Práticas para resolver Problemas Matematicos-Geometria-ed MIR, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS VV Ghusen, V Litvinenko. A. Mordkóvicd Editorial Mir Mosc B. A. Tyces, B. H. Jluzennenno, A. T. Mopakosaa DPAKTHRYM NO PEIEHHIO MATEMATHYECKAX JAXAU Teomerpua Mockna «lTpocnemener Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS V Gásieo, V Litvinenko, A. Mordkóvich Geometria ER de) Editorial Mir Moscá INDICE Prólogo Goplénio d PLANIMETRIA $ 4 32 53 a ES a Sobre los métodos para resolver problemas geométricos Triângulos y cuadrilátoros Problemas para cl trabajo individual Circunforencia Problemas para el trabajo individual Areas de las figuras planas Problemas para el trabajo individual . Transformaciones geométricas Problemas para el trabajo individual . Vectores Problemas para el trabajo individual . Valores máximos y mínimos Problemas para el trabajo individual Capítulo II. ESTEREOMETRIA 18 19 510. EUA $ 12. 513. Á 514. $15. $ 16. Generalidades sobre la construcción de la representación de una figura dada Construcciones geométricas en el ospacio Problemas para ol trabajo individual Roctas cruzadas. Ângulo entro una recta y un plano Problemas para el trabajo individual Angulos diedros y polindros Problemas para el trabajo individual Secçiones de poliedros Problemas para cl trabajo individual roas Problemas para el trabajo individual Volúmenes Problemas para cl trabajo individual Combinación de poliedros y cuerpos redondos Problemas para el trabajo individual Valores máximos y mínimos Problemas para el trabajo individual Soluciones e indicaciones Bibliografia PROLOGO El presente manual está dirigido a los estudiantes de las faculta- des matemáticas y fisicomatemáticas de las Escuelas Normales Superiores para las especialidades «Matemática, y «Matemática y física» y, además, para la especialidad «Física y matemática». Está confeccionado en correspondencia con el programa en vigor «Prácti- cas de resolución de problemas». AJ trabajar en las «Prácticas» tendíamos a que en ellas encontra- ran su reflejo los tipos fundamentales de problemas geométricos escolares. En cl presente libro hay cerca de 1000 problemas, de diversa complejidad para la resolución individual. Junto con pro- blemas comparativamente sencillos, con carácter de entrenamiento, hay problemas cuya resolución requiere serias reflexiones y, en ocasiones, enfoque no estândar. Aunque no sea de todos, la resolución de una considerable parte de los problemas, ayudará al estudiante a la formación de tan importante cualidad profesional para el futuro profesor de matemáticas como el hábito de resolver problemas geo- métricos que correspondan a los requisitos de los programas de mate- máticas de las escuelas medias de ensefanza general y profesional. Los procedimientos y métodos para resolver problemas geométri- cos se analizan en diferentes partes del curso de geometria estudiado em las Escuelas Normales Superiores. No obstante, a los métodos tradicionales se presta insuficiente atención, por lo que uno de los objetivos planteados en el proceso de la creación de este manual era completar esos huecos. Sefialemos que el libro que ofrecemos a la atención del lector no sólo es un compendio de problemas en su sentido habitual, sino, además, un libro de prácticas para resolver problemas. Esto ha ballado su reflejo en el contenido y en la estructura de nuestro libro. Cada apartado contiene material teórico y ejemplos examinados con detalle. Con singular minuciosidad hemos elegido los problemas acompafiados de las soluciones, tendiendo a que cada solución sea útil al estudiante, ante todo, desde el punto do vista metodológico, para que el conjunto de dichos ejemplos sea una aportación lo sufi- cientemente plena y entera en la preparación de los estudiantes de las Escuelas Normales Superiores de los problemas del método particu- lar de ensefanza de las matemáticas en la escuela. Al final de casi 8 Prólogo que cada uno de los problemas fuera, ante todo, interesante desde el punto de vista geométrico (es decir, que se acentuara la estructura- ción del modelo matemático y su interpretación). El segundo capítulo está dedicado a la resolución de problemas de estereometria. En él, en forma breve, se recuerdan los datos funda- mentales para la construcción de las representaciones de las figuras en la proyección paralela. Se trata de la determinación de la pleni- tud de Ja representación y su definición métrica. Se examinan las construcciones geométricas en el espacio y, con ello, so presta singu- lar atención a las construcciones en las representaciones. En este capítulo muchos problemas son nuevos confeccionados especialmente para el presente material. Entre ellos, sefialemos aquellos que están ligados con la determinación del ângulo entre