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Prova

Vestibular ITA

Versão 1.

ITA - 1996

1. (ITA-96) Seja a ∈ ℜ, a > 0 e a≠1 e considere a matriz A:



















 = − log 1 log 1

log 1 / log

log 3 log 3

10

2 10

a

a a

a a a

a a A. Para que a característica de A

seja máxima, o valor de a deve ser tal que:

a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 b) a ≠ 10 e a ≠ 1/

c) a ≠ 2 e a ≠ 10 d) a ≠ 2 e a ≠ 3 e) a ≠ 2 e a ≠ 10

2. (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: I- (A - B)C^ ∩ (B ∪ AC)C^ = ∅

II- (A - BC)C^ = B - AC

III- [(A C

• B)∩(B - A)] C = A

Sobre essas afirmações podemos garantir que:

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.

b) Apenas a afirmação II é verdadeira.

c) Apenas a afirmação III é verdadeira.

d) Todas as afirmações são verdadeiras.

e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

3. (ITA-96) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é igual a:

a) 3 + 1 b) 3 − 1 c) 1 + 33 + 1

d) 1 + 3 3 − 1 e) 3 + 1

4. (ITA-96) Dadas as afirmações:

I- 2 ,n N n

n n 1

n ....... 2

n 1

n 0

n (^) n = ∈ 

 

 ^ + 

 

 − + + 

 

 ^ + 

 

 ^ + 

 



II- (^) .n N,k 1,2,3.....,n n-k

n k

n  ∈ = 

 

 ^ = 

 



III- Existem mais possibilidades de escolher 44 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que escolher 6 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50. Conclui-se que:

a) Todas são verdadeiras

b) Apenas a afirmação I e II são verdadeiras.

c) Apenas I é verdadeira.

d) Apenas II é verdadeira.

e) Apenas II e III são verdadeiras.

5. (ITA-96) Considere o polinômio:

P(z) = z^6 + 2z^5 + 6z^4 + 12z^3 + 8z^2 + 16z

a) Apenas uma é real.

b) Apenas duas raízes são reais e distintas.

c) Apenas duas raízes são reais e iguais.

d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas.

e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.

6. (ITA-96) Seja a ∈ R [-π/4, π/4] um número real dado. A solução (x 0 , y 0 ) do sistema de equações:







• = −

− =− (cosa)y (sena)x 1

(sena )y (cosa)x tga é tal que:

a) x 0. y 0 = tg a b) x 0. y 0 = - sec a c) x 0. y 0 = 0

d) x 0. y 0 = sen^2 a e) x 0. y 0 = sen a

7. (ITA-96) Seja f : ℜ*+→ ℜ uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se x 1 , x 2 , x 3 , x 4 e x 5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que

∑

= +

5 i 1

f (xi ) 13 f( 2 ) 2 f(x 1 )e 2 ( 2 1 )

4

1 1

f x

x

x

f

i i

i =−

= +

, então

o valor de x 1 é:

a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1

d) 3

(^3) x cm e) 2

(^3) x cm

18. (ITA-96) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm^2 , então o volume deste paralelepípedo, em cm^3 , é igual a:

a) 1200 b) 936 c) 1155 d) 728 e) 834

19. (ITA-96) Três pessoas A, B e C, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis H 1 , H 2 , H 3 , H 4 e H5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são correta(s)?

I- Existe um total de 120 combinações

II- Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente

III- Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel

a) Todas as afirmações são verdadeiras.

b) Apenas a afirmação I é verdadeira.

c) Apenas a afirmação II é verdadeira.

d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

20. (ITA-96) O valor da potência

93

1 i

2 

 

 

 



é:

a) 2

− 1 +i b) 2

1 + i c) 2

− 1 −i d) ( 2 )^93 i e) ( 2 )^93 +i

21. (ITA-96) Sejam a 1 , a 2 , a 3 e a 4 quatro números reais (com a 1 ≠ 0), formando nessa ordem uma progressão geométrica.

Então, o sistema em x e y 





• =

• = 12 14 2

1 3 aax aax a

a x ax 1 é um sistema:

a) Impossível.

b) Possível e determinado.

c) Possível e indeterminado.

d) Possível determinado para a 1 > 1.

e) Possível determinado para a 1 < -1.

22. (ITA-96) Considere as funções reais f e g definidas por:

1 x^2

f( x)^12 x −

= + , x ∈ R - { -1, 1} e 1 2 x

g( x) x

= , x ∈ R - { -1/2}.

O maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é:

a) ]-1, -1/2[ ∪ ]-1/3, -1/4[ b) ]- ∞ , -1[ ∪ ]-1/3, -1/4[

c) ]- ∞ , -1[ ∪ ]-1/2, 1[ d) ]1, ∞ [

e) ]-1/2, -1/3[

23. (ITA-96) Seja f :R→ Rdefinida por:







• ≤ = x 4 x 3 ,x 0

3 x 3 ,x 0 f( x) 2

a) f é bijetora e ( fof)(− 2 / 3 ) =f−^1 ( 21 ).

b) f é bijetora e (fof )(− 2 / 3 ) =f−^1 ( 99 ).

c) f é sobrejetora mas não é injetora.

d) f é injetora mas não é sobrejetora.

e) f é bijetora e ( fof)(− 2 / 3 ) =f−^1 ( 3 ).

24. (ITA-96) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio de uma corda AB da circunferência (x - 1)^2 + y^2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por:

a) y = 2x - 3 b) y = x-1 c) y = -x + 3

d) y = 3x/2 - 2 e) y = -x/2 + 2

25. (ITA-96) São dadas as retas r: x - y + 1 + raiz2 = 0 e s: raiz3 x + y - 2 raiz3 = 0 e a circunferência C: x^2 + 2x + y^2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:

a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.

b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente a C.

c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C.

d) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é tangente à C.

e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.