜ao 1.1.0.1 Se definirmos a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em V − { 0 } por
u ∼ v ⇐⇒ ∃ λ ∈ K − { 0 } tal que u = λv,
ent˜ao V^ −{∼ 0 }pode ser identificado com P(V ). De fato, defina
ϕ : P(V ) → V^ −{∼^0 } [v] 7 → v
A seguir usaremos a defini¸c˜ao de P(V ) em (1.1) ou sua identifica¸c˜ao com V^ −{∼ 0 }dada por ϕ.
1.1.1 Retas, Planos e Hiperplanos
Uma reta no espa¸co projetivo P(V ) ´e um subespa¸co linear de dimens˜ao um de P(V ). De maneira geral os subespa¸cos lineares de dimens˜ao r de P(V ) com dimV = n + 1 s˜ao constru´ıdos como a projetiviza¸c˜ao dos subespa¸cos W de V de dimens˜ao r + 1, r ≤ n. Assim definimos dimP(W ) = r, em particular dimP(V ) = n. Os subespa¸cos lineares de P(V ) de dimens˜ao 1, 2, e n − 1 recebem os nomes especiais de reta, plano e hiperplano, respectivamente.
Na geometria projetiva dois hiperplanos em P(V ) sempre se intersectam.
1.2. CONJUNTOS ALG EBRICOS PROJETIVOS´
Dito conjunto ser´a denominado de conjunto dos zeros de F 1 ,... , Fk em Pn. Seja I = 〈F 1 ,... , Fk〉 ⊂ C[X 0 ,... , Xn] o ideal gerado pelos polinˆomios homogˆeneos Fi com i = 1,... , k (neste caso I ´e dito ideal homogˆeneo), definimos
Z(I) =
a ∈ Pn|F (a) = 0 ∀F ∈ I
Ent˜ao temos que Z(I) = Z(F 1 ,... , Fk) e Z(I) independe dos geradores tomados para I.
Defini¸c˜ao 1.2.1 Um subconjunto Z ⊂ Pn^ ´e dito conjunto alg´ebrico projetivo, ou variedade projetiva, se existem polinˆomios homogˆeneos F 1 ,... , Fk ∈ C[X 0 ,... , Xn] tais que Z ´e o conjunto de zeros de F 1 ,... , Fk, ou seja, Z ´e a interse¸c˜ao de finitas hipersuperf´ıcies alg´ebricas, ou Z = Pn.
Observa¸c˜ao 1.2.0.3 E importante destacar que a fam´´ ılia
τ =
Z(I)
I⊂C[X 0 ,...,Xn]
com I ideal homogˆeneo de C[X 0 ,... , Xn],
define uma topologia em Pn, onde os conjuntos alg´ebricos Z(I) s˜ao os fechados da topologia definida por τ. Deixamos aos leitores a verifica¸c˜ao de que τ define uma topologia em Pn^ (conforme Exemplo 8.2.9. na p´agina 354 de [3]). Dita topologia ´e denominada topologia de Zariski.
Se X ⊂ Pn^ for um subconjunto, definimos o ideal de X por I(X) = 〈{f ∈ C[X 1 ,... , Xn] | f ´e homogˆeneo e f (x) = 0, ∀ x ∈ X}〉. Sejam X, Y ⊂ Pn, com X ⊂ Y , ent˜ao verifica-se que I(Y ) ⊂ I(X). Lembremos que se I for um ideal do anel A, ent˜ao o radical de I,
I, ´e definido por √ I = {p ∈ A|∃ m ∈ N, pm^ ∈ I}.
Teorema 1.2.1 (Teorema dos Zeros de Hilbert) Seja Z(I) ⊂ Pn^ um conjunto alg´ebrico, onde I ⊂ 〈X 0 ,... , Xn〉 ⊂ C[X 0 ,... , Xn] ´e um ideal homogˆeneo. Ent˜ao:
I(Z(I)) =
I.
Este resultado pode ser encontrado em [7], Proposi¸c˜ao 5.9 da p´agina 34.
Corol´ario 1.2.2 Considere os ideais homogˆeneos J, I ⊂ C[X 0 ,... , Xn] tais que Z(J) ⊂ Z(I), ent˜ao
I ⊂
J. Em particular se I = 〈F 〉 e J = 〈L 1 ,... , Lk〉, com Li formas lineares, ent˜ao F ∈ 〈L 1 ,... , Lk〉.
1.2. CONJUNTOS ALG EBRICOS PROJETIVOS´
Demonstra¸c˜ao: Segue do Teorema 1.2.1 que
Z(J) ⊂ Z(I) ⇒ I(Z(I)) ⊂ I(Z(J)) ⇒
I ⊂
J.
Finalmente, ´e suficiente observar que F ∈
I e
J = J.
No Teorema 1.2.4 mostraremos que de fato todo subespa¸co linear em Pn^ ´e um conjunto alg´ebrico. Para isto precisamos do seguinte lema.
