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José Carlos Admo Lacerda
O pentagrama é gerado a partir de um pentágono regular, quando se
desenham as suas diagonais. Este é constituído por triângulos de ouro,
que determinam razões de ouro nos lados do pentagrama. O triâgulo
de ouro é um triângulo isósceles que tem na base ângulos de 72º e no
vértice superior um ângulo com 36º de amplitude. Os lados congruen-
tes estão para a base segundo a razão de ouro. Quando bissectamos o
ângulo da base, a bissetriz divide o lado oposto de acordo com a razão
de ouro e origina dois triângulos isósceles de menores dimensões. Um
destes triângulos é semelhante ao original, enquanto o outro pode ser
utilizado para gerar uma espiral.
A continuação do processo de bissecção do ângulo da base, do novo
triângulo de ouro obtido, provoca uma série de triângulos de ouro e a
formação de uma espiral equiangular.
Praticando a
Aritmética
José Carlos Admo Lacerda
Praticando a Aritmética
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Agradecimento
Agrade¸co a Deus por me permitir concluir este trabalho, aos meus pais, esposa e filhos pela ajuda e apoio, assim como aos colegas que contribu´ıram com sugest˜oes, cr´ıticas e observa¸c˜oes.
http://asecaorestrita.blogspot.com.br/
Cortesia do Blog:
Sum´ario
- Arredondamento, Nota¸c˜ao Cient´ıfica e Ordem de Grandeza
- 2006/12/
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- Numera¸c˜ao
- Opera¸c˜oes Fundamentais em N
- Numera¸c˜ao N˜ao Decimal
- Teoria dos N´umeros Primos em N
- Divisibilidade.
- M´aximo Divisor Comum e M´ınimo M´ultiplo Comum
- N´umeros Fracion´arios
- N´umeros β-cimais e N´umeros β-n´arios
- Radicia¸c˜ao
- Sistema de Unidade de Medidas
- Raz˜oes e Propor¸c˜oes
- Divis˜ao Proporcional e Regra de Sociedade
- M´edias
- Medidas Complexas e Medidas Incomplexas
- Regra de Trˆes
- Porcentagem e Misturas
- Opera¸c˜oes Sobre Mercadorias
- Juros Simples
- Miscelˆanea
- Gloss´ario
- Referˆencias Bibliogr´aficas
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Cap´ıtulo 1
Numera¸c˜ao
1.1 Conjunto
E uma no¸^ ´ c˜ao primitiva, portanto, n˜ao possui defini¸c˜ao.
Intuitivamente, temos a no¸c˜ao de uma reuni˜ao de objetos, de pessoas, ... Esses objetos, pessoas, ... s˜ao denominados de elementos e, cada elemento quando considerado isoladamente, d´a-nos a id´eia de unidade.
A B (^) C
.. .unidade .. .unidade .. .unidade
1.2 Correspondˆencia
E a associa¸^ ´ c˜ao que podemos formar entre elemento(s) de conjuntos.
1
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[SEC. 1.5: ASSOCIAC¸ ˜AO DE ELEMENTOS E S´IMBOLOS 3
1.5 Associa¸c˜ao de Elementos e S´ımbolos
A B C
1
a)
A B (^) C
2
A B (^) C
3
A B (^) C
4
Observa¸c˜ao: O s´ımbolo 0 ´e utilizado para indicar ausˆencia de elementos num conjunto.
N = {0, 1, 2, 3, 4,.. .}^2
Observa¸c˜oes:
1 a^ Os s´ımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 s˜ao denominados algarismos^3 ou d´ıgitos.
2 a^ A reuni˜ao de dois ou mais algarismos formam n´umeros denominados de polid´ıgitos. (^2) N... Nota¸c˜ao devida a Peano(1.858 − 1.932). (^3) Algarismo – Nome derivado de algarismi, corruptela de Al-Khwarizmi, sobrenome do matem´atico e ge´ografo ´arabe abu Abdullah Mohammed bem Musa.
