Baixe Pesquisa Operacional 1 - Aula 3 e Problema de Transporte com Degenerescência e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
Exercício Proposto 1: (problema de Transportes)
Uma montadora de tratores possui 3 fábricas. As fábricas suprem 3 depósitos que
distribuem os tratores diretamente às revendas. O problema é achar quantos
tratores devem ser transportados de cada fábrica para os vários depósitos para
minimizar o custo total de transporte.
DEPÓSITO 1 DEPÓSITO 2 DEPÓSITO 3 CAPACIDADE DA FÁBRICA
FÁBRICA 1 19 17 3
FÁBRICA 2 15 21 18
FÁBRICA 3 11 14 15
Demandas 200 150
Exemplos de degenerescência no problema de transportes
Origens Destinos Oferta
Demanda 200 150 250 600
Resolução exercício 1: Processo do Custo Mínimo:
V. B.
x
x
x
x
Coeficiente
- c 11 +u 1 +v Coeficiente
- c 13 +u 1 +v
- c 35 +u 3 +v
- c 23 +u 2 +v
Substituindo Cij
- c 31 +u 3 +v
- c 25 +u 2 +v
- c 22 +u 2 +v
- c 32 +u 3 +v
Arbitrando u 1 = V 3 = U 2 = V 2 = U 3 =? V 1 =?
x V. N.B.
Degenerescência: O nº de variáveis básicas deveria ser m+n-1=3+3-1= mas só temos 4, então criamos Var. Bás. Auxiliares, tantas quanto necessário para que o nº de equações seja m+n-1 e o nº de var. ui e vi seja m+n. As Var. Bás. Aux. devem ter valores tão próximos de zero quanto necessário para que não sejam alteradas as condições de contorno do problema (restrições de origem e destino).
Demanda 200 150 250 600
Entra da base 21 x
Origens Destinos Oferta
Demanda 200 150 250 600
150 Sai da base
x ε 0
x 21 Entra da base
Demanda 200 150 250 600
Sai da base
x V. B. x 13 x 21 x 23 x 31 x 32 Coeficiente
- c 13 +u 1 +v 3 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 23 +u 2 +v 3 =
- c 31 +u 3 +v 1 =
- c 32 +u 3 +v 2 = Substituindo Cij - 3+u 1 +v 3 =
- 15+u 2 +v 1 =
- 18+u 2 +v 3 =
- 11+u 3 +v 1 =
- 14+u 3 +v 2 = Arbitrando u 1 = V 3 = U 2 = V 1 = U 3 = V 2 = V. N.B. x 11 x 12 x 22 x 33 Coeficiente
- c 11 +u 1 +v 1
- c 12 +u 1 +v 2
- c 22 +u 2 +v 2
- c 33 +u 3 +v 3 Valor
- 19+0+3 = - 16
- 17+0+6 = - 11
- 21+15+3 = - 3
- 15+11+3= - 1 A solução é ótima, pois não existem variáveis não-básicas com coeficientes positivos.
Z min 3 100 15 150 18 150 11 50 14 150 300 2250 2700 550 2100 7900
Na terça feira a companhia GT de trens terá 2 locomotivas na estação de
Guarapuava, 1 locomotiva na estação de Irati e duas locomotivas na estação de
Londrina. Trens de estudantes, cada um, requerendo uma locomotiva estarão em
Palmeira, Ponta Grossa, Maringá e Apucarana. Suponha que a tabela abaixo
especifique as distâncias entre as estações onde estão estacionadas as
locomotivas e os locais dos trens:
Palmeira Ponta Grossa Maringá Apucarana
Guarapuava 9 13 42
Irati 6 18 61
Londrina 15 10 5
Como as locomotivas devem ser encaminhadas (para os trens ) de modo que a
distância total percorrida seja mínima?
