Questões sobre espaço vetorial e funções , Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Questão Alternativa

1 E

2 C

3 B

4 E

5 B

6 B

7 E

8 E

9 D

10 E

11 B

12 E

13 B

14 E

15 B

16 A

Nesta prova, se

V

´e um espa¸

co vetorial, o vetor nulo de

V

ser´

a denotado

por 0

V^

. Se

u

,... , u 1

n^

forem vetores de

V

, o subespa¸

co vetorial de

V

gerado

por

u^1

,... , u

}n ser´

a denotado por [

u^1

,... , u

].n

Q1.

Considere os seguintes subespa¸

cos vetoriais de

M

R

S^

A

M

R

A

A

t}

e^

T^

A

M

R

) : tr(

A

onde

A

t^ denota a matriz transposta de

A

e tr(

A

) denota o tra¸

co de

A

, isto

´e, a soma dos elementos na diagonal principal de

A

. Ent˜

ao, a dimens˜

ao de

S^

T

´e igual a

(a) 3.(b) 7.(c) 6.(d) 4.(e) 5. Q2.

O conjunto

V

(x, y

x, y

R

}^

´e um espa¸

co vetorial quando munido

das opera¸

c˜oes de soma

e de multiplica¸

c˜ao por escalar

definidas por

(x

, y 1

(x

, y 2

x^1

x

, y

y

e

α^

(x, y

αx

α

, αy

α

para todos (

x^1

, y

,^ (

x^2

, y

,^ (

x, y

)^

∈^

V^

e^

α^

∈^

R

Assinale a alternativa que cont´

em uma base desse espa¸

co vetorial.

(a)

,^ 1)

,^ (

,^ 2)

(b)

,^ 0)

,^ (

,^ 1)

(c)

,^ 0)

,^ (

,^ 0)

(d)

,^ 2)

,^ (

,^ 3)

(e)

,^ 3)

,^ (

,^ 5)

Q5.

Sejam

α, β

R

e considere o subconjunto

S

f^ (

x)

, g

(x

), h

(x

do

espa¸

co vetorial da fun¸

c˜oes reais definidas em

R

, onde

f^ (

x) = sen(

x) +

α

cos(

x) + 2

β^

sen(

x)

g(

x) = sen(

x) +

β

cos(

x) +

α

sen(

x)

e

h(

x) = sen(

x) + cos(

x) + 2

β^

sen(

x)

Ent˜

ao, o conjunto

S

´e linearmente independente se, e somente se,

(a)

β

e

α^

β

(b)

α

e

α

β.

(c)

α

β

e^

α^

β.

(d)

α

e

α

β

(e)

β

e

α

β.

Q6.

Considere os seguintes vetores de

R

v^1

,^2

,^1

,^2

,^ 1)

,^

v^2

,^2

,^2

,^2

,^ 1)

,^

v^3

,^2

,^3

,^2

,^ −

Assinale a alternativa que cont´

em vetores

v

4

e^

v^5

de modo que o conjunto

{v

, v 1

, v 2

, v 3

, v 4

seja uma base de

R

(a)

v

4

,^0

,^1

,^0

,^ 0)

e

v

5

,^1

,^0

,^1

,^ 1).

(b)

v

4

,^1

,^1

,^1

,^ 1)

e

v

5

,^0

,^0

,^1

,^ 1).

(c)

v

4

,^0

,^0

,^1

,^ 1)

e

v

5

,^0

,^0

,^0

,^ 1).

(d)

v

4

,^0

,^1

,^0

,^ 1)

e

v

5

,^0

,^0

,^1

,^ 0).

(e)

v

4

,^0

,^0

,^0

,^ 0)

e

v

5

,^0

,^1

,^0

,^ −

Q7.

Seja

S

o subconjunto do espa¸

co vetorial

M

R

) definido por

S^

A

M

R

A

A

Ent˜

ao, pode-se afirmar que (a)

S

´e um subespa¸

co vetorial de

M

R

) e dim(

S

(b)

S

n˜

ao ´

e um subespa¸

co vetorial de

M

R

(c)

S

´e um subespa¸

co vetorial de

M

R

) e dim(

S

(d)

S

´e um subespa¸

co vetorial de

M

R

) e dim(

S

(e)

S

´e um subespa¸

co vetorial de

M

R

) e dim(

S

Q8.

Considere os seguintes subespa¸

cos vetoriais de

M

2 ×

R

S^

a^

a^

d

b^

c^

) a

:^ a, b, c, d

R

e

T^

[(

)]

Ent˜

ao, pode-se garantir que (a) dim(

S^

T

(b) dim(

S^

T

(c) a interse¸

c˜ao

S

T

cont´

em apenas a matriz nula.

(d)

S

est´

a contido em

T

(e)

S

T

M

2 ×

R

Q11.

Seja

n

um inteiro tal que

n

10 e sejam

v

,... , v 1

n^

vetores n˜

ao nulos

em um espa¸

co vetorial. Considere as afirma¸

c˜oes abaixo.

(I) Se

v^1

,... , v

}n ´e linearmente dependente, ent˜

ao

v

1

´e uma com-

bina¸

c˜ao linear de

v

,... , v 2

.n

(II) Sejam

V

= [

v^1

,... , v

, v 5

] e 6

W

= [

v^5

, v

,... , v 6

]. Se dim(n

V^

W

ent˜

ao

v^5

, v

´e uma base de

V

W

(III) Se para todo inteiro

j

, com 1

j < n

, a interse¸

c˜ao [

v^1

,... , v

]j

[v

j+

,... , v

] cont´n

em apenas o vetor nulo, ent˜

ao

v^1

,... , v

}n ´e line-

armente independente.

Assinale a alternativa correta.(a) Apenas a afirma¸

c˜ao (II) ´

e necessariamente verdadeira.

(b) Apenas a afirma¸

c˜ao (III) ´

e necessariamente verdadeira.

(c) Apenas a afirma¸

c˜ao (I) ´

e necessariamente verdadeira.

(d) Apenas as afirma¸

c˜oes (I) e (II) s˜

ao necessariamente verdadeiras.

(e) Apenas as afirma¸

c˜oes (II) e (III) s˜

ao necessariamene verdadeiras.

Q12.

Seja

u, v, w

}^

uma base do espa¸

co vetorial

V

e sejam

α, β, γ, δ

R

Considere o seguinte subconjunto

C

u^

αv

w, u

βv

γw, u

βv

δw

de

V

. Ent˜

ao, pode-se afirmar que

(a)

C

´e uma base de

V

se, e somente se, (

α^

β

)γδ

(b)

C

´e uma base de

V

se, e somente se,

αβ

(γ

δ)

(c)

C

´e uma base de

V

se, e somente se,

αβγδ

(d)

C

nunca ser´

a uma base de

V

(e)

C

´e uma base de

V

se, e somente se, (

α^

β

γ^

δ

)^6 = 0.

Q13.

Considere o seguinte subespa¸

co vetorial de

P

R

V^

p(

x)

P

R

p

p

Ent˜

ao, uma base para um subespa¸

co vetorial

W

de

P

R

) tal que

P

R

V^

W

´e

(a)

(^3) x

x

(b)

2 x

(c)

(^3) x

x

(d)

(^2) x

x,

2 x

(e)

(^2) x

Q14.

Sejam

a, b

R

e considere os seguintes elementos do espa¸

co vetorial

P^3

(R

p^1

(x

x^

x

p^2

(x

x

x

x

p^3

(x

a

x

bx

(^3) x

Se

p

x)

[p

x)

, p

x)], ent˜

ao

a

b^

´e igual a

(a) 1.(b) 3.(c)

(d) 2.(e)