rectas cruzadas, la distancia entre ellas, el ángulo entre la recta y el plano, el ángulo diedro y los problemas relacionados con la construcción de las sec- ciones. Según nuestra opinión, la resolución de estos problemas ha de favorecer al desarrollo en los estudiantes de las representaciones espaciales. Los autores Capitulo 1 PLANIMETRÍA $ 1. SOBRE LOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS GEOMÉTRICOS AI resolver problemas geométricos, por regla, so emplean tres métodos fundamentales: geométrico (la afirmación requerida so deduce con ayuda de razonamientos lógicos de una serie de teoremas conocidos); algebraico (Ia demostración de la afirmación o bien el haliazgo de los valores que se determinan, se realiza con el cálculo directo, sobre la base de diversas dependencias entro las magnitudes geométricas, con ayuda do la composición de ceuacionos o sistemas de éstas); mizto (en ciertas etapas la resolución se lleva a cabo por método geométrico, en otras, algebralco). Independientomente de la vía elegida para la resolución, el éxito de su utilización, como es natural, depende del conocimiento de los teoremas y el hábito de su aplicación. Recordemos la enuncia- ción de alguno de los teoremas que se emplean activamente en la resolución de los problemas. Más adelante, reiteradamente, nos vamos a referir a esos teoremas. I. Triángulos y cuadriláteros 4. Teorema de la igualdad de los ángulos con lados perpendiculares entre sí: si ZABC y Z DEF son ambos agudos o bien obtusos y ç c o) e) E] Fig. 1 AB 1 DE, BC 1 EF (fig. 1), entonces ZABC = DEF. 2. Propiedades de la línea media del trapecio: $ 1. Sobre los métodos para resolver problemas geométricos “4 ba =c'; o)b=e!; d) rbd = gh=2. 7. Teorema de los cosenos: a? =b? + c? — 2bc cos A (fig. 5. b == ET =2R, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triângulo. 9. Definición del tipo de triângulo por sus lados: sean a, b, c los lados del triângulo, con la particularidad de que c es el lado mayor, entonces: a)sicia? 4 b?, el triângulo es obtu- 8. Teorema de los senos: sángulo. a 10. Teoromãs “de Ceva: supongamos que o en el triângulo ABC, en los lados AB, BC, hd AC se han tomadolos puntos D, E, F, respec- tivamente. Con el fin de que las rectas 4£, BF y CD concurvan em un punto (fig. 6) es necesario y suficiente que se verifique la igualdad AD BE CF 4 BD' CEAR O 41. Relaciones métricas en el paralelogramo: la suma de los cua- drados de las diagonales del paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados: d? + d? = 2a? «+ 2b? (fig. 7). JI, La circunferencia 12. Propiedades de las tangentes a la circunferenci a) el radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente (fig. 8); 6 Fig. 8 Fig. 9 b) dos tangentes trazadas a la circunferencia desde un mismo punto son iguales, y el centro de la circunferencio yace en la bisectriz del ângulo entre elas (fig. 9). 12 Capítulo 1. Planimetria 13. Medida de los ângulos relacionados con la circunferencia: a) el ângulo central se mide con el arco sobre el que se apoya; b) el ângulo inscrito se mide con la mitad del arco sobre el que se apoya; c) el ângulo entre la tangente y la cuerda se mide con la mitad del arco entre ellas. 44, Teoremas sobre las circunferencias y los triângulos: q , , R : A) a a! q e Fig. 10 Fig. Fig. 12 a) a todo triângulo es posible circunseribir una circunferencia; el centro de ésta es el punto en que concurren las perpendiculares trazadas a los lados por sus puntos medios; b) en todo triângulo es posible inscribir una circunferencia; el centro de ésta será el punto en que concurren las bisectrices. 15. Teoremas sobre las circunforencias y los cuadriláteros: d G 4 na o ns B Fig. 13 Fig. 14 a) con el fin de que a un cuadrilátero puede ser circunscrita una circunferencia, es necesario y suficiente que la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero sea igual a 180º (a + P = 180º, fig. 10). d) con el fin de que en un cuadrilátero puede ser inscrita una circunferencia, es necesario y suficiente que las sumas de sus lados opuestos sean iguales (a + c =b + d, fig. 11). 16. Relaciones métricas en la circunforoncia: a) si las cuerdas AB y CD se cortan en el punto M, AM-BM = =CM-DM (fig. 12); 14 Capitulo 1, Planimetria Con frecuencia, al resolver problemas geométricos, es preciso establecer la igualdad de dos segmentos (o ángulos). Indiquemos las tres vfas fundamentales de la demostración. geométrica de la igualdad de dos segmentos: E Fig. 17 Fig. 18 Fig. 19 1) dichos segmentos se consideran como los lados de dos triângu- los y se demuestra que éstos son iguales; 2) dichos segmontos so consideran como lados de un triângulo y se demuestra que éste es isósceles. 