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©AT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA l
2' Prova - 16/05/2018 - 1e semestre de 2018
t''l ' (^) %-''''',
Ü
B
}
q
-f
-tenção: Nesta prova consideram-sedados uma orientação de V3 e
m sistemade coordenadasS = (Oie) em E;, onde € é uma base
rtonormal positiva de 'Vs. Salvo mençãoem contrário, equaçõesde
!tas, planos e coordenadas de pontos estão escritas no sistema S e
)ordenadas de vetores estão escritas na basee.
®
'hz
(0,0, f)
(2,3,0 l l,
o 2 é, l
;Í {/:'-,:,+'.
;l3,-2,o).l ã. '7.1&
-«-J »z 't. (D
2 3 f
s.e 'T : 3t -zlf t+
T' J 2 /
D /
questão 1. Sejam 6 e C duas basesde 'V3, e :a C V3.
-l,l, l)B e
Se E
a matriz de mudança de base, então temos:
a = (lO , 6 , 1)c ;
a = (-4, 4, -1)c ;
E' = (-3, 4, -1)c ;
a' 6, -1)c
a ,6, 1)c
!uestão 2. Clonsidere os planos ri : z = 0 e a-2 : 2z+ 33/ + z l
dual das seguintes equaçõesrepresenta um plano que é simultânea
lente ortogonal a n'i e a-2?
2 3 1
1 2 1
3 ]
1 3z -- 23/+ 7 = 0;
2z -- 3g/-- z + 1 :: 0;
1 3z + 3/+ 2z = 0;
l 2z + 3g/ 4z + 8 = 0;
l z+ 2y 3z-- 1 = 0.
@
-+ -+
C o
-) V :(-.,',a).
)
0
festão 3. Seja 23 = {=, a, ia} uma base ortonormal positiva de 'VS.
7 = (a,b,c)Bé soluçãoda equação(7 A Z) A (7' A 7) = 36a,
bãoa soma lal + lól + lcl é igual a:
b1., (.,., 36, :@ , i?) ,n(?,o?)
12;
6;
4;
$t3«.t l"l's. q'u" bc =a
C 2-; ;G'
c=t''
l ül+ ibf.f lcl ; é
festão 4. Seja Q
ação ao plano
(a,b,c) o pontosimétricode P = (1, 1,0) em
© (^) Z
4
z '
9nd P': t''np
=0 4):9 X^ 1+ y.+ 32 - 3 =o :7:(1.1. 3,1.1 %'
y-À+P z = 1 -- À
'n^ Lobo^
X= .f.} À'% ,. cüR (^) .{x$:". «
Dü', R''«
#'"
.« ,GJ*.F.) P': (I'Â,-1",3À)
({tA)+ (-r+a)t3(3Â)-3 a «
,«',; ««, p':(-t,#,-#). .-
hão a + b + c é igual a:
@': (-#,-Ã,+)
5
$eqht- S{
K'w d t,,~,?..'l', p+^ 2.^ B;:^ (í.-l,.)+
I'95o, at b+c
10 3
h
-P V
1.2,/)
f'",'
(
V
Ü
V ,z? 6
G
festão 7. Considere o vetor ?' = (1, 3, 2) e o plano r r+23/+z^. Se 7' (^) = + B com 8/7n-,B J. n e 7 (a, P,'), e«tãoa + P + 7 é
lal a: {( .,:,,):
2 17 12
.8 :(a,7)j^ P^ .&
.-+ t'4 w )
.b (^) b [
/ ]
D\ l T
Z
\ -'> V /
C
festão 8. Se 23 = {=, B, ii7} é base de 'V3, sabemos que C = {4(a+
, 4(a+a), {(a+E)} também é base de 'V;. Se 7 =(a,b,c)B, então L'l'^
o(+ Y'
« ; ed:b * ..Ê
:orreto afirmar que: Z Ú
C
Z (a b, b c,c «)c;
X a .t&-c.
Z a + b + c, a b + c)c
/ ê: - at&t c.. { J.:a
-a.tl,t c , a -É''''') E.
6 tc
c, ? (^) (a+ b.-c/ Z (^) (2a + b c, (^) a + 2b + c, a b + 2c)c
Z (^) (a + 2b c, (^) .a + 2b + c, a 2Z,+ c)c;
Z (^) (a+ b,b+ c,c + a)C
© ,4:(i,^ o, r) c. 4.
B ; (o,.,z) € s
s ; l {.