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4 [CAP. 1: NUMERAC¸ ˜AO
3 a^ Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 s˜ao ditos significativos e, o 0 diz-se insignificativo quando considerado isoladamente, ou `a esquerda de um n´umero natural uma ou mais vezes. Exemplos: 01, 007, 00047, ... 4 a^ Os nomes e os n´umeros s˜ao indiferentemente ditos, numerais. 5 a^ Os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8 ou os n´umeros polid´ıgitos cujo ´ultimo algarismo da direita seja um desses, s˜ao ditos n´umeros pares; 6 a^ Os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 ou os n´umeros polid´ıgitos cujo ´ultimo algarismo da direita seja um desses, s˜ao ditos n´umeros ´ımpares. Supondo P como o conjunto dos n´umeros pares e I o conjunto dos n´umeros ´ımpares, podemos escrever:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...}
1.6 Numera¸c˜ao
E a arte de representar os n´^ ´ umeros.
1.7 Divis˜ao da Numera¸c˜ao
A numera¸c˜ao divide-se em: falada e escrita a) falada - d´a nome aos n´umeros Exemplos: zero, um, dois, trˆes, quatro,... , em portuguˆes. zero, un, deux, trois, quatre,... , em francˆes. zero, one, two, three, four,... , em inglˆes. zero, ein, zwein, drei, vier,... , em alem˜ao b) escrita - representa-os atrav´es de s´ımbolos Exemplos: 0, 1, 2, 3, 4,... I, II, III, IV,...
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6 [CAP. 1: NUMERAC¸ ˜AO
1.10.2 Classe
E o agrupamento das ordens^ ´. Esse agrupamento pode ser: de duas em duas, de trˆes em trˆes, de quatro em quatro ordens,... , consideradas sempre da direita para a esquerda.
Observa¸c˜ao: Uma classe diz-se completa quando possuir todas as ordens e, em caso contr´ario, ser´a dita, incompleta.
Sendo N = abcdefgh, podemos ter:
a) quatro classes, com dois algarismos cada uma.
N = ab cd ef gh 4 a^3 a^2 a^1 a^ classes
b) trˆes classes de trˆes algarismos, sendo uma delas (a terceira) incompleta.
N = ab cde fgh 3 a^2 a^1 a^ classes Observa¸c˜ao: A terceira ´e incompleta, porque possui apenas dois alga- rismos.
c) duas classes, com quatro algarismos cada uma.
N = abcd efgh 2 a^1 a^ classes
1.11 Princ´ıpios da Numera¸c˜ao para uma Base
Qualquer
1.11.1 1 o^ Princ´ıpio: da numera¸c˜ao falada
Beta (β) unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade de ordem imediatamente superior.
1.11.2 2 o^ Princ´ıpio: da numera¸c˜ao escrita
Qualquer algarismo escrito `a esquerda de outro representa unidades de or- dem, igual a β vezes as unidades de ordem desse outro.
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸ ˜AO DECIMAL 7
1.12 Numera¸c˜ao Decimal
1.12.1 Sistema de Numera¸c˜ao Decimal
O sistema decimal ou Ind´u-Ar´abico^5 , ´e o adotado por todos os pa´ıses e tem como base dez algarismos.
1.12.2 Princ´ıpios da Numera¸c˜ao Decimal
1 o^ Princ´ıpio: da numera¸c˜ao falada
Dez unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade de ordem ime- diatamente superior. Esse princ´ıpio ´e complementado pelas seguintes palavras: um ( 1 ), dois ( 2 ), trˆes ( 3 ), quatro ( 4 ), cinco ( 5 ), seis ( 6 ), sete ( 7 ), oito ( 8 ), nove ( 9 ) e zero ( 0 ).
Observa¸c˜oes:
1 a^ ) Os n´umeros iniciais, isto ´e, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 , constituem as unidades simples que s˜ao denominadas tamb´em de unidades de 1 a^ ordem.
