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MA11 — N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – Prova 1 – 2011
Quest˜ao 1. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de ´agua pot´avel permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de ´agua por dia (e ´e o que os tripulantes fazem). Ap´os 12 dias de viagem, o barco encontra 3 n´aufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:
(1.0) (a) Quantos litros de ´agua por dia caber˜ao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?
(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de ´agua cada um, em quantos dias, no m´aximo, ser´a necess´ario encontrar uma ilha onde haja ´agua?
Quest˜ao 2.
(1.0) (a) Quais s˜ao os valores de y para os quais existe uma fun¸c˜ao quadr´atica f : R → R tal que f (1) = 3, f (2) = 5 e f (3) = y?
(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a fun¸c˜ao quadr´atica correspondente. Justifique seus argumentos.
Quest˜ao 3.
(1.0) (a) Seja f : A → B uma fun¸c˜ao. Dˆe as defini¸c˜oes de f (X) e f −^1 (Y ), para X ⊂ A e Y ⊂ B. Se f : R → R ´e dada por f (x) = 2x^2 + 3x + 4, determine os conjuntos f (R) e f −^1 (3).
(1.0) (b) Seja f : A → B uma fun¸c˜ao. Prove que f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ), quaisquer que sejam X, Y ⊂ A. Dˆe um exemplo em que f (X ∩ Y ) 6 = f (X) ∩ f (Y ).
Quest˜ao 4.
(0.5) (a) Se r 6 = 0 ´e um n´umero racional, prove que r
2 ´e irracional.
(0.5) (b) Dado qualquer n´umero real > 0, prove que existe um n´umero irracional α tal que 0 < α < .
(1.0) (c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, cont´em algum n´umero irracional.
Quest˜ao 5. Sejam m e n n´umeros naturais primos entre si.
(1.0) (a) Mostre que mn ´e equivalente a uma fra¸c˜ao decimal (isto ´e, com denominador potˆencia de 10) se, e somente se, n n˜ao tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.
(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos al´em de 2 ou 5 ent˜ao a expans˜ao decimal ´e infinita e, a partir de um certo ponto, peri´odica.
MA11 – N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – AV1 – 2012
Quest˜ao 1. (2,0) Prove que se a, b, c e d s˜ao n´umeros racionais tais que a
2 + b
3 = c
2 + d
3 ent˜ao a = c e b = d.
Quest˜ao 2. (2,0) Seja f : R → R uma fun¸c˜ao crescente tal que, para todo x racional, vale f (x) = ax + b (com a, b ∈ R constantes). Prove que se tem f (x) = ax + b tamb´em se x for irracional.
Quest˜ao 3.
(a) (1,0) Determine uma fun¸c˜ao afim f : R → R tal que g : R → R, definida por g(x) = | |f (x)| − 1 |, tenha o gr´afico abaixo.
(b) (1,0) Expresse g na forma g(x) = A + α 1 |x − a 1 | + α 2 |x − a 2 | +... + αn|x − an|, para algum n, explicitando os valores de A, α 1 ,... , αn.
-3 -2 -1 0
1
2
X
Y
Quest˜ao 4. (2,0) Ache uma fra¸c˜ao ordin´aria igual ao n´umero real α = 3, 757575...
Quest˜ao 5. Considere as seguintes possibilidades a respeito das fun¸c˜oes afins f, g : R → R, em que f (x) = ax + b e g(x) = cx + d. A) f (x) = g(x) para todo x ∈ R. B) f (x) 6 = g(x) seja qual for x ∈ R. C) Existe um ´unico x ∈ R tal que f (x) = g(x). Com essas informa¸c˜oes, (i) (1,0) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de rela¸c˜oes entre os coeficientes a, b, c e d.
(ii) (1,0) Interprete geometricamente cada uma dessas 3 possibilidades usando os gr´aficos de f e g.
