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Capítulo 1 Introdução O propósito deste capítulo é apresentar a você a necessidade do controle automático de pro cesso e motivar você, leitor, a estudá-lo. O controle automático de processo trata, dentre outros itens, da manutenção das variáveis, das temperaturas, das pressões, dos fluxos, e das composições de processo em algum valor operacional desejado. Como veremos, os processos são dinâmicos por natureza, Alterações sempre ocorrem, e se em respostas não são tomadas medidas, então as variáveis importantes do processo — aquelas relacionadas à segurança, à qualidade do produto e à taxa de produção — não atingirão as condições planejadas, Este capítulo também apresenta dois sistemas de controle, examina alguns de seus com ponentes e define alguns termos utilizados na área de controle de processo. Finalmente, dis- cute-se o conhecimento necessário para o estudo de controle de processo. Ao escrever este livro, estávamos constantemente atentos ao fato de que, pará nei cedido, o engenheiro deve ser capaz de aplicar os princípios aprendidos. Co o livro cobre os princípios que embasam a prática bem-sucedida do controle processo. O livro está repleto de casos reais desenvolvidos a partir do peramos sinceramente que você se entusiasme em estudar. É uma área da engenharia de processo muito dinâmica, é pa RACE DE CON TROTE oo 2 Capitulo! a Fluidordo processo Y condensado Figura 1-1.1 Trocador de calo procedimento de correção exigiria um grande múmero de operadores. Consegiientemente, Prefeível realizar este controle automaticamente sto é é melhor ter sistemas que controlem às variáveis sem a necessidade da intervenção do operador. Este é o significado de contro! automático de processo. Para realizar o controle automático de processo, deve-se projetar e implementar um sistema de controle. Um possível sistema de controle e seus componentes básicos estão mostrados nai 1-1.2. (O apêndice A mostra os símbolos e as identificações para os diferentes dispo- Siivos.) A primeira coisa a fazer é medir a temperatura de saída do fluxo do processo. Isto é feito através de um sensor (par térmico, dispositivo de resistência de temperatura, termômetro de sistema carregado, termistor ou algo semelhante). Normalmente este sensor é conectado 1.2 TERMOS IMPORTANT fisicamente a um transmissor, que leva a potência desenvolvida do sensor e a converte em um sinal forte o bastante para ser transmitido a um controlador. O controlador então recebe om Fo está relacionado com a temperatura, e o compara com o valor desejado. Depen Fesultados desta comparação, o controlador decide o que fazer para manter a tem e a epi pagan E Com base nesta decisão, o controlador envia um sinal para o de saída do processo, T(1), é a variável o uso dr ão na que por sua ve manipula o fluxo de vapor Este tipo de estratégia PRE RR ea pe camheci controle de realimentação. a variável controlada. Assim, a tarefa de um siste: lada em seu ponto fixo. A variável manipulada é a variás controlada em seu ponto fixo. No exemplo, a posição da válvula de vapor é a variável mani- pulada. Finalmente, qualquer variável que faça com que 4 variável controlada se desvie de sos, há !S E O OBJETIVO DO CONTROLE AUTOMÁTICO DE PROCESSO izados na área de controle au- antida, ou controla- Neste momento torna-se necessário tomático de processo. A variável c empl calor, à temper ur da, em determinado valor desejado. Em nosso e ável de processo é também utilizado para se referir à vari fixo (PF) é o valor desejado manter a variável contro- zada para manter a variável seu ponto fixo é conhecida como um distúrbio ou desordem. Na maioria dos proc a um número de diferentes distúrbios. No trocador de calor mostrado na Fig: 11.2, possíveis TO distúrbios são a temperatura de entrada do processo, T/t). o fluxo do processo, fit), a quan- Sontriador 122 tidade de energia do vapor, as