Lema 1.2.3 Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo K de dimens˜ao n e f 1 ,... , fk funcionais lineares sobre V (i.e. f 1 ,... , fk ∈ V ∗). Seja Wi = ker(fi) qualquer que seja 1 ≤ i ≤ k, ent˜ao temos: (I) f 1 ,... , fk s˜ao vetores linearmente independentes de V ∗^ se, e somente se dim(W 1 ∩... ∩ Wk) = n − k. (II) f 1 ,... , fk s˜ao vetores linearmente dependentes de V ∗^ se, e somente se dim(W 1 ∩
... ∩ Wk) > n − k.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente note que [f 1 ,... , fk] ´e o anulador de W 1 ∩... ∩ Wk, sabendo que a dimens˜ao no subespa¸co mais a dimens˜ao do seu anulador ´e igual a dimens˜ao do espa¸co (Proposi¸c˜ao 4.3, p´agina 52 em [9]), temos
dim(W 1 ∩... ∩ Wk) = n − dim[f 1 ,... , fk].
Da´ı as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao facilmente verificadas.
Teorema 1.2.4 Seja Λ = P(W ) com W = [u 0 , ..., ur] um subespa¸co linear de Pn de dimens˜ao r < n. Ent˜ao existem exatamente n − r formas lineares linearmente independentes L 1 , ..., Ln−r ∈ S 1 tais que
Λ = Z(L 1 , ..., Ln−r).
Demonstra¸c˜ao: Denotemos Cn+1^ = V. Seja W 0 ⊂ V ∗^ o conjunto dos funcionais lineares cujos n´ucleos contˆem W , ou seja, W 0 = {f ∈ V ∗|f (u 0 ) =... = f (ur) = 0}. Completemos a base {u 0 , ..., ur} de W para uma base de V , {u 0 ,... , ur, wr+1,... , wn} e consideremos sua base dual associada {u∗ 0 ,... , u∗ r , w∗ r+1,... , w∗ n} de V ∗. Note que {w∗ r+1,... , w∗ n} ´e um subconjunto linearmente independente de W 0 , pois os funcionais lineares em quest˜ao satisfazem a propriedade b´asica da base dual, a saber, w∗ i (uj ) = 0 para todo 0 ≤ j ≤ r e r + 1 ≤ i ≤ n. Portanto dimW 0 ≥ n − r. Agora sejam f 1 ,... , fk ∈ V ∗^ linearmente independentes tais que
W ⊂ ker(f 1 ) ∩... ∩ ker(fk) ⇒ r + 1 ≤ dim(ker(f 1 ) ∩... ∩ ker(fk)) = n + 1 − k ⇒ k ≤ n − r,
1.2. CONJUNTOS ALG EBRICOS PROJETIVOS´
∴ Λ = Z(L 1 ) ∩... ∩ Z(Ln−r).
Defini¸c˜ao 1.2.2 Um conjunto alg´ebrico projetivo X ⊂ Pn^ ´e dito conjunto alg´ebrico linear, ou variedade linear se X = Z(I) onde I = 〈L 1 , ..., Lk〉 com L 1 , ..., Lk ∈ S 1.
Seja X = Z(I) uma variedade linear com I = 〈L 1 ,... , Lk〉. Note que caso I = { 0 } ent˜ao X = Pn. Caso contr´ario: I 6 = { 0 } e podemos assumir que I = 〈L 1 ,... , Lk〉, onde {L 1 ,... , Lk} ´e linearmente independente. Note que se
Li =
∑^ n
j=
aij Xj
ent˜ao Z(I) = P(W ), onde W =
(b 0 ,... , bn) ∈ Cn+1|
∑n j=0 aij^ bj^ =^0
. Assim
dimZ(I) = (n + 1 − k) − 1 = n − k. Observe que: l ⊂ P^2 ´e uma reta ⇔ l = Z(L), com L forma linear n˜ao nula em C[X 0 , X 1 , X 2 ]. l ⊂ P^3 ´e uma reta ⇔ l = Z(L 1 , L 2 ), com {L 1 , L 2 } formas lineares LI em C[X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ].
Proposi¸c˜ao 1.2.0.4 Sejam F ∈ Sd n˜ao nulo, com d ≥ 1 , e l = P(W ) uma reta em Pn, n ≥ 2. Ent˜ao Z(F ) ∩ l 6 = ∅. Al´em disso ou l ⊂ Z(F ) ou Z(F ) ∩ l consiste de no m´aximo d pontos.