√ x = 1 −
√ 2 x ⇒ x = 1 − 2
√ 2 x + 2x ⇒ 1 + x = 2
√ 2 x ⇒ 1 + 2x + x^2 = 8x ⇒ x^2 − 6 x + 1 = 0 ⇒ x = 3 ± 2
√ 2
Este método de resolução está correto? Justifique sua resposta. (pontuação 1,0)
- Considere a função p : [− 1 , 5] → R definida por: { 3 x − x^2 se − 1 6 x < 1 ||x − 2 | − 1 | se 1 6 x 6 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5) (b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5) (c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontu- ação 0,5) (d) Faça um esboço do gráfico da função q : [− 1 , 2]] → R definida por:
q(x) = p(2x + 1) − 2.
(pontuação 0,5)
- Considere a função quadrática f : R → R, f (x) = a x^2 + b x + c, com a > 0. Use a forma canônica do trinômio de segundo grau
y = a (x − x 0 )^2 + y 0
para mostrar que:
(a) (x 0 , y 0 ) é um ponto de mínimo absoluto de f ; (pontuação 1,0) (b) a reta x = x 0 é um eixo de simetria vertical do gráfico de f. (pontuação 1,0)
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ´ATICA EM REDE NACIONAL Avalia¸c˜ao 1 - MA11 - 2015.
Quest˜ao 1 [ 2,0 pts ]
Fa¸ca um esbo¸co do conjunto dos pontos do plano tais que bxc^2 + byc^2 = 4; x, y ∈ R,
onde bxc = max{m ∈ Z : m 6 x} representa o maior inteiro menor do que x ou igual a x.
Quest˜ao 2 [ 2,0 pts ]
Seja f : R → R uma fun¸c˜ao mon´otona injetiva. Prove que, se o acr´escimo f (x + h) − f (x) = ϕ(h) depender apenas de h, mas n˜ao de x, ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao afim.
Quest˜ao 3 [ 2,0 pts ]
Os termos a 1 , a 2 ,... , an de uma progress˜ao aritm´etica positiva e crescente s˜ao os valores f (1), f (2),... , f (n) de uma fun¸c˜ao afim.
(a) Mostre que cada ai ´e igual a ´area de um trap´ezio delimitado pelo gr´afico de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais de equa¸c˜oes x = i − 12 e x = i +^12. (b) Mostre que a soma S = a 1 + a 2 + · · · + an ´e iguala ´area do trap´ezio delimitado pelo gr´afico de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais x =^12 e x = n +^12.
(c) Conclua que S = (a^1 + 2 a n)n.
Quest˜ao 4 [ 2,0 pts ]
Dados dois conjuntos A e B, definimos o produto cartesiano de A por B, que denotamos por A × B, como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e b ∈ B, isto ´e, A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
(a) Determine, justificando, se o conjunto X = {(1, 3), (2, 3), (2, 4)} ´e um produto cartesiano de dois conjuntos. (b) Suponha que A e B tenham exatamente 2 e 3 elementos, respectivamente. Quantos subconjuntos n˜ao vazios de A × B s˜ao tamb´em produtos cartesianos?
Quest˜ao 5 [ 2,0 pts ]
Sejam E e F conjuntos com pelo menos 2 elementos e f : E → F uma fun¸c˜ao. (a) Prove que, se f ´e bijetiva ent˜ao f (E\A) = F \f (A), ∀A ⊂ E. (b) Reciprocamente, prove que se f (E\A) = F \f (A), ∀A ⊂ E, A 6 = ∅ e A 6 = E, ent˜ao f : E → F ´e bijetiva.
MA11 — N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – Prova 2 – 2011
Quest˜ao 1. Calcule as seguintes express˜oes:
(1,0) (a) logn
[
logn^ n
√n (^) √nn
]
(1,0) (b) xlog^ a/^ log^ x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos ´e fixada arbitrariamente.