3) el segmento a se sustituye por el a”, igual a él, mientras que el segmento b por el b', igual a él y se demuestra la igualdad de los segmentos a' y b'. cai a E E E E A a Db A MA Db N Fig. 20 Fig. 21 AI resolver problemas geométricos con frecuencia es preciso rea- lizar construcciones auxiliares. Índiquemos algunas de elas: trazado de una resta paralela o perpendicular a una do las que hay en la figura; duplicación de la mediana de un triângulo, como resultado de lo que el triângulo se transforma en paralelogramo; trazado de una circunferencia auxiliar; trazado de radios al punto de tangencia de una circunferencia y una recta o de dos circunferencias, etc. z1eNPLO 1. Dos rectas perpendiculares entre sí cruzan los lados 4B, BC, CD y AD del cuadrado ABCD en los puntos E, F, K, L, respecti- vamente. Demostremos que EK = FL (fig. 20). $ 1, Sobre los métodos para resolver problemas geométricos 15 soLucION. Haciendo uso de la primera de las vías indicadas para 1a demostración de la igualdad de dos segmentos, tracemos FM || CD y KP | AD, entonces, los segmentos que nos interesan EK y FL se convertirán en los lados de dos triángulos rectángulos EKP y FLM (fig. 21) y, por consiguiente, es suficiente demostrar la igualdad de dichos triângulos. Tenemos: PK = FM (como alturas de un cuadrado), ZLFM = = Z EKP (como los ângulos de lados perpendiculares entre sí, teorema 1). Esto significa, que AEKP = AFLM (según el cateto y ángulo agudo). De la igualdad de los triángulos rectângulos se desprende la igualdad de sus hipotenusas, o sea, de los segmentos EK y FL. gJemPrO 2. Los lados de un triângulo son iguales a a, b, c. Caleu- lemos la mediana me trazada hacia el lado c. soLucrón. Dupliquemos la mediana hasta convertir el triângulo enel paralelogramo ACBP (fig. 22) y apliguemos a éste el teorema 11. A Db fal Fig. 22 Fig. 23 Obtendremos: CP? + AB? = 2AC* + 2BC?, o sea, (mi + e = pare = 24º + 24º, de donde hallamos: m, = V2EEMT= s:EMpLO 3. Demostremos que el ortocentro de un triângulo ocu- tángulo coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triângulo formado por las bases de las alturas. soLucion. Como centro de la circunferencia inscrita en el triângulo es el punto en el que se cortan las bisectrices (teorema 14b), el proble- ma se reduce a demostrar que DH, EH, KH son las bisectrices del triângulo DEK (fig. 23). Para ello, es suficiente demostrar que LEDH =£LHDK. . Examinemos el cuadrilátero DHKC. Tenemos: ZHDC = 90º, ZHKC = 90º, es decir, ZHDC + Z HKC = 480º, por lo que en torno al cuadrilátero DHKC es posiblo circunscribir una circunfe- rencia (teorema 15a). Al circunscribir dicha circunferencia (fig. 24) advertimos que los ângulos HDK y HCK son iguales por estar inscritos y porque $ 1. Sobre los métodos para resolver problemas geométricos EA tarnos al caso mostrado en la fig. 25. Del AACH hallamos: CH? =b? — 2º, del ABCH hallamos: CH ea! — (c— 2 De la ecuación b!— a? =a? — (c — 2)?, obtenemos: q = e3pbima? Ze Del AACH, hallamos: me /2 EE = (0-8) (1 o) =PVE-U-DWrSS- =LVlri-9)t+r— OF u+i+a. Así, pues, np - VEERESCH SS Greete—o, di Ze J1 procedimiento. Hagamos uso del método de las área: un lado, el área del triângulo ABC es iguala Vp(p—a) (p—U) (P y, por otro, es igual a -f-ch.. Igualando estas expresiones, obtene- . mos: 2VFu=dt=AçÇÕS. he= 2vpQ ate DW-o Poniendo en lugar de p su oxpresión por los lados p= LEZte., obtenemos: à — Verri duto re e = E EsEmPLO 5. Los lados de un triángulo son a, b y c. Hallar la bisectriz Lo trazada hacia el lado c. soLUCION. 1 procedimiento (algebraico). Sea CD la bisectriz del AABC (fig. 27). Plan para Ja resolución: hallemos la longitud de Jos segmentos AD y BD y, a continuación, empleando para los triângulos ACD y BCD el teorema de los cosenos (con ello, teniendo en cuenta que ZACD = / DCB), hallamos la bisectriz L =CD 2-0290 18 Capítulo 1. Planimetria Hagamos AD =z, BD =y. Entonces, x + y =c y según la propiedad de la bisectriz (teorema 5) T =. Del sistema do ecuaciones a+y=e, z.b E go bE gets T=2 hallamos: a=5, yo=ão. Aplicando al AADC el teorema de los cosenos (teorema 7), c obtenemos N q =b? + 2 — 2blcost (1 (aquí, para mayor brevedad, hemos he- cho k =Ly ZACD =ZDCB =), Aplicando al ABDC el teorema de los É E cosenos, obtenemos: P = + 2alcost, (2) Fig. 27 Multipliquemos ambos miembros de la igualdad (1) por a y ambos miembros de la igualdad (2) por (—b) y sumemos las igualdades obtenidas como resultado de las multipticaciones: az? — by? = ab? — atb + al? — — bl2, de donde hallamos: E= Ap (ata pet) + ab. (8) Pongamos en. la igualdad (3) los valoros de x e y hallados ; S 1 Em et más arriba, Obtonemos: == Hp (ar — Tam J+ab= = us ab(atb-re) (abc) =ab (1 Tra [e , VICE Así, pues, = SED ! II procedimiento, Además de la magnitud incógnita que buscamos 1, introduzcamos otra magnitud incógnita auxiliar: hagamos 7 = = £ZACD =

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