Demonstra¸c˜ao: Se l ⊂ Z(F ) temos o resultado. Suponha que l * Z(F ), ent˜ao podemos escolher uma base {w 1 , w 2 } de W tal que [w 2 ] n˜ao pertence a Z(F ) e podemos escrever
l = {[w 1 + tw 2 ]| t ∈ C} ∪ {[w 2 ]}
Se w 1 = (a 0 ,... , an), w 2 = (b 0 ,... , bn) e
F =
i 0 ,...,in≥ 0 i 0 +...+in=d
ci 0 ,...,in X 0 i^0.... .X nin ,
com ci 0 ,...,in ∈ C, ent˜ao avaliando F em [w 1 + tw 2 ] ∈ l obtemos o polinˆomio
p(t) =
i 0 ,...,in≥ 0 i 0 +...+in=d
ci 0 ,...,in (a 0 + tb 0 )i^0.... .(an + tbn)in^ = F (w 1 ) + · · · + tdF (w 2 ).
1.2. CONJUNTOS ALG EBRICOS PROJETIVOS´
Note que se [w 1 + t 0 w 2 ] ∈ Z(F ), ent˜ao p(t 0 ) = 0. Sendo p(t) um polinˆomio n˜ao constante, j´a que o coeficiente do termo de grau d ´e F (w 2 ) 6 = 0, ent˜ao pelo Teorema Fundamental da Algebra,´ p tem ao menos uma raiz, ou seja Z(F ) ∩ l 6 = ∅. Por outro lado, j´a que o grau do polinˆomio p(t) ´e d, ent˜ao o n´umero m´aximo de ra´ızes distintas do polinˆomio ´e d. Portanto o n´umero de pontos da interse¸c˜ao Z(F ) ∩ l ´e no m´aximo d.
Corol´ario 1.2.5 Sejam F ∈ Sd n˜ao nulo, com d ≥ 1 , e Λ = P(W ) um subespa¸co linear de dimens˜ao r ≥ 2 de Pn. Ent˜ao Z(F ) ∩ Λ consiste de infinitos pontos.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente note que sendo Λ um subespa¸co linear de dimens˜ao r ≥ 2, ent˜ao Λ cont´em um plano. Suponhamos que Λ seja um plano, ou seja dimΛ = 2. Note que nesse caso temos duas possibilidades:
- Existe uma reta l do plano Λ tal que l ⊆ Z(F ), ou
- Z(F ) ∩ Λ n˜ao cont´em retas.
No caso 1. concluimos que l ⊆ Z(F ) ∩ Λ. Portanto Z(F ) ∩ Λ consiste de infinitos pontos. Para resolver o caso 2. usaremos o Fato 1.2.0.5 que ser´a provado ap´os este corol´ario, a saber: dados p 1 ,... , pm ∈ P^2 , existe l P^2 reta tal que pi n˜ao pertence a l para todo i ∈ { 1 ,... , m}.
- Seja l ⊂ Λ uma reta, pela Proposi¸c˜ao 1.2.0.4 a interse¸c˜ao l ∩ Z(F ) ´e um conjunto n˜ao vazio. Ent˜ao escolhamos p 0 ∈ l ∩ Z(F ) ⊂ Z(F ) ∩ Λ.
- Pelo Fato 1.2.0.5 existe um reta l 1 ⊂ Λ tal que p 0 n˜ao pertence a l 1. Pela Proposi¸c˜ao 1.2.0.4 a interse¸c˜ao l 1 ∩ Z(F ) ´e um conjunto n˜ao vazio, escolhamos p 1 ∈ l 1 ∩ Z(F ) ⊂ Z(F ) ∩ Λ. Assim obtemos p 0 , p 1 ∈ Z(F ) ∩ Λ, com p 0 6 = p 1.
- Aplicando novamente o Fato 1.2.0.5 conclu´ımos que existe um reta l 2 ⊂ Λ tal que p 0 , p 1 n˜ao pertencem a l 2. Pela Proposi¸c˜ao 1.2.0.4 a interse¸c˜ao l 2 ∩ Z(F ) ´e um conjunto n˜ao vazio, escolhamos p 2 ∈ l 2 ∩ Z(F ) ⊂ Z(F ) ∩ Λ. Assim obtemos p 0 , p 1 , p 2 ∈ Z(F ) ∩ Λ, pontos distintos dois a dois.
Este processo pode ser realizado indutivamente, de fato, se n´os j´a temos uma sequˆencia de pontos distintos p 0 ,... , pm− 1 ∈ Z(F ) ∩ Λ, obtemos pm ∈ Z(F ) ∩ Λ com pm 6 = pi para i = 0,... , m − 1 da seguinte forma: segue-se do Fato 1.2.0.5 que existe uma reta lm ⊂ Λ tal que pi n˜ao pertence a lm para todo i = 0,... , m − 1 e podemos escolher pm ∈ lm ∩ Z(F ) ⊂ Λ ∩ Z(F ). Assim seguindo a constru¸c˜ao indutiva obtemos uma sequˆencia enumer´avel de infinitos pontos p 0 ,... , pm,... que pentencem a Z(F )∩Λ.