Problemas de Álgebra Linear em Espaços Vectoriais, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Q1. Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, S 1 e S 2 subespa¸cos de V e B 1 e B 2 bases de S 1 e S 2 , respectivamente. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) o conjunto

v 1 + v 2 : v 1 ∈ B 1 , v 2 ∈ B 2

´e uma base de S 1 + S 2 ; (II) existe uma base de S 1 ∩ S 2 que cont´em o conjunto B 1 ∩ B 2 ; (III) existe uma base de V que cont´em o conjunto B 1 ∪ B 2. Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (b) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira; (d) nenhuma das afirma¸c˜oes ´e necessariamente verdadeira; (e) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira.

Q2. Seja F(R, R) o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes f : R → R e seja W o subespa¸co de F(R, R) definido por

W = [f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ], em que

f 1 (t) = t, f 2 (t) = t cos(2t), f 3 (t) = t cos^2 t e f 4 (t) = t

2 + cos(2t)

para todo t ∈ R. Uma base para W ´e:

(a) {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 }; (b) {f 1 , f 2 , f 3 }; (c) {f 4 }; (d) {f 1 , f 2 }; (e) {f 1 , f 2 , f 4 }.

Q3. Considere os subespa¸cos S 1 e S 2 de M 3 (R) definidos por

S 1 =

A − At^ : A ∈ M 3 (R)

e S 2 =

A ∈ M 3 (R) : tr(A) = 0

em que At^ denota a transposta da matriz A e tr(A) denota a soma dos elementos na diagonal principal de A. Temos que a dimens˜ao de S 1 ∩ S 2 ´e igual a:

(a) 3; (b) 4; (c) 2; (d) 1; (e) 0.

Q7. Considere os subespa¸cos S 1 e S 2 de P 4 (R) definidos por:

S 1 = [t^2 − t, t − 1] e S 2 =

p ∈ P 4 (R) : p(1) = p(−1) = 0

Assinale a alternativa correta:

(a) S 1 = P 2 (R); (b) S 1 + S 2 = P 4 (R); (c) se p ∈ S 1 ∩ S 2 n˜ao for o polinˆomio nulo, ent˜ao p ter´a grau igual a 2; (d) P 1 (R) ´e um subespa¸co de S 1 ∩ S 2 ; (e) S 1 est´a contido em S 2.

Q8. Considere os subespa¸cos S 1 e S 2 de P 3 (R) definidos por:

S 1 =

p ∈ P 3 (R) : p(1) + p(−1) = 0

e S 2 =

p ∈ P 3 (R) : p′(1) + p′(−1) = 0

Temos que a dimens˜ao de S 1 ∩ S 2 ´e igual a:

(a) 4; (b) 0; (c) 2; (d) 3; (e) 1.

Q9. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e maior ou igual a 4 e seja A = {u 1 , u 2 , u 3 } um subconjunto de V com trˆes elementos. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se v, w ∈ V forem tais que A ∪ {v, w} gera V , ent˜ao v e w ser˜ao ambos n˜ao nulos; (II) se v, w ∈ V forem tais que A ∪ {v, w} gera V , ent˜ao v e w ser˜ao linearmente independentes; (III) se A for linearmente independente e W for um subespa¸co de V de dimens˜ao 2 tal que V = [u 1 , u 2 , u 3 ] + W , ent˜ao [u 1 , u 2 , u 3 ] ∩ W ter´a dimens˜ao maior ou igual a 1. Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao necessariamente verdadeiras; (b) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira; (d) nenhuma das afirma¸c˜oes ´e necessariamente verdadeira; (e) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e necessariamente verdadeira.

Q10. Assinale a alternativa em que o conjunto S ´e um subespa¸co do espa¸co vetorial V : (a) S =

f ∈ F(R, R) : f (t) ≥ 0, para todo t ∈ R

e V = F(R, R) ´e o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes f : R → R; (b) S =

{( (^) a b c d

∈ M 2 (R) : ad = 0

e V = M 2 (R); (c) S =

(x, y, z) ∈ R^3 : x − 2 y + z = 3

e V = R^3 ; (d) S =

A ∈ M 3 (R) : At^ = 2A

e V = M 3 (R), em que At^ denota a transposta da matriz A; (e) S =

p ∈ P 4 (R) : p(1) = 1

e V = P 4 (R). Q11. Considere a matriz A =

e seja S o subespa¸co de M 2 (R) definido por: S =

B ∈ M 2 (R) : BA = AB

Temos que a dimens˜ao de S ´e igual a: (a) 2; (b) 3; (c) 4; (d) 1; (e) 0. Q12. Considere o conjunto V =

(x, y) ∈ R^2 : x > 0 e y > 0

munido das opera¸c˜oes de soma ⊕ e multiplica¸c˜ao por escalar definidas por (x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 , y 1 y 2 ), λ (x, y) = (xλ, yλ), para todos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x, y) ∈ V e todo λ ∈ R. Temos que o conjunto V , munido dessas opera¸c˜oes, ´e um espa¸co vetorial e que o conjunto W =

(x, y) ∈ V : y = 3

x

´e um subespa¸co de V. Assinale a alternativa correspondente a uma base do espa¸co vetorial W : (a) {(1, 1)}; (b) {(8, 2)}; (c) {(8, 2), (27, 3)}; (d) {(1, 1), (27, 3)}; (e) {(1, 1), (8, 2)}.

Q16. Sejam a, b, c ∈ R. Temos que os vetores

(1, 1 , 1), (a, b, c) e (a^2 , b^2 , c^2 ) geram R^3 se, e somente se:

(a) a > 0, b > 0 e c < 0; (b) a 6 = b, b 6 = c e a 6 = c; (c) a = b e b 6 = c; (d) a 6 = b e b = c; (e) a = b = c.