UFPB/CCEN/Departamento de Matem´atica
Introdu¸c˜ao `a An´alise Funcional
Lista 2: Operadores limitados, dualidade, transforma¸c˜oes lineares
1. Sejam Xum espa¸co de Banach e T∈L(X). Mostre que, para todo t∈F, o operador
exp(tT ) definido por
exp(tT ) =
∞
∑
j=0
(tT )j
j!
pertence a L(X) e ∥exp(tT )∥ ≤ exp(|t|∥T∥).
2. Mostre que se X1eX2s˜ao espa¸cos normados e T∈L(X1, X2) ent˜ao seu n´ucleo N(T) ´e
um subespa¸co vetorial fechado. Verifique que S:l1(N)→l1(N), (Sx)n=xn
n´e limitado
mas sua imagem img(S) n˜ao ´e fechado, e que seu operador inverso S−1:img(S)→l1(N)
existe e n˜ao ´e limitado.
3. Seja fum funcional linear sobre o espa¸co vetorial normado X.
(a) Mostre que f∈X∗se, e somente se, existe C > 0 com |f(x)| ≤ Cpara todo xem
alguma bola B(y, δ ). Generalize para operadores lineares entre espa¸cos normados.
(b) Mostre que f∈X∗se, e somente se, N(f) ´e fechado. Dˆe um exemplo para mostrar
que isso nem sempre vale para operadores lineares.
(c∗) Mostre que se f´e ilimitado ent˜ao seu n´ucleo ´e denso.
4. Discuta se o n´ucleo do funcional f: (l1(N),∥.∥∞)→F, definido por f(x1, x2, . . . ) =
∑∞
j=1 xj, ´e fechado.
5. Seja Xum espa¸co vetorial normado de dimens˜ao infinita. Contrua um funcional linear
f:X→Rdescont´ınuo.
6. Mostre que o operador I ψ(t) = ∫t
aψ(s)ds pertence a L(C[a, b]). Mostre tamb´em que ele
n˜ao possui autovalores, isto ´e, n˜ao existem λ∈Feψ= 0 cont´ınua tais que Iψ =λψ.
7. Para cada a∈Rconsidere o funcional em C[−1,1] dado por
fa(ψ) = ∫1
−1
ψ(t)dt +aψ(0)
Mostre que fa´e um elemento do dual e que ∥fa∥= 2 + |a|.
8. Mostre que n˜ao existem operadores S, T ∈L(X) tais que T S −ST = 1.
Dica: Supondo que existem tais operadores, mostre que T Sn−SnT=nS n−1para todo
n∈N, e portanto ∥Sn−1∥ ≤ 2∥T∥∥S∥∥Sn−1∥
n, de forma que SN= 0 para todo N
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