condições do ambiente, a composição do fluído do processo, os resíduos e assim por diante. É importante compreender que sempre ocorrem distúrbios Vapor em processos. O estado estacionário não é a regra, e as condições transitórias são muito co- Elemento de *) muns. É por causa destes distúrbios que o controle automático do processo é necessário, Se a não houvesse distúrbios, as condições de operação planejadas prevaleceriam e não haveria a rei necessidade de “monitorar” continuamente o processo. Os seguintes termos adicionais também são importantes. Controle manual é a condição na E) o controlador está desconectado do processo. Isto é, o controlador não está tomando a são de como manter a variável controlada no ponto fixo. Cabe ao operador imanipular o TOPS Sensor sinal para o elemento de controle final manter a variável controlada no ponto fixo O controle de malha fechada é a condição na qual o controlador está conectado ao processo, comparando o ponto fixo à variável controlada, determinando e efetuando ação corretiva. Agora que definimos estes termos, podemos expressar significativamente o objetivo de um contible automático de processo: O objetiva de um sistema de controle automático de pro- cesso é ajustar a variável manipulada para manter a variável controlada em seu pongo fixo, Bins 11.2 Malha de controle independentemente de distúrbios, Srocador de calor. aSentrados de alimentação fo Tu Retorno condensado Figura 1-5,2 Sistema de controle de alimentação do trocador de calor ramente ser medidos, e então deve ser tomada uma decisão sobre como manipular a válvula de vapor para compensá-los. A Fig. 1-5.2 mostra esta estratégia de controle, O controlador de alimentação toma a decisão de como manipular a válvula de vapor para manter a variável controlada no ponto fixo, dependendo da temperatura de entrada e do fluxo do processo. Na Seção 1-2 aprendemos que há um número de distúrbios diferentes. O sistema de con- trole de alimentação mostrado na Fig. 1-5.2 compensa apenas dois deles, Se qualquer um dos | outros entra no processo, esta estratégia não irá compensá-lo, e o resultado será um desvio permanente da variável controlada do ponto fixo. Para evitar este desvio, alguma co de alimentação deve ser adicionada ao controle de alimentação; isto êmottridona Pp O controle de alimentação agora compensa os distúrbios “maiores”, enquanto nt realimentação compensa todos os outros distúrbios. O Capítulo 1 ménto do controlador de ea Ci A E detalhes desta importante estratégia. , É importante observar que as três operações estratégia de controle mais “avançada”, A medida é controladores | 9 RESUMO da pecar idas mam dedico cá dire de demos É premerpamente por cos dec nm era comme mmtomá x M me À decindo 4 me à medição somada dmunte. A mesmo com am tuts hemras MD A dm cometa do processo O D we rom Mame ma srerdações tas se refere À ações a ser cfemmada emávers do prcem Fu om Dae nomputa deindes PROBLEMAS DA, Pora om segs erram de comerrde sum emcomradom mo meme costadtamo. ademtifique om Sespemstreca que ont am Sçõe de medição OM de decindos (Do de ação (AL é cdmmaque à ação de famçãos como Log Denliga” om Reguladora Deeendr carmboem o dhmgraema de prata e itriventa d atilicam dem tdo pdedos ESA ONBIRES 0) formado em» Apêndice A o deem me o credo 6 e contenta ão ds de alrmentação pos nermalirente vas Ar oc mms me nb he o o fem de cota 4 Tras ve Sem mm de rnb apra para ta Orla ção 6 do cenpomertes ana cm do o rev SD ce a me er comente Mit OM sig co o mesmanos oleiro e feginah forem aperto po + fiada o crarvntee de conteoho fes apremreadas vo conto sicnentação o de stmentação do contagem o drrntags me es ostrategias hora hpevemente Soncusticimo (De o uevesenta o pas pammeto esrode de alimentação: Does cetro satrolanhoe de vetor idade de automével f Geladeira TED Orar de Instriamentaço: Ciomerado Aatmdico do To peranera de Ohmerimo Esbove 0 diagrama de proces + mesmas amentação paro ame sitema de controle automático pars contente + temper a ur tomate amento Eneoe o que cexê fine quando ajusta a temperatura da agia no tomar bobos Ultitico cs sfrmbbolem de ás crumentação pondrdo ENA (NR RIM) former na Apémdico 4 hbemtifique om dispenitivos do medição (MD, da dincindão (E o de ças CAP do mou vintoia de comtrohe. TT 2 Canino? sumindo aa 2-1 prod o a Taestdr==5"" ae =di= Fi asor= [ fue Ih E esboçada na F o estada por (1) € esbogada na Fi função, tbém conbecidacomo fição arde centrada no tempo zer art m ração tr rea und Todastadre O 211 éigual à (O UMA FINÇÃODE mo rm a ção do mer IMPt = ga fomad de Laio é sson= sjerdr=1 - ultado pode ser obtido subst: integração, 1, dra do impulo. O mesmo est o e a, detaoma qe HT = 1, a seguir tirando-se limite enquanto T tende a zero. (D) UMA ONDA A ca senoidal é esboça na Fi. 2-1.d e é representada a forma exponencial por SENOIDAL. ja = gta A 7 o E FREQUÊNCIA o s EAMPLITUDE Cr onde é = VET é a unidade de números imaginários. Substituindo na Eq 2-1.1, tem-se sd [feto estos] ar J reta er AP rio o Ê a e is para obter à transformada de fançes comuns. Tabela 2-1.1 contém uma pequena lista das trans- de Laplace na ordem de sua utilidade nto de histemas de controle, A lineari- mentais para a transformação do valor final é útil para prever Hr de sua transformada de 5 alrasadas no tempo. Ou- pesar la 2-1.1. Tabela 2-1.1 Tr Laplace de fun sent onde a e b são constantes. Você pode facilmente deduzir ambas as fórmulas através da apli cação da Eq. 2-1.1, a definição da transformada de Laplace. Demonstração. À partir da definição da transformada de Laplace, Eq. 2-1.1, ao] [SAHO cu «[Ee]=[ ne da ni TR 14 Copíulo? Determine a integral por partes: af ga up=" =" == cd += fo o [E gaxcse Ate) ui = =p-son+s fox do = dt) =sF(s)— f(0) ; DE Toa, lo palm ooo és PRA A extensão para derivadas mais altas é direta. are menres do que tg ro (a (df q 28 ) a V ar df] df Uma vez que a transformada de Laplace não contém informação sobre a função original ESC | dito para um tempo negativo, a função atrasada deve ser zero para f tempos menores de af que o atraso do tempo (veja Fig. 2-1.2). Esta condição é satisfeita se as variáveis do processor . r pd forem expressas como desvios das condições iniciais de estado estacionárie aguda t=0 Demonstração. Pela definição da transformada de Laplace, Eq. 2-1.1 =2rw-s10- | ta=mi=[ fu -m ema Élcio o Empr Considere = 1— to (ou t = t, + 7) e substitua. ap JA At — tod] / ftrye TH dim +) d e J-2r0 pg eu Em controle de processo normalmente admite-se que as condições iniciais estejam com « e feet de estacionário (as derivadas de tempo são zero), e que as variáveis são desvios das cond as condiçõe iai (0 valor inicial é zero), Para este caso tão importante, à expressão anterior se tedi =e =etF(s) qed dead donos incas zero em estado estacionário a transfor Observe que nesta demonstração fizemos uso do fato de que f77) = O para r< 0 (1 < nd. ar dei ves ção Éobid pela simples substituição da variável A demonstração deste teorema adiciona pouco à sua compreens As últimas três propriedades da transformada de Laplace, a serem apresentadas a seguir sem demonstração, não são utilizadas tão frequentemente em análise dinâmica de processo como as apresentadas acima. : Teorema da Diferenciação Complexa Este teorema é útil para a avaliação das transformadas de funções envolvendo as po variável independente, +. Ele afirma que transformada da (2-2,3) iniciais, sobre a v de ser feito sem (2-2.4) saída no produto udt), que foi at) = uuth (2:25) Ferramentas Matemáticas para a Análise de Sistemas dis Contrato 1” onde r, e 7; são as raízes do termo quadrático, sto é, os valores de s que satisfinzenm a equação ans tas tag=0 Para um polinômio quadrático ou de segundo grau, as raízes podem ser caleuladas pela fór mula quadrática padrão; Para polinômios de graus superiores, o leitor deve recorrer