Exercício Proposto 2: (problema de Transportes)
Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42 35 0
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- 3 15 10 5 9 0
Demanda 1 1 1 1 1 5
Resolução
exercício 2:
Processo
do Custo
Mínimo:
V. B. x 12 x 14 x 21 x 33 x 35 Coeficiente
- c 12 +u 1 +v 2 =
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 35 +u 3 +v 5 = Substituindo Cij - 13+u 1 +v 2 = - 35+u 1 +v 4 = - 6+u 2 +v 1 = - 5+u 3 +v 3 = - 0+u 3 +v 5 = Arbitrando u 1 = v 2 = v 4 = u 2 =? u 3 =? v 1 =? v 3 =? v 5 =? V. N.B. Coeficiente Valor V. B. x 12 x 14 x 21 x 33 x 35 x 22 x 32 Coeficiente
- c 12 +u 1 +v 2 =
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 35 +u 3 +v 5 =
- c 22 +u 2 +v 2 =
- c 32 +u 3 +v 2 = Substituindo Cij
- 13+u 1 +v 2 =
- 35+u 1 +v 4 =
- 6+u 2 +v 1 =
- 5+u 3 +v 3 =
- 0+u 3 +v 5 =
- 18+u 2 +v 2 =
- 10+u 3 +v 2 = Arbitrando u 1 = v 2 = v 4 = u 2 = u 3 =- 3 v 1 = v 3 = v 5 = V. N.B. x 11 x 13 x 15 x 23 x 24 x 25 x 31 x 34 Coeficiente
- c 11 +u 1 +v 1
- c 13 +u 1 +v 3
- c 15 +u 1 +v 5
- c 23 +u 2 +v 3
- c 24 +u 2 +v 4
- c 25 +u 2 +v 5
- c 31 +u 3 +v 1
- c 34 +u 3 +v 4 Valor
- 9+0+1= - 8
- 42+0+8= - 34
- 0+0+3= 3
- 61+5+8= - 48
m+n-1=3+5-1=
(^) ε 0 ε 0
ε 0
Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42 35 0
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- 3 15 10 5 9 0
Demanda 1 1 1 1 1 5
ENTRA : x 25
SAI : x 22
Origens Destinos Oferta Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42 35 0
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- 3 15 10 5 9 0 2
Demanda 1 1 1 1 1 5
ε 0 ε (^) 0 ε 0 ε 0
ENTRA : x 15
SAI : x 14 ou x 35
ESCOLHEMOS
x 35 P/ SAIR E
FICOU x 14 = 0.
Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42 35 0
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- (^3) 15 10 5 9 0 2
Demanda 1 1 1 1 1 5
Origens Destinos Oferta Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42 35 0
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- 3 15 10 5 9 0
Demanda 1 1 1 1 1 5
ε (^) 0 ε 0 ε 0 ε 0
ε 0
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 14 +u 1 +v 4 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 21 +u 2 +v 1 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 33 +u 3 +v 3 =
- c 15 +u 1 +v 5 =
- c 15 +u 1 +v 5 =
- c 24 +u 2 +v 4 =
- c 34 +u 3 +v 4 =
- c 34 +u 3 +v 4 =
- c 34 +u 3 +v 4 =
- c 34 +u 3 +v 4 =
- 35+u 1 +v 4 =
- 35+u 1 +v 4 =
- 35+u 1 +v 4 =
- 35+u 1 +v 4 =
- 6+u 2 +v 1 =
- 6+u 2 +v 1 =
- 6+u 2 +v 1 =
- 6+u 2 +v 1 =
- 5+u 3 +v 3 =
- 5+u 3 +v 3 =
- 5+u 3 +v 3 =
- 5+u 3 +v 3 =
- 0+u 1 +v 5 =
- 0+u 1 +v 5 =
- 30+u 2 +v 4 =
- 10+u 3 +v 4 =
- 10+u 3 +v 4 =
- 10+u 3 +v 4 =
- 10+u 3 +v 4 = Arbitrando u 1 = Arbitrando u 1 = Arbitrando u 1 = Arbitrando u 1 = V 5 = V 5 =
ε 0
- Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- - Guarapuava- - Irati- - Londrina- - Demanda
- ENTROU: x
- SAIU : x - ENTRA: x
- x V. B.
- x
- x
- x
- x
- x
- x
- c 12 +u 1 +v 2 = Coeficiente
- c 34 +u 3 +v 4 = - - 13+u 1 +v 2 = Substituindo Cij - - 35+u 1 +v 4 = - - 6+u 2 +v 1 = - - 5+u 3 +v 3 = - - 0+u 3 +v 5 = - - 18+u 2 +v 2 = - - 10+u 3 +v 4 = - Arbitrando u 1 = - v 2 = - v 4 = - u 2 = - u 3 =- - v 1 = - v 3 = - v 5 = - x V. N.B. - x - x - x - x - x - x - x - - c 11 +u 1 +v Coeficiente - - c 13 +u 1 +v - - c 15 +u 1 +v - - c 23 +u 2 +v - - c 24 +u 2 +v - - c 25 +u 2 +v - - c 31 +u 3 +v - - c 32 +u 3 +v - - 9+0+1= - Valor - - 42+0+30= - - - 0+0+25= - - 61+5+30= - - - 30+5+35= - - 0+5+25= - - 15 - 25+1= - - - 10 - 25+13= -
- ENTROU: x
- SAIU : x - ENTRA: x - Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- - Guarapuava- - Irati- - Londrina- 3 15 10 5 9 0 - Demanda
- x V. B.
