Quantificadores, Predicados e Validade: Análise de Sentenças Logicas, Notas de estudo de Análise de Sistemas de Engenharia

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Quantificadores, Predicados

e Validade

Matemática Computacional Prof. Aristóteles Meneses Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Quantificadores, Predicados e Validade

• (^) Quantificadores : são frases do tipo “para

todo”, ou “para cada”, ou “para algum”,

isso é, frases que dizem quantos objetos,

em algum sentido, tem uma determinada

propriedade. O quantificador universal

é simbolizado por ∀ , e se lê ”para todo”,

“para qualquer” ou “para cada”.

• (^) Predicados: é a propriedade de uma

determinada sentença. A notação é P (x).

• (^) O Valor lógico dessa expressão depende do domínio dos objetos sobre os quais estamos nos referindo, isso é, a coleção de objetos dentre os quais x pode ser escolhido. Essa coleção se chama domínio de interpretação, ou conjunto universo.
• (^) Exemplo 1:
• (^) Se o conjunto universo consiste em todos os livros em sua biblioteca municipal.
• (^) Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.
• (^) Logo ( ∀ x )(Px) diz que:” todos os livros em sua biblioteca municipal têm capa vermelha”.
• (^) É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa interpretação, deve ser falso.

• (^) Exemplos 2:
• (^) Qual o valor lógico da expressão (∀ x )( Px ) nas duas interpretações:
• (^) A)( Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todos os botões de ouro. (verdadeira)
• (^) B) (Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. (falsa)

• (^) Os predicados que vimos envolvem

propriedades de uma única variável, são

os predicados unários. Mas eles podem

ser binários, se envolvem duas variáveis ,

ternários, envolvendo propriedades de três

variáveis e assim por diante.

• (^) Exemplo: Na expressão: (∀ x) (∃ y) Q(x,y)

que é lida como “para todo x existe um y tal

que Q(x,y)”, há dois predicados para as

duas variáveis da propriedade binária.

ATENÇÂO: a ordem dos quantificadores é

muito importante, ela altera a interpretação.

• (^) O QUE É NECESSÁRIO PARA UMA INTERPRETAÇÃO:
• (^) 1º) Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo, que precisa incluir pelo menos um objeto.
• (^) 2º) A especificação de uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado na expressão.
• (^) 3º) A atribuição de um objeto particular no conjunto universo para cada símbolo constante na expressão.

• (^) Exemplo 5:
• (^) Na fbf (∀ x )(∃ y )[ S ( x , y ) ∧ L ( y , a )]
• (^) Considere a interpretação onde o conjunto universo consiste em todas as cidades do Brasil,
• (^) S(x,y) é a propriedade “x e y estão no mesmo estado”
• (^) L(y,z) é a propriedade “o nome da cidade y começa com a mesma letra que a cidade z”e é atribuído o valor Alfenas a a.
• (^) Logo a interpretação da fbf inteira é que “para qualquer cidade x existe uma cidade no mesmo estado que começa com a letra A ”. Com essa interpretação, a fbf é verdadeira.

TRADUÇÃO

• (^) Muitas declarações em português podem ser expressas como fbfs predicadas.
• (^) Exemplo:
• (^) “Todo papagaio é feio”
• (^) Significa, de fato, que “ Dada uma coisa, se é um papagaio, então é feio ”.
• (^) Denotando por P(x) a frase “x é um papagaio” e por F(x) “x é feio”, a proposição pode ser simbolizada como:
• (^) ( ∀ x) [P(x) → F(x)]
• (^) A fbf ( ∀ x) [P(x) ∧ F(x)] seria uma tradução incorreta, pois diz que “Dado x, x é papagaio e é feio”.

Observe as três sentenças abaixo: Elas podem ser reescritas como: João ama apenas Maria Se João ama alguma coisa, então essa coisa é Maria. Apenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria, então essa coisa é João. João apenas ama Maria Se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor. Dados: A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y” Observe a tabela abaixo:

Declaração em Português Proposição intermediária Fbf

1. Todos os cachorros perseguem todos os coelhos. Dada uma coisa qualquer, se for um cachorro, então, para qualquer outra coisa, se essa outra coisa for um coelho, então o cachorro vai persegui-lo. (∀ x )[ A ( x ) → (∀ y) (B( y ) → C ( x , y ))
2. Alguns cachorros perseguem todos os coelhos. Existe uma coisa que é um cachorro e, para qualquer outra coisa, se essa coisa é um coelho, então o cachorro o persegue. (∃ x )[ A ( x ) ∧ (∀ y) (B( y ) → C ( x , y ))]
3. Apenas cachorros perseguem coelhos Para qualquer coisa, se é um coelho, então, se alguma coisa o persegue, essa coisa é um cachorro. (∀ y)[ B ( y ) → (∀ x) (C( x , y ) → A ( x )) A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y”

Exemplos: Vamos agora tentar determinar a validade:

• (^) 1. (∀ x ) P ( x ) →(∃ x ) P ( x ) (é válida)

Se todo elemento do conjunto universo

tem uma determinada propriedade, então

existe um elemento do conjunto que

tem essa propriedade. Logo sempre

que o antecedente for verdadeiro o

consequente também o é, o condicional é

verdadeiro.

• (^) 2. (∀ x ) P ( x ) → P ( a ) (é válida)

Como todo elemento do conjunto universo tem uma determinada propriedade, e a é um elemento particular do conjunto universo, portanto ele tem a propriedade que todos os elementos têm.

• (^) 3. (∀ x )[ P ( x ) ∧ Q ( x )] ↔(∀ x ) P ( x ) ∧(∀ x ) Q ( x )( é válida) Se P e Q forem verdadeiras para todos os elementos do domínio, então P é verdadeira para todos os elementos e Q é verdadeira para todos os elementos, e vice-versa. ( ↔ ; V V = V ou F F = V)
• (^) 4. (∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) P ( x ) (não é válida) Por exemplo, como a interpretação onde o domínio é o conjunto dos inteiros e P(x) significa que x é par, é verdade que existe um inteiro par, mas é falso que todos os inteiros são pares. O antecedente do condicional é verdadeiro e o conseqüente é falso. Logo o condicional é falso. ( → ; V F = F )