,. 'R: (.-+...)lla
.. =: Çz....) IÍ:. '
ã?: 1 l; ,.,-
. lr1',?,,8171/-2/
n-. .- /r 7.As'lf 'VÍ
('-f,/,,J.
uestão 9. A distânciada regar (1,0, 1) + À(-1, 1,0) à reta
é igual a: (^). Ã,{?, JÜ 2
@'
® x .4# QA.«;l)
L''s., #:.](x D9;
X : (1+2,x, l, /tÂ,l
1(1yÀ,l q*(l.FÀ) -
4H l S,À-Z.l=1 « 3 Â-
3 À-Z; -/
r
questão
x -
-- 3/+ z
10. Se P (a,Z,,c) e P' b',c') são os pontos da reta
(1,1, 1) + À(2,0, 1), À C R, que distam --R do plano n-
-- 3 = 0, então a + b + c + a' + b' + cr é igual a:
P; (3,1. 2.) (s. À=1)
P': (}-,1,.{) (" (À
a..tbíc +a)+àhc): 6 t
{
3
® (^) (!) ['a,?,;l:
,-9 -) -+ d h. W - 'w 0 Z-.9., { a,?,w'J L.D ?,?J c.l. S'5«. p«], #.,.eG«,P.Ê,l
uestão 13. Sejam 7, 7, a € W'3vetores não-nulos. Considere as
:guintes afirmações a respeito dessestrês vetores:
-+ q
u4 v
-9 -+
K i?A i? 't F. ?A qu
(1)SeB A? - JA a- a,\ Z # Õ,.«tãoT + B + a 0;^ 't^ -.,^ -9^ -+. -^
d ?,4 7 .. P?,
H) Seja,'a, al =ll^ ll?ll^ llall,^ então^ =,^ B,^ a^ são^ mutuamente
ortogonais;
R' « d«u « #t,
--+ (^) ' a?^2 ,''k C
n) TemosIZ+? , B+a , a+ZI - 0se,esome«tese,IZ , 7', al 0
@) tt? it^. ll ?il. ll ©ll.^ [Un,7,;.]^ '^11 1/.1J7#..t«e^
ltQll.ü, q'.
o -n'b Ü {. ;«9", -D
-) ; ,.' o â«5«'e'
ntão podemosafirmar que: (^) .e « 'E.k
só (11) e (111)são verdadeiras;
[o9.p, seno. c.H CP=l '«-',^ .,.^ '&,*JG^
sp«o .»oJ (^) /
as três são verdadeiras;
só (111)é verdadeira; s€9".p^
/ { mq' :]
$tq'0a!
'-+ V só (1) e (111) são verdadeiras;
só (1) e (11) são verdadeiras.
cm q'àJ
= J? * G J? ? 0
questão 14. Sabendo-seque .4BCZ) é um tetraedro de volume 36 .e
}e os pontos M, ]V c ]E3 são tais que 3BJÜ = BZ) e 4nN = -OC',
)de-se conc]uir que o volume do tetraedro .4B]WAr é igual a:
© (^) [LÊ ;'- wn,wHu4J: ['Ê ?.twH, wH-.-'3J+'L ,v'-w, u''".J.'
®
&:-éã--.+ã
-à (-õ .-ã) (^) r7, 7, ; +i] -' [l, ;, ;-.'iJ -F Z]'F,wq,a. ;J : [7, 7, WdJt 6 ;
2 ; + [i,wq,71, Z'Í]a',',
w'
,AW
- -+ 4.p b 3 ; (^) .Í a -':f# D {'}
12
c... ,C'M,A+u, ãJ: [:'ã, é.-3*{ ã,{ ã.'- -; B)
=. [ ,G,&,.8]
"1' VA,..,^ [t.ã,ã,'GJf: .â.3.]cã,;,ÚJf:'Ê %,..:#:{71,
@
A
X À
,';léÉ
Z (^) 'zP
y
f 2)^ /^5
9 5t.»
festão 15. Sejam € 1Rtal queasretas
Z
(^2) P
Z -- .Z := 77'} Z (^) p:(Â,-Í-2,à,-«.tÂ,l:(-2p, 5'rP,P) e S 2
y 5
l)4 ''""b $'"-
A't 2P 2.â 'tP
) concorrentes. Sabendo-.se que P (a, Z,,c) é a interseção entre elas, .M
Z
À-F.2P
-sP
:orretoafirmarquea + b c é igual a: (^) a+P-; "'z
1; g (^) P g^ P^ (-'f,+,^ '; 13;
4; al.b-^ c
@
:9 (^) q
..# -+ ul ''l 'z ;:?
festão 16. Considere as seguintes afirmações: (^) < ,; : !!$.a
.l) Se 25= {ih, iB, {i;} é base de V3 e 7'
.«';. .:. gaio; [©,G,G]
a:©+a,B+a;G c v;, r;.;&^ ,$1? IQÍ).' Ua.{
b) 'iA?..Z*:^ [i?,?,w+J:^
[ 7,G.i]^ 7,(^
Ü U',l w'
[l) Se=, ?, a c 'V;, então= A 7 a U^ 7'Aa;^ (a)-' «,,d
[l) Se =, B, a C v;, e«tão (= A B') A a E'A(B'A m+)
single a alternativa correta
(® $1à {a,,ê,,$3^ '.«'...^
u'l (^) M«..",!
P-,Ü'«. .ü kj.
as três são verdadeiras;
só (1) e (11) são verdadeiras;
só (11)e (111)são verdadeiras;
< «({ i«;
só (1) e (111)são verdadeiras;
só (11)é verdadeira.
t«9', l.® .' -F&'-