- x
- x
- x
- x
- x
- x
- c 12 +u 1 +v 2 = Coeficiente
- c 34 +u 3 +v 4 = - - 13+u 1 +v 2 = Substituindo Cij - - 35+u 1 +v 4 = - - 6+u 2 +v 1 = - - 5+u 3 +v 3 = - - 0+u 3 +v 5 = - - 0+u 2 +v 5 = - - 10+u 3 +v 4 = - Arbitrando u 1 = - v 2 = - v 4 = - u 2 =- - u 3 =- - v 1 = - v 3 = - V 5 = - x V. N.B. - x - x - x - x - x - x - x - - c 11 +u 1 +v Coeficiente - - c 13 +u 1 +v - - c 15 +u 1 +v - - c 23 +u 2 +v - - c 24 +u 2 +v - - c 22 +u 2 +v - - c 31 +u 3 +v - - c 32 +u 3 +v - - 9+0+31= Valor - - 42+0+30= - - - 0+0+25 = - - 61 - 25+30= - - - 30 - 25+35= - - - 18 - 25+13= - - - 15 - 25+31= - - - 10 - 25+13= -
- ENTROU: x
- SAIU : x - ENTRA: x - Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- - Guarapuava- - Irati- - Londrina- - Demanda
- x V. B.
- x
- x
- x
- x
- x
- x
- c 12 +u 1 +v 2 = Coeficiente
- c 34 +u 3 +v 4 = - - 13+u 1 +v 2 = Substituindo Cij - - 35+u 1 +v 4 = - - 6+u 2 +v 1 = - - 5+u 3 +v 3 = - - 0+u 1 +v 5 = - - 0+u 2 +v 5 = - - 10+u 3 +v 4 = - Arbitrando u 1 = - v 2 = - v 4 = - u 2 = - u 3 =- - v 1 = - v 3 = - V 5 = - x V. N.B. - x - x - x - x - x - x - x - - c 11 +u 1 +v Coeficiente - - c 13 +u 1 +v - - c 35 +u 3 +v - - c 23 +u 2 +v - - c 24 +u 2 +v - - c 22 +u 2 +v - - c 31 +u 3 +v - - c 32 +u 3 +v - - 9+0+6= - Valor - - 42+0+30= - - - 0 - 25+0= - - - 61+0+30= - - - 30+0+35 = - - 18+0+13= - - - 15 - 25+6= - - - 10 - 25+13= - - Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- - Guarapuava- - Irati- - Londrina-
- x V. B.
- x
- x
- x
- x
- x
- x - - c 12 +u 1 +v 2 = Coeficiente - - c 14 +u 1 +v 4 = - - c 21 +u 2 +v 1 = - - c 33 +u 3 +v 3 = - - c 15 +u 1 +v 5 = - - c 24 +u 2 +v 4 = - - c 34 +u 3 +v 4 = - - 13+u 1 +v 2 = Substituindo Cij - - 35+u 1 +v 4 = - - 6+u 2 +v 1 = - - 5+u 3 +v 3 = - - 0+u 1 +v 5 = - - 30+u 2 +v 4 = - - 10+u 3 +v 4 = - Arbitrando u 1 = - v 2 = - v 4 = - u 2 =- - u 3 =- - v 1 = - v 3 = - V 5 = - x V. N.B. - x - x - x - x - x - x - x - - c 11 +u 1 +v Coeficiente - - c 13 +u 1 +v - - c 35 +u 3 +v - - c 23 +u 2 +v - - c 25 +u 2 +v - - c 22 +u 2 +v - - c 31 +u 3 +v - - c 32 +u 3 +v - - 9+0+8= - Valor - - 42+0+30= - - - 0 - 25+0= - - - 61 - 5+30= - - - 0 - 5+0= - - - 18 - 5+13= - - - 15 - 25+8= - - - 10 - 25+13= -
- ENTROU: x
- SAIU : x - Z min 13 1 35 0 0 1 6 1 30 0 5 1 9 1 13 0 0 6 0 5 9 A solução é ótima, pois não existem variáveis não-básicas com coeficientes positivos.
Palmeira- 1 Ponta Grossa- 2 Maringá- 3 Apucarana- 4 Artificial- 5
Guarapuava- 1 9 13 42
00
Irati- 2 6 18 61 30 0
Londrina- 3 15 10 5 9 0
Demanda 1 1 1 1 1 5
min
Z
X11 0. X12 1. X13 0. X14 0. X15 1. X21 1. X22 0. X23 0. X24 0. X25 0. X31 0. X32 0. X33 1. X34 1. X35 0.