Quest˜ao 2. (Como caracterizar a fun¸c˜ao exponencial a partir da fun¸c˜ao logaritmo.) Seja f : R → R uma fun¸c˜ao crescente, tal que f (x + y) = f (x) · f (y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:
(1,0) (a) f (x) > 0 para todo x ∈ R e f (1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f (1), a fun¸c˜ao g : R → R definida por g(x) = loga f (x) ´e linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.) (0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g ´e a fun¸c˜ao definida no item (b).
(0,5) (d) f (x) = ax^ para todo x ∈ R.
Quest˜ao 3.
(1,0) (a) 24h ap´os sua administra¸c˜ao, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h ap´os a administra¸c˜ao? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue ´e exponencial.
(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual ´e a quantidade presente no organismo ap´os 24h da primeira dose?
(Quest˜ao 4 na pr´oxima p´agina)
MA11 – N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – AV2 – 2012
Quest˜ao 1. (2,0) Seja f : R → R uma fun¸c˜ao tal que f (0) = 0 e |f (x) − f (y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f (x) = x para todo x ou ent˜ao f (x) = −x seja qual for x.
Quest˜ao 2. (2,0) Dada a fun¸c˜ao quadr´atica f (x) = ax^2 + bx + c, consideremos as fun¸c˜oes afins g(x) = mx + t, onde m ´e fixo e t ser´a escolhido convenientemente. Prove que existe uma (´unica) escolha de t para a qual a equa¸c˜ao f (x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x. Interprete este fato geometricamente em termos dos gr´aficos de f e g.
Quest˜ao 3. (2,0) Dados os pontos A = (3, 7), B = (4, 5), C = (5, 5) e D = (5, 3) em R^2 , determine a fun¸c˜ao afim f (x) = ax + b cujo gr´afico cont´em trˆes desses pontos.
Quest˜ao 4. (2,0) A popula¸c˜ao de uma cultura de bact´erias, num ambiente est´avel e controlado, ´e estimada pela ´area que ocupa sobre uma superf´ıcie plana. Se, decorridos 20 dias, a popula¸c˜ao duplicou, ent˜ao ela ficou 50% maior
(a) antes de 10 dias. (b) ao completar 10 dias. (c) ap´os 10 dias.
Escolha a resposta certa e justifique sua op¸c˜ao.
Quest˜ao 5. (2,0) Dados n´umeros reais positivos x e y, ache α e β tais que cos x · cos y = 12 cos α + 12 cos β. Em seguida mostre como (mediante o uso de uma tabela de fun¸c˜oes trigonom´etricas) esta igualdade pode ser empregada para reduzir o produto de dois n´umeros reais positivos quaisquer `as opera¸c˜oes de soma e divis˜ao por 2.
Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 2
22 de junho de 2013
- [ 2 pontos ] Em cada um dos itens abaixo, dê, se possível, um exemplo de um polinômio p(x) satisfazendo todas as condições dadas. Caso o exemplo não seja possível, justifique a sua resposta. Lembre-se que se p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + an− 1 xn−^1 + anxn^ então
p′(x) = a 1 + 2a 2 x + · · · + (n − 1)an− 1 xn−^2 + nanxn−^1
(a) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 1 e p(x) é de grau 2. (b) p(1) = p(−1) = 0 e p′(0) = 1. (c) p(1) = p(−1) = 0, p′(0) = 0 e p(x) é de grau 2. (d) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 2. (e) p(1) = p(−1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) é de grau 3.
[pontuação de cada ítem: 0,4 ponto]
- [ 2 pontos ] Um número real x 0 é raiz de multiplicidade k do polinômio p(x) se p(x) = (x − x 0 )kq(x), para algum polinômio q(x), com q(x 0 ) 6 = 0. Sugestão para resolver os ítens abaixo: Use o fato de que toda função polinomial é uma função contínua e que "Se f é uma função real contínua e f (x 0 ) 6 = 0, então existe uma vizinhança de x 0 em que f não se anula".
