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Conven¸c˜oes:
- A norma (ou comprimento) de um vetor ~u ser´a denotada por ‖~u‖.
- A proje¸c˜ao ortogonal do vetor ~u sobre o vetor ~v ser´a denotada por proj~v ~u.
- O produto misto dos vetores ~u, ~v, ~w, nesta ordem, ser´a denotado por [~u, ~v, ~w].
- Coordenadas est˜ao dadas em rela¸c˜ao a um sistema ortogonal de coor- denadas.
Q1. Sejam a, b, c ∈ R. Se ~v = (a, b, c) e w~ = (1, − 1 , 1) s˜ao vetores tais que proj (^) w~ ~v = w~, ent˜ao a − b + c ´e igual a
(a) − 1
(b) 3 (c) 0
(d) 1
(e) 2
Q2. Sejam α, β ∈ R. As retas de equa¸c˜ao { αx + y + z = 9 x − y + z = 2
e
x − 2 y + βz = β x + y + z = 1
s˜ao ortogonais se, e somente se,
(a) αβ − 2 α + β + 8 = 0 (b) αβ + 2α − β − 8 = 0
(c) αβ + 2α + β + 8 = 0
(d) αβ − 2 α − β + 8 = 0
(e) αβ − 2 α − β − 8 = 0
Q3. Assinale a alternativa contendo equa¸c˜oes de uma reta que passa pelo ponto de coordenadas (1, 2 , −1) e que ´e paralela `a reta de equa¸c˜ao { x − y − z − 1 = 0 x − 2 y − z + 2 = 0
(a)
x = 3 + 2t y = 2 (t ∈ R) z = − 4 − 3 t
(b)
x = 1 − 3 t y = 2 (t ∈ R) z = 2 − 3 t
(c)
x = 1 + 2t y = 2 (t ∈ R) z = −1 + 3t
(d)
x = 4 + t y = 2 (t ∈ R) z = 3 + t
(e)
x = 3 − 2 t y = 2 (t ∈ R) z = 1 − 2 t
Q6. O volume do tetraedro de v´ertices A = (1, 2 , −1), B = (2, 1 , 0), C = (0, 1 , 2) e D = (− 2 , 1 , −2) ´e igual a
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 3
(e) 12
Q7. Seja r a reta contida no plano π : 2x + y − z − 4 = 0, que passa pelos pontos (0, 5 , 1) e (1, 3 , 1). Assinale a alternativa que cont´em as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a r, contida em π, que passa por (1, 3 , 1).
(a) (− 1 , 1 , −5)
(b) (1, 2 , 0)
(c) (− 3 , 1 , −9)
(d) (− 4 , 0 , −12)
(e) (2, 3 , 3)
Q8. Sejam A, B, C e D pontos tais que
(i) ‖
AB‖ = 2, ‖
BC‖ = 2 e ‖
BD‖ = 1,
(ii) o ˆangulo entre
AB e
BC mede π/3 radianos, (iii)
AB e
AC s˜ao paralelos ao plano de equa¸c˜ao x − y + z = 0, e (iv) o vetor (1, − 1 , 1) faz um ˆangulo de π/3 radianos com
BD.
Ent˜ao, o volume do paralelep´ıpedo que tem os segmentos AB, AC e AD como arestas vale
(a)
(b) 3
(c) 1
(d)
(e) 1 / 2
Q9. Acerca do plano π de equa¸c˜ao x − 3 y − z = 1 e da reta r de equa¸c˜ao { x + y + z = 4 x + 3y + 2z = 2
pode-se afirmar que
(a) r n˜ao ´e paralela e nem perpendicular a π, e um vetor diretor de r faz um ˆangulo de 60 graus com um vetor normal a π.
(b) r est´a contida em π.
(c) r ´e perpendicular a π.
(d) r n˜ao ´e paralela e nem perpendicular a π, e um vetor diretor de r faz um ˆangulo de 45 graus com um vetor normal a π. (e) r ´e paralela a π, mas n˜ao est´a contida em π.
Q10. Considere o triˆangulo de v´ertices A = (1, 2 , 0), B = (2, 0 , −1) e C = (2, 1 , 2). Seja D o ponto de interse¸c˜ao da reta que passa por A e B com a altura do triˆangulo em rela¸c˜ao ao lado AB. Nessas condi¸c˜oes, a soma das coordenadas de D vale
(a) 2 / 3
(b) − 2 / 3
(c) 4 / 3
(d) 8 / 3
(e) − 4 / 3
Q13. Considere as seguintes afirma¸c˜oes a respeito de vetores ~u, ~v, ~w, ~t ∈ R^3 : (I) (~u ∧ ~v) · w >~ 0 implica w~ · (~v ∧ ~u) > 0 (II) ~u ∧ ~v = ~t e ~u ∧ w~ = 2~t implicam ( w~ − 4 ~v) ∧ ~u = − 2 ~t (III) ‖~u ∧ ~v‖ + ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ Assinale a alternativa correta.
(a) (I), (II) e (III) s˜ao falsas.
(b) Apenas (I) e (III) s˜ao verdadeiras.
(c) Apenas (II) ´e verdadeira.
(d) Apenas (I) ´e verdadeira.
(e) Apenas (II) e (III) s˜ao verdadeiras.
Q14. Considere as afirma¸c˜oes abaixo a respeito de vetores ~u, ~v, ~w ∈ R^3 :
(I) ~u = 2~v + 2 w~ implica [~u, ~v, ~w] = 2‖~v‖^2 ‖ w~‖ + 2‖~v‖‖ w~‖^2 (II) Se ~u, ~v, ~w s˜ao dois a dois ortogonais, ent˜ao |[~u, ~v, ~w]| = ‖~u‖‖~v‖‖ w~‖ (III) [~u, ~v, ~w] = [~v, ~w, ~u] Est´a correto o que se afirma em
(a) (I) e (III), apenas.
(b) (II), apenas.
(c) (I), (II) e (III).
(d) (II) e (III), apenas.
(e) (III), apenas.
Q15. A distˆancia entre o ponto (1, 1 , 3) e o plano
x = 1 + λ + μ y = −2 + 2λ − μ (λ, μ ∈ R) z = 1 − λ + μ
´e igual a
(a) 3 /
(b) 5 /
(c) 12 /
(d) 12 /
(e) 1 /
Q16. A ´area do triˆangulo de v´ertices A, B, C, em que A = (0, 1 , −1), B = (1, 2 , −1) e C ´e o ponto tal que
AC = proj− AD−→ ~u, com ~u = (− 2 , − 1 , −1) e D = (2, 2 , 1), ´e igual a
(a) 5 / 6
(b) 7 / 6
(c) 5 / 3
(d) 7 / 3
(e) 10 / 3