a qualquer texto de métodos mu méricos para o procedimento de calcular as raízes. A maioria das calculadoras eletrônicas atuais é capaz de encontrar as raízes de polinômios de terceiro grau ou de graus superiores, Programas de computador como Mathcad' MATLABB fornecem funções para encontrar as raízes de polinômios de qualquer grau. Uma vez que o denominador é decomposto em termos de primeiro grau, a transformada é expandida em frações parciais como se segue: Y(s) desde que as raízes, rj 1 € 3 petídas, os coeficientes constantes são encontrados pela fórmula im (s — ro) Y(5) Ro Podemos agora efetuar a inversão da Eq. 2-2.8 através da combinação de cada termo comos — itens na Tabela 2-1.1; neste caso, os primeiros dois termos combinam a função exponencial coma = rw enquanto o terceiro termo combina cow a nção degras Habarha JN uia inversa resultante é VM) = Ape! + Age! + Aqutt) Raízes Repetidas Para o caso de raízes repetidas, Rar = nr a expansão é (2213) (22,14) mento de expansão rados: raízes reais 2,1, com condiç variável de saída y(1) rau unitário é, a partir é decomposto como (C) PAR DE RAÍZES COMPLEXAS CONJUGADAS Ferramentas Matemáticas para a Artis de Sistema e Citado ZE Os coeficientes são, a partir da Eq, dá como antes. A resposta ao degrau é então obtida pela combinação dos jens di Tabela 25 | 2)? uy e os outros parâmetros como os anteriores. As raízes, a partir da Feirmula quadrática, VT é a unidade de números imaginárias. A transformada dr saída é então HO) = FOI] = 10289 E OI67 + 10280 = A Ts +0,167 10,289 s+0,167 4 Mais uma vez os coeficientes são calculados através da Eq, 2:29. 2 Ferramentas Matemáticas para 4 Análise de Sintemas de Contente s ir dos parâmer, formalmente ;, 2-3.2 Resposta de Saída Para mostrar a relação entre a resposta de saída e as raízes do denominador da função de trans ferência, vamos calcular a transformada de Laplace da equação diferencial de enésima ordem nas variáveis de desvio, Eq. 2-3.4, e solucionar para a transformada da saída. MRS. v69) [io] x) 235, ans” + ans! + + ag onde fizemos uso do fato de que todas as condições iniciais são zero. A expressão entre col chetes é a função de transferência; seu denominador pode ser decomposto em 7 termas de primeiro grau, um pará cada uma de suas raízes. bas” Há [ ct A] x6) ro valor i aE="0 ===") pc onde 1, ru.ur, São as raízes do polinômio do denominador. Além dos n fatores mostrado do dorigem às a na E. 2.3.6 existem fatores adicionais apresentados pela variável de entrada X($) que depen- dem do tipo de entrada (degrau, pulso, rampa, etc.). Em seguida, expandimos a transformada (2:31) em frações parciais. A ia CE pe + termos de X(s)] (23.77 ni s= Finalmente, invertemos a transformada através da combinação dos itens da Tabela 2-1.1 para obtermos a resposta como uma função temporal. Se não houver raízes repetidas, o inverso serão representadas por será tir da definição de uma Y(t) = Ape! + Agel! +... + Age!n! + (termos de X) (238) Os primeiros n termos do lado direito yêm da função de transferência, e o resto dos difere dependendo da função de entrada X(t). Se qualquer das raízes é repetida p vezes, seu coeficiente é substituído por um | em + de grau p — 1, como mostrado na seção anterior. O número total de termos mente n, contando os termos no polinômio de 1. Vamos mi primeiro o caso raízes complexas 'é menos do que 1% de seu valor inicial é (2-3.9) tempo para se ex- Ferramentas Matemáticas para à Análise de Sistemas de Contrate ” Y(1) = Be” cosut + Cel sem ot + vos =e"(B cosa + O sena) + Esta equação pode ser ainda mais simplificada utilizando-se a identidade trigonométricas sent + 8) =sen À cost + cos sen cur O resultado é Y(t) = De” sen(ut +89) + 0uo onde D = BIFCÊ, é a amplitude inicial B 8 =tan! Fila ingulo de fase, em radianos? Este resultado mostra que a resposta é oscilatória, porque ela contém a onda senoidal. A am- plitude da onda senoidal varia com o