(a) Mostre que x 0 é raiz de multiplicidade par de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal que p(x) não muda de sinal para x pertencente ao conjunto ]x 0 − r, x 0 + r[ {x 0 } = {x ∈ R : x 0 − r < x < x 0 + r, x 6 = x 0 }.[ 0,8 ponto ] (b) Mostre que x 0 é raiz de multiplicidade ímpar de p(x) se, e somente se, existe r > 0 tal que o sinal de p(x) para x ∈ ]x 0 −r, x 0 [ é oposto ao sinal de p(x) para x ∈ ]x 0 , x 0 +r[. [ 0,8 ponto ] (c) Interprete geometricamente os resultados dos dois ítens anteriores.[ 0,4 ponto ]
(a) Determine todas as raízes da equação g(x) = 0. É possível determinar a menor raiz?
[ 0,6 ponto ]
(b) Faça um esboço do gráfico de g na janela gráfica 0 < x < 0 , 1 e − 2 < y < 2.
[ 0,7 ponto ] (c) Considere um sistema de coordenadas x′y em que o eixo horizontal x′^ está em escala logarítmica decimal (isto é, se x representa um eixo em coordenadas cartesianas convencionais, então x′^ = log 10 x) e o eixo vertical y está em coordenadas cartesianas convencionais. Faça um esboço do gráfico de g neste sistema, para 10 −^4 < x < 104 e − 2 < y < 2 .[ 0,7 ponto ]
MA11 – N´umeros e Fun¸c˜oes Reais – AV2 – 2014
Quest˜ao 1 [ 2,0 pt ]
Divide-se um arame de comprimento L em duas partes. Uma das partes estar´a destinada para construir um quadrado e a outra parte para construir um triˆangulo equil´atero. Qual ´e o comprimento de cada parte para que a soma das ´areas das figuras obtidas seja a menor poss´ıvel? E poss´´ ıvel encontrar uma divis˜ao tal que a soma das ´areas do quadrado e do triˆangulo equil´atero seja m´axima? Justifique.
Quest˜ao 2 [ 2,0 pt ]
(a) Usando o fato de que x^4 = (x^4 + 1) − 1, mostre que x^2014 = ((x^4 + 1) − 1)^503 · x^2 = [(x^4 + 1) · q(x) + (−1)^503 ] · x^2 para algum polinˆomio q(x). Conclua que o resto da divis˜ao de x^2014 por x^4 + 1 ´e −x^2. (b) Determine o resto da divis˜ao do polinˆomio p(x) = 2x^2014 + 15x^5 + 9x − 2014 pelo polinˆomio d(x) = x^4 + 1.
Sugest˜ao para o item (b): Use o fato que o resto da divis˜ao de p 1 (x) + p 2 (x) por d(x) ´e igual `a soma r 1 (x) + r 2 (x) dos restos r 1 (x) e r 2 (x) das divis˜oes de p 1 (x) e p 2 (x) por d(x), respectivamente.
Quest˜ao 3 [ 2,0 pt ]
Seja f : R+^ → R uma fun¸c˜ao crescente tal que f (xy) = f (x) + f (y) para quaisquer x, y ∈ R+. Mostre que existe a > 0 tal que f (x) = loga x para todo x ∈ R+.
Quest˜ao 4 [ 2,0 pt ]
Observa¸c˜oes por longo tempo mostram que, ap´os per´ıodos de mesma dura¸c˜ao, a popula¸c˜ao de uma cidade fica multiplicada pelo mesmo fator. Sabendo-se que a popula¸c˜ao de uma cidade era de 750 mil habitantes em 1990 e 1 milh˜ao de habitantes em 2010, calcule:
(a) A popula¸c˜ao estimada para 2020; (b) Em que ano a popula¸c˜ao da cidade alcan¸car´a a marca de 2 milh˜oes de habitantes?
Observa¸c˜ao: Caso julgue necess´ario, use as igualdades aproximadas a seguir: ln 4 = 1, 386, ln 3 = 1, 098, e^0 ,^144 = 1 , 154
Quest˜ao 5 [ 2,0 pt ]
Resolva a equa¸c˜ao arctg
( (^) 1 + x 2
( (^1) − x 2
= π 4.
