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L HOSPITAL, TAXAS E DERIVAÇÃO IMPLICITA
Tipologia: Provas
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Não perca as partes importantes!
Departamento de Matem´atica - IMECC - Unicamp MA111- Primeiro Semestre de 2019 Prova 2 - 24/05/2019 (6a^ - Noturno)
Nome: GABARITO
RA: Turma
Quest˜oes Notas
Total 10.
Quest˜ao 1. (2.0 pontos) Considere a curva definida pela equa¸c˜ao x^3 − y^2 + 5xy = 7.
(a) Calcule y′.
(b) Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente a curva no ponto (1, 3).
Solu¸c˜ao: (a) Derivando implicitamente ambos os lados da igualdade dada, em rela¸c˜ao a x, obtemos 3 x^2 − 2 yy′^ + 5y + 5xy′^ = 0
e da´ı, se 5x 6 = 2y,
y′^ = −
3 x^2 + 5y 5 x − 2 y
(b) Lembremos que a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto (x 0 , y 0 ) e tem coeficiente angular m ´e dada por y − y 0 = m(x − x 0 ). Como queremos a equa¸c˜ao da reta tangente que passa pelo ponto (1, 3), seu coeficiente angular deve ser dado por
m = y′
(1,3)
3 x^2 + 5y 5 x − 2 y
(1,3)
Portanto a equa¸c˜ao da reta pedida ´e
y − 3 = 18(x − 1).
Quest˜ao 3. (1.5 ponto) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.
(a) lim x→ 0 +^
xx
(b) lim x→ 0 +^
x^3 ln(x)
Solu¸c˜ao: (a) Inicialmente observe que o limite dado ´e uma indetermina¸c˜ao do tipo 0^0. Agora se y = xx, temos
lim x→ 0 +^
xx^ = lim x→ 0 +^
= lim x→ 0 +^
eln^ y^ = e
lim x→ 0 +^
ln y , (3)
onde usamos o fato da fun¸c˜ao exponencial ser cont´ınua da ´ultima igualdade. Assim, vemos que ´e suficiente calcularmos o limite
lim x→ 0 +^
ln y = lim x→ 0 +^
x ln x.
Este ´ultimo limite ´e uma indetermina¸c˜ao do tipo 0 · ∞. Logo, pela regra de L’Hospital,
lim x→ 0 +^
ln y = lim x→ 0 +^
x ln x
= lim x→ 0 +
ln x 1 x
= lim x→ 0 +
1 x − (^) x^12
(regra de L’Hospital)
= lim x→ 0 +
(−x)
= 0.
Portanto, voltando em (3) segue lim x→ 0 +^
xx^ = e^0 = 1.
(b) Aqui temos um indetermina¸c˜ao do tipo 0 · ∞. Logo, pela regra de L’Hospital,
lim x→ 0 +^
x^3 ln x = lim x→ 0 +
ln x 1 x^3
= lim x→ 0 +
1 x − (^) x^34
(regra de L’Hospital)
= lim x→ 0 +
x^3 3
Quest˜ao 4. (3.0 pontos) Seja f (x) = xex.
(a) (1.0) Determine os intervalos de crescimento/descrecimento de f, e os seus pontos de m´aximo/m´ınimo.
(b) (0.8) Determine os intervalos onde f ´e cˆoncava para cima/baixo e os seus pontos de inflex˜ao.
(c) (0.4) Caso existam, encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais de f.
(d) (0.8) Esboce o gr´afico de f usando (pelo menos) as informa¸c˜oes obtidas nos itens (a), (b) e (c).
Solu¸c˜ao: (a) Para determinar os intervalos de crescimento de f precisamos estudar o sinal de f ′. Temos f ′(x) = ex^ + xex^ = (x + 1)ex. (4)
Como ex^ > 0 para qualquer x ∈ R, vemos de (4) que f ′(x) > 0 se x ∈ (− 1 , ∞) e f ′(x) < 0 se x ∈ (−∞, −1). Logo, pelo Teste Crescente/Decrescente segue que f ´e crescente no intervalo (− 1 , ∞) e decrescente no intervalo (−∞, −1). Tamb´em, como f ′(x) existe para qualquer x ∈ R seus pontos cr´ıticos s˜ao `aqueles em que a derivada se anula. Assim, de (4) obtemos que x = −1 ´e o ´unico ponto cr´ıtico de f. Ainda mais, como o sinal de f ′^ muda de negativo para positivo em −1, o Teste da Primeira Derivada implica que −1 ´e um ponto de m´ınimo local de f. Observe tamb´em que f n˜ao possui pontos de m´aximo local.
(b) Para estudar a concavidade de f precisamos estudar o sinal de f ′′. Mas como
f ′′(x) = ex^ + (x + 1)ex^ = (x + 2)ex,
e ex^ > 0 para qualquer x ∈ R, obtemos que f ′′(x) > 0 se x ∈ (− 2 , ∞) e f ′′(x) < 0 se x ∈ (−∞, −2). Logo, pelo Teste de Concavidade vemos que f ´e concava para cima no inter- valo (− 2 , ∞) e concava para baixo no intervalo (−∞, −2). Al´em disso, como h´a mudan¸ca de concavidade somente em x = −2 segue que −2 ´e o ´unico ponto de inflex˜ao de f.
(c) Para determinar as assintotas horizontais, primeiro note que
lim x→+∞ xex^ = +∞
e, usando a regra de L’Hospital,
lim x→−∞
xex^ = lim x→−∞
x e−x^
= lim x→−∞
(−e−x)
= lim x→−∞
(−ex) = 0.
Assim, y = 0 ´e a ´unica assintota horizontal. Al´em disso, como f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio, que ´e o conjunto de todos os n´umeros reais, ela n˜ao possui assintota vertical.
Quest˜ao 5. (1.5 ponto) Encontre o ponto sobre a curva y = x^3 /^2 que est´a mais pr´oximo do ponto (4, 0). Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao distˆancia de qualquer ponto (x, y) ao ponto (4, 0) ´e dada por
d =
(x − 4)^2 + y^2.
Como queremos que o ponto esteja sobre a curva dada, devemos ter y^2 = x^3 , de modo que a fun¸c˜ao distˆancia se reescreve como
d =
(x − 4)^2 + x^3.
Como a fun¸c˜ao d ´e n˜ao-negativa encontrar um ponto de m´ınimo de d ´e equivalente a encontramos um ponto de m´ınimo de d^2. Assim, sabendo que x ≥ 0 (pois (x, y) deve ser ponto da curva dada), nosso problema equivale a encontrar um m´ınimo da fun¸c˜ao
f (x) = (x − 4)^2 + x^3 , x ≥ 0.
Como f ′(x) = 2(x − 4) + 3x^2 vemos que os pontos cr´ıticos de f (em R) s˜ao x = −2 e x = 4/3. Mas como o dom´ınio de f ´e o intervalo [0, ∞) o ´unico ponto cr´ıtico de interesse ´e x = 4/3. Agora como f ′′(x) = 2 + 6x temos f ′′(4/3) = 10 e, portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, 4 /3 ´e um ponto de m´ınimo (absoluto) de f , e consequentemente, de d. Disso conclu´ımos que o ponto da curva que est´a mais pr´oximo de (4, 0) ´e o ponto (4/ 3 , 8 /
Observa¸c˜ao: Uma outra maneira de justificar que 4/3 ´e um m´ınimo absoluto de f , ´e usar o Teste da Primeira Derivada Para Valores Extremos Absolutos, uma vez que f ′(x) < 0 se x ∈ (0, 4 /3) e f ′(x) > 0 se x ∈ (4/ 3 , +∞).