2 a^ ) Dez unidades simples recebem o nome de dezena e constituem uma unidade de 2 a^ ordem.
3 a^ ) As dezenas recebem as seguintes denomina¸c˜oes:
- uma dezena ou dez ( 10 );
- duas dezenas ou vinte ( 20 );
- trˆes dezenas ou trinta ( 30 );
- quatro dezenas ou quarenta ( 40 );
- cinco dezenas ou cinq¨uenta ( 50 );
- seis dezenas ou sessenta ( 60 );
- sete dezenas ou setenta ( 70 );
- oito dezenas ou oitenta ( 80 );
- nove dezenas ou noventa ( 90 ).
4 a^ ) Entre dez e vinte intercalam-se os n´umeros, um, dois, trˆes, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. Assim sendo, teremos:
- dez e um ou onze ( 11 );
- dez e dois ou doze ( 12 ); (^5) Esse sistema foi introduzido na Europa por Fibonacci ou Leonardo de Pisa(1.170–1.250), atrav´es do Liber Abaci(livro de c´alculo)
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸ ˜AO DECIMAL 9
1 a^ ordem: de 1 em 1 unidade; 2 a^ ordem: de 10 em 10 unidades; 3 a^ ordem: de 100 em 100 unidades; 4 a^ ordem: de 1.000 em 1.000 unidades; .. .
Assim sendo, teremos:
6 a^5 a^4 a^3 a^2 a^1 a^ ordens 100.000 10.000 1.000 100 10 1 unidade(s)
1.12.4 Nomenclatura das Classes
1 a^ classe: das unidades; 2 a^ classe: dos milhares; (Obs.: ´E desta classe que retiramos o radical mil) 3 a^ classe: dos milh˜oes; 4 a^ classe: dos bilh˜oes; 5 a^ classe: dos trilh˜oes; 6 a^ classe: dos quatrilh˜oes; 7 a^ classe: dos quintilh˜oes; .. .
sextilh˜oes, septilh˜oes, octilh˜oes, nonilh˜oes, decilh˜oes,... subdivididas tamb´em em unidades, dezenas e centenas. Com essas classes definidas, pode-se dar nomes a qualquer n´umero.
1.12.5 Forma¸c˜ao e Leitura dos N´umeros Polid´ıgitos
1 o^ caso: O n´umero dado possui apenas dois algarismos.
Seja por exemplo, o conjunto seguinte:
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10 [CAP. 1: NUMERAC¸ ˜AO
A A^1 A^2 A^3
<=> +^ +^ =>
2 3
O n´umero anterior possui 2 dezenas e 3 unidades, portanto, lˆe-se: vinte e trˆes.
2 o^ caso: O n´umero dado possui mais de trˆes algarismos.
Regra: Divide-se o n´umero dado em classe de trˆes algarismos, da direita para a es- querda. A seguir, lˆe-se o n´umero da esquerda para a direita, acompanhado do(s) nome(s) da(s) mesma(s).
Ex.: Ler o n´umero 28354017689
Dividindo-o em classes de trˆes algarismos, teremos:
28 354 017 689 bilh˜oes milh˜oes milhares unidades O n´umero acima lˆe-se: vinte e oito bilh˜oes, trezentos e cinq¨uenta e quatro milh˜oes, dezessete mil, seiscentos e oitenta e nove unidades.
Obs.: O zero indica ausˆencia de unidades numa ordem qualquer.
2 o^ Princ´ıpio: da numera¸c˜ao escrita
Todo algarismo escrito `a esquerda de outro, representa unidades de ordem igual a dez vezes as unidades de ordem desse outro.