MA11 — N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – Prova 3 – 2011
Quest˜ao 1.
(1,0) (a) Prove isto: Se um n´umero natural n˜ao ´e o quadrado de um outro n´umero natural, sua raiz quadrada ´e irracional.
(1,0) (b) Mostre que
5 ´e irracional.
Quest˜ao 2. (2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a ´agua no fundo do po¸co decorreram S segundos. Calcular a profundidade do po¸co. Dar a resposta em fun¸c˜ao da acelera¸c˜ao g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a f´ormula s = g 2 t^2 do espa¸co percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
Quest˜ao 3. (2,0) Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distˆancia d = AB em dire¸c˜ao `a base inacess´ıvel de um poste CD, nota-se (com o aux´ılio de um teodolito) que os ˆangulos C ADˆ e C BDˆ medem, respectivamente, α e β radianos. Qual ´e a altura do poste CD?
A B C
D
α (^) d β
MA11 — N´umeros, conjuntos e fun¸c˜oes elementares – Prova 3 – 2011
Quest˜ao 4.
(2,0) Um reservat´orio cont´em uma mistura de ´agua com sal (uma salmoura), que se mant´em homogˆenea gra¸cas a um misturador. Num certo momento, s˜ao abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja ´agua no reservat´orio e a outra escoa. Ap´os 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecer´a na salmoura ap´os 24h de abertura das torneiras?
Quest˜ao 5. Considere a fun¸c˜ao f : [1, +∞) → R, definida por f (x) = x^3 − x^2.
(1,0) (a) Defina fun¸c˜ao crescente e prove que f ´e crescente.
(1,0) (b) Defina fun¸c˜ao ilimitada e prove que f ´e ilimitada.
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MA11 – Números e Funções Reais
Avaliação 3
06 de julho de 2013
- (1,5 pontos) Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente e em detalhes as suas respostas.
(a) (0,5 ponto) Se f : R → R e g : R → R são funções monótonas crescentes, então a função soma f + g : R → R, definida por (f + g)(x) = f (x) + g(x) é monótona crescente. (b) (0,5 ponto) Se f : R → R é uma função limitada superiormente, então f admite um ponto de máximo absoluto. (c) (0,5 ponto) Se f : R → R admite um ponto de máximo local, então f admite um ponto de máximo absoluto.
- (2,0 pontos) Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração decimal, é possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base β ∈ N, β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele é escrito na forma: a = a 0 +
∑^ +∞
k=
ak β−k
em que a 0 ∈ Z e os ak são dígitos entre 0 e β − 1 (incluindo-os).
(a) (1,0 ponto) Mostre que, se um número x ∈ R é irracional, então x possui represen- tação infinita em toda base β. (b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x ∈ R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.
- (2,0 pontos) Considere a função p 1 : R → R, p 1 (x) = (x^2 − 1)^2. A figura abaixo mostra o gráfico de uma função p 2 : R → R na forma p 2 (x) = c p 1 (a x − b) + d, sendo a, b, c e d constantes reais. Determine a, b, c e d. Justifique sua resposta.
4. (2,0 pontos) Considere as funções u, v : R → R, definidas por u(x) = 2 sen (x)^ e v(x) =
sen (2x).
(a) (1,0 ponto) Determine o maior e menor valores atingidos por u e v.
(b) (1,0 ponto) Esboce os gráficos de u e de v.
5. (2,5 pontos) Considere a função g : R∗^ → R, g(x) = 2^1 −^
(^1) x
(a) (1,0 ponto) Faça um esboço o gráfico de g.
(b) (0,75 ponto) Determine todas as soluções reais das equações g(x) = 2 e g(x) = 4.
(c) (0,75 ponto) Resolva a inequação g(x) < 4 , para x ∈ R.
