Baixe Problemas de álgebra linear e geometria espacial e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Q1. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores tais que ~v e w~ sejam ambos ortogonais a ~z,
‖~v‖ = 3, ‖ w~‖ = 4, ‖~z‖ = 5 e a medida do ˆangulo entre ~v e w~ seja igual a π 3. Temos que ‖~v + w~ − ~z ‖ ´e igual a:
(a)
(b) 4; (c) 5; (d)
(e)
Q2. Considere no espa¸co E^3 um trap´ezio ABCD, em que AB, BC, CD e AD s˜ao lados desse trap´ezio e os lados AD e BC s˜ao paralelos, como ilustrado na figura abaixo.
J
J
J
JJ r A D
B C
M
Seja M o ponto do segmento CD tal que ‖− CM−→ ‖ = 23 ‖− CD−→‖. Suponha que
‖
AD‖ = 6, ‖
AB‖ = ‖
CD‖ = 1
e que as medidas dos ˆangulos B AD̂ e C DÂ sejam iguais a π 3. Seja ~v um vetor n˜ao paralelo ao plano que cont´em o trap´ezio ABCD e considere a base
B =
AD,
AB, ~v
de V 3. As coordenadas do vetor
AM na base B s˜ao: (a)
18 ,^
2 3 ,^0
(b)
15 ,^
1 3 ,^0
(c)
6 ,^
1 3 ,^0
(d)
18 ,^
1 3 ,^0
(e)
18 ,^
2 3 ,^0
Q3. Seja B uma base de V 3 e considere os vetores:
~v 1 = (1, − 2 , 0)B, ~v 2 = (0, 3 , −1)B e ~v 3 = (3, − 3 , −1)B. Se β, γ ∈ R forem tais que
~v 1 + β~v 2 + γ~v 3 = ~ 0 , ent˜ao βγ ser´a igual a:
(a) − 19 ; (b) 19 ; (c) −1; (d) 13 ; (e) − 13.
Q4. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores tais que: ‖~v‖ = 3, ‖ w~‖ = 2 e ‖~z‖ = 1. Suponha que ~v e ~z sejam ortogonais, que a medida do ˆangulo entre ~v e w~ seja igual a π 3 e que a medida do ˆangulo entre w~ e ~z seja igual a π 4. Temos que a proje¸c˜ao ortogonal de ~v + 2 w~ + ~z sobre ~v ´e igual a:
(a) 43 ~v; (b) 4~v; (c) 2~v; (d) 53 ~v; (e) 119 ~v.
Q5. Seja a ∈ R e considere os vetores
~u 1 = (1, −a, −1)B, ~u 2 = (a, 1 , −1)B e ~u 3 = (1, 1 , 1)B, em que B ´e uma base de V 3. Pode-se afirmar que:
(a) {~u 1 , ~u 2 , ~u 3 } ´e uma base de V 3 se, e somente se, 1 ≤ a < 3; (b) {~u 1 , ~u 2 , ~u 3 } ´e uma base de V 3 se, e somente se, 3 ≤ a < 5; (c) {~u 1 , ~u 2 , ~u 3 } ´e uma base de V 3 se, e somente se, − 2 < a < −1; (d) {~u 1 , ~u 2 , ~u 3 } ´e uma base de V 3 se, e somente se, 5 ≤ a < 7; (e) {~u 1 , ~u 2 , ~u 3 } ´e uma base de V 3.
Q9. Seja A = {~v 1 , ~v 2 , ~v 3 , ~v 4 } um subconjunto de V 3 com quatro elementos e assuma que todo ~v ∈ V 3 possa ser escrito como combina¸c˜ao linear dos elementos de A. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) ~ 0 ∈ A; (II) o conjunto A possui um subconjunto com trˆes elementos que ´e uma base de V 3 ; (III) existe um vetor pertencente ao conjunto A que ´e combina¸c˜ao linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira; (b) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (c) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao necessariamente verdadeiras; (e) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira.
Q10. Sejam dados vetores ~v 1 , ~v 2 , ~v 3 ∈ V 3 e uma base B de V 3. Considere o sistema linear
A
x 1 x 2 x 3
b 1 b 2 b 3
nas inc´ognitas reais x 1 , x 2 e x 3 , em que A ´e a matriz 3 × 3 cujas colunas s˜ao [~v 1 ]B, [~v 2 ]B e [~v 3 ]B e b 1 , b 2 e b 3 s˜ao n´umeros reais dados. Considere tamb´em as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se os vetores ~v 1 , ~v 2 e ~v 3 forem linearmente independentes, ent˜ao esse sistema linear possuir´a solu¸c˜ao; (II) se os vetores ~v 1 , ~v 2 e ~v 3 forem linearmente independentes, ent˜ao esse sistema linear possuir´a solu¸c˜ao se, e somente se, b 1 = b 2 = b 3 = 0; (III) se os vetores ~v 1 , ~v 2 e ~v 3 forem linearmente dependentes, ent˜ao esse sistema linear possuir´a infinitas solu¸c˜oes. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira; (b) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e necessariamente verdadeira; (c) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras.
Q11. Sejam m e n inteiros positivos, A uma matriz real m × n e B uma matriz real m × 1. Considere o sistema linear AX = B, em que a matriz de inc´ognitas reais X ´e n × 1. Considere tamb´em as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se m = n e det(A) = 0, ent˜ao esse sistema possuir´a infinitas solu¸c˜oes; (II) se m = n e det(A) 6 = 0, ent˜ao a ´unica solu¸c˜ao desse sistema ser´a X = A−^1 B; (III) se m > n, B = 0 e uma linha de A for combina¸c˜ao linear das outras linhas de A, ent˜ao esse sistema possuir´a infinitas solu¸c˜oes. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira; (b) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira; (c) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao necessariamente verdadeiras; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras.
Q12. Sejam A e B matrizes reais 5 × 5 e suponha que: det(A) = 3 e det(B) = − 1.
Denote por At^ a transposta da matriz A. Temos que det(− 2 ABAt) ´e igual a:
(a) −18; (b) 6; (c) 288; (d) 18; (e) −288.
Q13. Seja a ∈ R e considere o sistema linear
x + ay + z = a, x + y + z = 1, x + y + az = a^2 nas inc´ognitas reais x, y e z. Temos que esse sistema possuir´a uma ´unica solu¸c˜ao se, e somente se:
(a) 0 < a < 1; (b) a = 0; (c) a 6 = 0; (d) a 6 = 1; (e) a = 1.