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12 [CAP. 1: NUMERAC¸ ˜AO
cem cent´esimo ( 100 o^ ) duzentos ducent´esimo ( 200 o^ ) trezentos tricent´esimo ( 300 o^ ) quatrocentos ... quadringent´esimo ( 400 o^ ) quinhentos ... q¨uingent´esimo ( 500 o^ ) seiscentos ... sexcent´esimo ( 600 o^ ) setecentos ... setingent´esimo ( 700 o^ ) oitocentos ... octingent´esimo ( 800 o^ ) novecentos ... noningent´esimo ou nongent´esimo ( 900 o^ ) mil mil´esimo ou primeiro mil´esimo (1.000o^ ) dez mil d´ecimo mil´esimo (10.000o^ ) cem mil cent´esimo mil´esimo (100.000o^ ) um milh˜ao primeiro milion´esimo (1.000.000o^ ) um bilh˜ao primeiro bilhon´esimo (1.000.000.000o^ )
Obs: O ordinal de “B”´e o be´esimo , o ordinal de “N”´e o en´esimo, e assim por diante.
1.12.7 Valores Posicionais dos Algarismos
Existem dois valores posicionais para os algarismos: o valor absoluto e o valor relativo .
a) Valor Absoluto (V. A) - E o n´´ umero de unidades simples desse algarismo, que independe de sua posi¸c˜ao (ordem) em um n´umero dado.
Ex.: No n´umero 2.543, temos:
V.A( 2 ) = 2 ; V.A( 5 ) = 5 ; V.A( 4 ) = 4 ; V.A( 3 ) = 3
b) Valor Relativo (V.R) - ´E o n´umero de unidades simples, de dezenas, de centenas,... de um algarismo qualquer, que vai depender portanto de sua posi¸c˜ao (ordem) em um n´umero dado.
Ex.: No n´umero 2.543, temos: V. R ( 2 ) = 2.000 (duas unidades de 4 a^ ordem) V. R ( 5 ) = 500 (cinco unidades de 3 a^ ordem)
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸ ˜AO DECIMAL 13
V. R ( 4 ) = 40 (quatro unidades de 2 a^ ordem) V. R ( 3 ) = 3 (trˆes unidades de 1 a^ ordem)
1.12.8 Propriedades
1 a^ De um n´umero natural α at´e um outro natural ω existem, sucessiva- mente, [(ω − α) + 1 ] n´umeros. 2 a^ Em uma centena de n´umeros naturais sucessivos, qualquer algarismo se repete 20 vezes^6 , nas 1 a^ e 2 a^ ordens. 3 a^ Em um milhar de n´umeros naturais sucessivos, qualquer algarismo se repete 300 vezes^7 , nas 1 a^ , 2 a^ e 3 a^ ordens. 4 a^ De 1 at´e 10 n^ (exclusive), qualquer algarismo significativo se repete n × 10 n−^1 vezes^8 , nas 1 a^ , 2 a^ , 3 a^ ,... n-´esima ordens. 5 a^ De 0 at´e 10 n^ , exclusive, o algarismo 0 se repete n × 10 n−^1 − 10 vezes^4 , nas 1 a^ , 2 a^ , 3 a^ ,... n-´esima ordens.
1.12.9 Quantidade (Q) de algarismos, na sucess˜ao dos
n´umeros naturais, de 1 at´e N
Para efeito de demonstra¸c˜ao consideremos de 0 at´e a, de 00 at´e ab, de 000 at´e abc...
1 o^ ) De 1 at´e a, teremos:
0 1 2 .. . a
Q = [(a − 0 ) + 1 ] − (^) ︸︷︷︸ 1 zero
ou Q = a algarismos
(^6) O zero s´o come¸ca a se repetir 20 vezes, nas 1 a (^) e 2 a (^) ordens, em todas as centenas sucessivas a partir de 10. (^7) O zero s´o come¸ca a se repetir 300 vezes, nas 1 a (^) , 2 a (^) e 3 a (^) ordens, em todas as centenas sucessivas a partir de 10 e assim, por diante. (^8) O zero s´o come¸ca a se repetir n × 10 n− (^1) vezes, nas 1 a (^) , 2 a (^) , 3 a (^) ,... , na (^) ordens, em todas as unidades, dezenas, centenas sucessivas... a partir de 10 e assim, por diante.
