Questão Alternativa
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Questão
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Questões e Respostas sobre Vetores e Espaços Vectoriais, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Documento contendo questões e respostas sobre temas relacionados a vetores e espaços vectoriais em tridimensão, incluindo teoremas sobre bases, ortogonalidade, projeções e dependência linear.
Tipologia: Exercícios
2021
1 / 7
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Questão Alternativa
1 c 2 c 3 e 4 a 5 d 6 a 7 d 8 b 9 b 10 d 11 c 12 d 13 e 14 a 15 b 16 e
Questão http://itamaraty.ime.usp.br/mat/2457/Gabaritos/P1/Gabarito-P1-1-2010... 1 de 1 11/02/2011 19:
Q1. Sejam ~u, ~v, ~w, ~p, ~q ∈ V 3 vetores n˜ao nulos, com ~u 6 = ~v. Pode-se afirmar que:
(a) se w~ ´e ortogonal a ~u e a ~v ent˜ao {~u, ~v, ~w} ´e uma base positiva; (b) proj~u p~ = proj~v ~q se e somente se ~p = ~q; (c) {~u, ~v, ~u ∧ ~v} ´e linearmente dependente se e somente se {~u, ~v} ´e linear- mente dependente; (d) ~u · ~v = 0 se e somente se {~u, ~v} ´e linearmente independente; (e) os vetores ~u + ~v e ~u − ~v s˜ao ortogonais.
Q2. Sejam OABC um tetraedro e X o ponto tal que
AX = 2
XC.
ccc c c c cc
aaaa aa s aa A
B
C
O
X
As coordenadas do vetor − BX−→ na base
OA, − OB,−→ − OC−→
s˜ao:
(a)
(b)
(c)
3 ,^ −^1 ,^
2 3
(d)
3 ,^
1 3 ,^ −^1
(e)
Q3. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 e considere os vetores ~u = (1, 0 , −1)E , ~v = (− 1 , 2 , 1)E e w~ = −~u ∧ ~v. Seja ~t a proje¸c˜ao ortogonal de ~v sobre ~u. Pode-se afirmar que:
(a) {~u, ~v, ~w} ´e uma base positiva de V 3 ; (b) ~t · w~ 6 = 0; (c) ~u ∧ w~ = −~v; (d) a soma das coordenadas na base E do vetor ~t ´e igual a 2; (e) {~t, 2 ~v, ~w} ´e uma base positiva de V 3.
Q7. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 e sejam A, B, C pontos tais que: (^) −−→ AB = (1, 0 , 1)E ,
AC = (α, β, 0)E , com α, β ∈ R. Se o comprimento da altura, relativa `a base AB, do para- lelogramo determinado pelos vetores − AB−→ e − AC→ ´e igual a 1, pode-se afirmar que:
(a) α^2 + (β^2 − 1) = 0; (b) α^2 − (β^2 − 1) = 0; (c) α^2 − 2(β^2 − 1) = 0; (d) α^2 + 2(β^2 − 1) = 0; (e) α^2 + 2(β^2 + 1) = 0.
Q8. Considere o cubo ABCDEF GH de aresta unit´aria ilustrado na figura abaixo:
A B
E F
C D
G H
Considere o espa¸co V 3 orientado de modo que a base
AB, − F H,−→ − BF−→
seja positiva. Pode-se afirmar que:
(a)
GH ∧
GE =
DH;
(b) − AB−→ ∧ − F H−→ = − AE→; (c) − CD−→ ∧ − DB−→ = − CG−→; (d) − HF−→ ∧ − F B−→ = − BA−→; (e)
AB ∧
F H =
EA.
Q9. Seja E uma base ortonormal de V 3 e seja F = {~u, ~v, ~w} a base de V 3 tal que ~u = (1, 0 , 0)E , ~v = (1, 1 , 0)E e w~ = (1, 1 , 1)E. Dados α, β, γ ∈ R, sabendo-se que os vetores (α, β, γ)F e (2, − 1 , −1)F s˜ao ortogonais, pode-se afirmar que:
(a) 3β + 2γ = 0; (b) 2β + 3γ = 0; (c) 2β − 3 γ = 0; (d) 3β − 2 γ = 0; (e) 2α − β − γ = 0.
Q10. Considere o cubo ABCDEF GH de aresta unit´aria ilustrado na figura abaixo e o espa¸co V 3 orientado de modo que a base
AB, − AF ,→ − AG→
seja positiva.
A B
D C
E F
G H
Pode-se afirmar que o vetor
AF ∧
AH ´e igual a: (a) (1, − 1 , 0)E , onde E =
AB, − AD,−→ − EA→
(b) (− 1 , 1 , 0)E , onde E =
AB,
AE,
AD
(c) (0, 1 , −1)E , onde E =
AD,
AE,
BA
(d) (1, − 1 , 0)E , onde E =
AB, − AE,→ − AD−→
(e) (− 1 , 1 , 0)E , onde E =
AB, − AD,−→ − EA→
Q14. Sejam E = {~e 1 , ~e 2 , ~e 3 } uma base ortonormal positiva de V 3 e: F = {~e 1 + 2~e 2 + α~e 3 , ~e 1 − α~e 2 , 3 ~e 1 ∧ 2 ~e 2 }, com α ∈ R. Pode-se afirmar que: (a) se α < −2 ent˜ao F ´e uma base positiva de V 3 ; (b) F ´e uma base negativa de V 3 , para todo α ∈ R; (c) F ´e uma base positiva de V 3 , para todo α ∈ R; (d) se α < −2 ent˜ao F ´e uma base negativa de V 3 ; (e) se α < 2 ent˜ao F ´e uma base positiva de V 3. Q15. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores: m ~ = (3, 1 , 0)E , ~n = (0, 0 , 1)E , ~p = (2, 0 , 0)E. Suponha que um vetor ~v ∈ V 3 tem norma igual a
3 e que ~v ´e uma combi- na¸c˜ao linear dos vetores m~ e ~n. Se a medida do ˆangulo entre ~v e ~p ´e π 6 e a medida do ˆangulo entre ~v e ~n ´e θ, π 2 < θ < π, pode-se afirmar que o vetor ~v ´e:
(a) paralelo e de mesmo sentido que ~s = (3, 1 ,
2)E ;
(b) paralelo e de mesmo sentido que ~r =
2 ,^
1 6 ,^ −
√ 2 6
E ;
(c) paralelo e de sentido contr´ario a ~r =
2 ,^
1 6 ,^ −
√ 2 6
E ;
(d) paralelo e de sentido contr´ario a ~s = (3, 1 ,
2)E ;
(e) paralelo e de mesmo sentido que ~t =
2 ,^
1 3 ,^ −
√ 2 6
E.
Q16. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores: ~u = (1, 0 , 1)E , ~v = (1, 1 , 0)E , w~ = (x, y, z)E , com x, y, z ∈ R. Suponha que o vetor w~ tem norma igual a
8, que o ˆangulo entre ~v e w~ mede π 3 e que {~u, ~v, ~w} ´e linearmente dependente. Pode- se afirmar que x + y + z ´e igual a: (a) 0 ou −4; (b) −4 ou 4; (c) 0 ou −2; (d) 0 ou 2; (e) 0 ou 4.