tempo de acordo com o termo exponencial e“ o qual é inicialmente a unidade, mas pode aumentar com o tempo se p for positivo ou tender a zero se negativo. Portanto, para o caso de um ou mais pares de raízes complexas conjugadas, podemos responder com mais detalhes as perguntas do início desta seção como se segue: » A resposta é oscilatória. + As oscilações aumentam com o tempo (instável) se qualquer um dos pares de raízes. complexas tiver uma parte real positiva. As Figuras 2-3.1c e d mostram exemplos de respostas estáveis e instáveis, respectivamente. A Equação 2-3.11 mostra que a fregiiência da onda senoidal é igual à parte imaginária, das raízes, «, em radianos por unidade de tempo. O período das oscilações é o tempo que | um ciclo completo leva, isto é, O tempo que 0 argumento da onda senoidal, am + 8, aumentar em 277 radianos. Deste modo, o período é o “a = a A unidade SI para frequência é o hertz (Hz), que é o número: verso do período em segundos. Nossas. a em radianos por unidade de tempo. Enquanto o período de po que as oscilações levam para se ficde ser resumida é estável se todas reais negativos ou quando veremos malhas de contro. componentes de sis- de primeira ordem. apresenta a resposta ei uma função de- tivo é aprender como os “mais tarde possamos mente através do n são também impor- “omo combinações de (24.1) TÉO tempo, à v escrever a equação ção na entrada x(1). Ferramentas Matemáticas para a Análise de Sistemas de Comtrote E] nte de tempo b o é 9 ganho de estado estacionário A razão para estes nomes se tomará evidente à medida que desenvolvermos as respostas a vá- rios tipos de entradas. Observe que, para que a Eg. 2-4.4 seja dimensionalmente consistente, 7 precisa ter a dimensão de tempo, e K precisa ter dimensão de Y sobre dimensão de X. Qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser transformada para a forma padrão da Eq. 2-4.4, contanto que a variável dependente Y(t) apareça na equação. Podemos então obter a função de transferência de um sistema de primeira ordem tomando a transfor- mada de Laplace da Eq. 2-4.4. Para fazer isto, aplicamos a propriedade de linearidade, Eq. 2-1.3,e0 teorema da diferenciação real, Eg. 2-1.4, observando que a condição inicial da va» riável de desvio Y(t) é zero. O resultado é TsF(s) + Vs) = KX(s) (2.45) Resolvendo para Y(s) temos OO termo entre colchetes é a função de transferência do sistema de primeira ordem na forma padrão. Observe que o que é característico desta forma é que o segundo termo no denomina- dor é unitário. Quando a função de transferência está nesta forma, o termo do numerador é o ganho e o coeficiente de s é a constante de tempo. A raiz do denominador da função de transferência é r= — 1/7. A partir do que apren na seção anterior, podemos ver que a resposta de um sistema de primeira ordem é na (uma raiz real), e ele é estável se sua constante de tempo é positiva. necessário para os transientes serem reduzidos a menos do que 1% de: especificamente e-* = 0,0067, ou 0,67%, é —S/r = 57 ou cinco vezes po. A variação do estado estacionário final na saída, obtida adm transferência, é K vezes a alteração K ser o ganho; a definição do ganho é a variação do estado | variação sustentada na: maentrada. — Ferramentas Matemáticas para u Análive de Sistemus de Comtunho AM Figura 2-4,2 Resposta a uma rampa de primeira ordem. A saída normalizada atrasa a entrada em exa- tamente uma constante de tempo. Substitua na transformada e inverta através da combinação de itens da Tabela 2-! Y(t) = Kre "+ (rt — Krouto) Krre t+ Kr(t— r)u(t) (248) A resposta à rampa, após o termo exponencial se extinguir em aproximadamente cinco cons- tantes de tempo, se torna uma rampa com inclinação Kr e atrasada por uma constante de tempo. Para ilustrar a forma como a saída é atrasada em exatamente uma constante de tempo relativo à entrada, a Fig. 2-4.2 sobrepõe os gráficos de X(t) e Hit versus 1; desta man 