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸ ˜AO DECIMAL 15
Generalizando para N = abc... w︸ ︷︷ ︸ α algs
, chegaremos a conclus˜ao que:
Q = (N + 1 ) × α − (111... 1) ︸ ︷︷ ︸ α 1’s
Ex 1 .: Calcular a quantidade algarismos que existem na sucess˜ao dos n´umeros naturais, de 1 at´e 432.
Resolu¸c˜ao:
Se N = 432 ⇒ α = 3 → Q = ( 432 + 1 ) × 3 − 111 ∴ Q = 1.188 algarismos
Verifica¸c˜ao:
De 1 at´e 9 ⇒ 9 n´umeros ou 9 algarismos De 10 at´e 99 ⇒ 90 n´umeros ou 180 algarismos De 100 at´e 432 ⇒ 333 n´umeros ou 999 algarismos Total: 9 + 180 + 999 = 1.188 algarismos
1.12.10 Lei de Forma¸c˜ao da Quantidade de Algarismos
De 1 at´e 9 ⇒ Q = ( 9 + 1 ) × 1 − 1 ∴ Q = 9 algs De 1 at´e 99 ⇒ Q = ( 99 + 1 ) × 2 − 11 ∴ Q = 189 algs De 1 at´e 999 ⇒ Q = ( 999 + 1 ) × 3 − 111 ∴ Q = 2.889 algs De 1 at´e 9.999 ⇒ Q = (9.999 + 1 ) × 4 − 1111 ∴ Q = 38.889 algs .. .
Conseq¨uentemente, de 1 at´e 999... 9︸ ︷︷ ︸ α algs
, teremos: Q =“α − 1 ” 888... 8︸ ︷︷ ︸ α− 1 8’s
Observa¸c˜oes:^9.
Se 1 ≤ Q ≤ 9 ⇒ N = a ∴ α = 1 (^9) Os sinais > e < apareceram pela 1 a (^) vez em Londres, 1.631, na obra Artis Analyticae Pr´axis, de Thomaz Harriot(1.560–1.621), enquanto os sinais ≥ e ≤ devemo-los a Pierre Bouguer(1.698–1.758)
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16 [CAP. 1: NUMERAC¸ ˜AO
Se 9 < Q ≤ 189 ⇒ N = ab ∴ α = 2 Se 189 < Q ≤ 2.889 ⇒ N = abc ∴ α = 3 Se 2.889 ≤ Q < 38.889 ⇒ N = abcd ∴ α = 4 .. .
Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q ≤ 189 , 189 < Q ≤ 2.889,... poder´a gerar um n´umero que n˜ao tenha todas as ordens (v. exerc. resolv. n o^6 ).
1.12.11 C´alculo Simplificado de Q em Fun¸c˜ao de N, e
vice-versa
Vimos que: Q = (N + 1 ) × α − ( ︸111... 1 ︷︷ ︸) α 1’s
algarismos
Se α = 1 → Q = N ou N = Q Se α = 2 → Q = 2N − 9 ou N =
Q + 9
Se α = 3 → Q = 3N − 108 ou N =
Q + 108
Se α = 4 → Q = 4N − 1.107 ou N = Q^ +^ 1. 4 .. .
Observe uma “lei”regendo o numerador: 9 , 108 , 1.107, 11.106, 111.105,...
1.13 Exerc´ıcios Resolvidos
Calcular a quantidade de n´umeros naturais sucessivos que existem, de 7 at´e 18. Resolu¸c˜ao: De acordo com a 1 a^ propriedade, podemos facilmente ver que: [( 18 − 7 ) + 1 ] = 12 n´umeros.
Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 at´e 10 n^ (exclusive) ele aparece n × 10 n−^1 vezes, nas 1 a^ , 2 a^ , 3 a^ ,... n-´esimas ordens.
