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GRADUAÇÃO EAD
FINAL GABARITO
2016.1B – 09/07/
CURSO
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA
TURMA DATA DA PROVA
ALUNO(A)
MATRÍCULA POLO
GABARITO OBRIGATÓRIO
B B B E D C B B D A
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR
- Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho.
- Esta avaliação possui 10 questões.
- Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta.
- Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira
página.
- O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente.
- Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para
conferência posterior à realização da avaliação.
- O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação.
- A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta.
1. Considere ( )
2 2 f x , y = 16 − x − y , uma
função real. O domínio e a imagem desta função são respectivamente.
a) {(x, y) ∈ R^2 x^2 + y^2 ≥ 16} e [0, 4] b) {(x, y) ∈∈∈∈ R^2 x^2 + y^2 ≤≤≤≤ 16} e [0, 4]
c) {(x, y) ∈ R^2 x^2 + y^2 –16 = 0} e (0, 4) d) {(x, y) ∈ R^2 x^2 + y^2 ≤ 0} e [0, 4)
e) {(x, y) ∈ R^2 x^2 + y^2 + 16 ≥ 0} e [0, 4)
COMENTÁRIO:
2 2 f x , y = 16 − x − y
. Domínio e imagem (?)
Domínio
2 2 2
2 2 2 2
D x y R x y
x y x y
Imagem: Para qualquer valor real de “x e y”. x^2 + y^2 é sempre positivo ou zero e “x ou y” sempre menor ou igual a 4 I = [0, 4]
Resposta:
{ ( , ) 16 } [ 0 , 4 ]
2 2 2 x y ∈ R x + y ≤ e
GABARITO: B
2. Verifique as afirmações abaixo sobre as equações que correspondem aos respectivos gráficos:
I. z = 3, representa uma reta paralela ao plano x y II. z = x – y + 1, representa um plano que pode ser definido pelos pontos (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
III. z = 2x^2 + 2y^2 , representa uma curva
denominada paraboloide.
Podemos afirmar:
a) apenas I e II são verdadeiras. b) apenas II e III são verdadeiras. c) apenas I e III são verdadeiras. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas.
COMENTÁRIO: Analisando as afirmações. (I) z = 3, para uma função real no R^3 representa um plano paralelo ao “xy”.
(II) z = x – y + 1, representa um plano no R^3 substituindo os pontos: (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) encontramos sempre uma identidade. Então os pontos dados pertencem ao plano. (III) z = 2x^2 + 2y^2 , representa uma Curva Quádrica cuja equação satisfaz a quádrica denominada. PARABOLÓIDE. (Paraboloide circular) Resposta: Apenas (II) e (III) são verdadeiras. GABARITO: B
3. Considere a função z = 2x^2 – 4y^3 + 5x^2 y^2.
A derivada (^) 2
2
y
z
∂
é:
a) 4x + 10y^2 b) – 24y + 10x^2 c) 20xy d) – 12y^2 + 10x^2 y e) – 3 + 4x^2
COMENTÁRIO: SOLUÇÃO
Calculando a derivada parcial (1ª derivada):
y
z
∂
(consideramos “y” variável e “x” constante).
y x y y
z
x y x y y x y y
2 2
2 3 2 2 2 2
Calculando a derivada parcial de ou , temos: (2ª derivada).
2 2
2
2 2 2
2
y x y
z
y x y y y
z
GABARITO: B
2
2 2 3 2 2
y
z
z x y x y
y
z
∂
2
2
y
z
∂
8. Considere a função constante de duas variáveis
igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a
região dada pelas desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e x^2 ≤≤≤≤ y
≤≤≤≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e
acima de “D” é dado por (em unidades de volume):
a) 3
b) 6
c) 2
d) 4
e) 5
COMENTÁRIO:
SOLUÇÃO
f ( x y ) = ≤ x ≤ e x ≤ y ≤ x
2 , 1. 0 1
Temos um caso típico de integral dupla:
∫ ∫ (^ )^ ∫ ∫ (^ ) (^ )
D
b
a
y
y
f x ydxdy f x ydy dx
x
x
2 (^ )
1
∫ ∫ (^)
1
0 2
1 dy dx
x
x , resolvendo a integral interna.
∫ =^ ] = −
x
x
x 2 dy yx^^2 x x
2
, substituindo.
( ) ∫
1
0
1
0
2 3 2
6
x x x x dx
GABARITO: B
9. Considere um campo de forças definido por
f ( x y ) = xi − xyj
→ 2 ,
. Determine o trabalho
realizado por este campo ao longo de um
quarto de círculo r(t) = cost i + sent j, 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 ππππ.
a) 3
b) 3
−^1
c) 3
d)^3
−^2
e) Zero
COMENTÁRIO SOLUÇÃO f = x^2 i – xyj é o campo. r(t) = Costi + Sentj com 0 ≤ t ≤ 2 π,é a curva. O trabalho ao longo de um quarto de círculo?
SOLUÇÃO-
r ( ) t Senti Costj
f rt Costi CostSentj
f dr f rt r tdt
b
a
∫ =∫
→ →
1
2
1 .
O produto: (Cos^2 t i; - Cost Sentj). (- Sent i; Cost J).
- Cos^2 t Sent – Cos^2 t Sent
- 2 Cos^2 t Sent
∫ (−^ ) =− ∫
/ 2
0
/ 2
0
2 2 2 2
π π Cost Sentdt Cost Sent dt
Fazendo Sent
du Sent dt dt
du u = Cost ∴ =− ∴ =−
cos 0 2
cos 3
3 3
/ 2
0
3
/ 2
0
3 2 0
2
/ 2
0
/ (^22)
0
2
∫
∫ ∫
π
π π
π π
Cos t
u udu
Sent
du CostSentdt u Sent
GABARITO: D
**10. Seja um campo vetorial definido por F(x, y) = (x
- y) i + (x – 5) j. Verifique a alternativa abaixo que corresponde as condições deste campo.**
a) F é conservativo b) F não é conservativo c) F é um campo elétrico d) F é um campo magnético e) F é um campo gravitacional
COMENTÁRIO: SOLUÇÃO
F ( x , y ) = ( x + y ) i +( x − 5 ) j
, é do tipo F (x, y) = Pi + Qi
x
Q
y
P
(é conservativo)
x
Q
y
P
(não é conservativo)
x
Q
y
P
x o x x
Q
x y y y
P
5 1 , log ,
O Campo F é conservativo.
GABARITO: A
