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Q1. Considere a base B de M 2 (R) definida por:
B =
Se (a, b, c, d) denotam as coordenadas da matriz
3 0
em rela¸c˜ao `a base B, ent˜ao 8a + 4b + 2c + d ´e igual a:
(a) 5; (b) 3; (c) 8; (d) 11; (e) 15.
Q2. Considere os subespa¸cos S 1 e S 2 de R^4 definidos por:
S 1 = [(1, 0 , − 1 , 0), (1, 2 , 1 , 2)], S 2 = [(0, 1 , 1 , 1), (1, 0 , 0 , 1)]. Assinale a alternativa correta:
(a) dim(S 1 + S 2 ) = 2 e dim(S 1 ∩ S 2 ) = 2; (b) dim(S 1 + S 2 ) = 4 e dim(S 1 ∩ S 2 ) = 1; (c) dim(S 1 + S 2 ) = 4 e dim(S 1 ∩ S 2 ) = 0; (d) dim(S 1 + S 2 ) = 3 e dim(S 1 ∩ S 2 ) = 1; (e) dim(S 1 + S 2 ) = 3 e dim(S 1 ∩ S 2 ) = 0.
Q3. Seja a ∈ R e considere o subconjunto C de M 2 (R) definido por:
C =
1 a
a 1 0 2
0 a
Temos que C ´e linearmente dependente se, e somente se:
(a) a = −1; (b) a = 3 ou a = −1 ou a = 0; (c) a = 0; (d) a = 3; (e) a = 3 ou a = −1.
Q4. Considere os subespa¸cos S e W de P 4 (R) definidos por:
S =
p ∈ P 4 (R) : p(0) = 0 e p′(1) = 0
, W = [1, x + x^2 − x^3 ].
Pode-se afirmar que:
(a) dim(S) = 3 e W ⊂ S; (b) dim(S) = 2 e dim(S ∩ W ) = 1; (c) dim(S) = 3 e S ∩ W = { 0 }; (d) dim(S) = 2 e S ∩ W = { 0 }; (e) dim(S) = 3 e dim(S ∩ W ) = 1.
Q5. Seja V um espa¸co vetorial e sejam w, u 1 , u 2 ,... , uk ∈ V. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se {u 1 , u 2 ,... , uk} ´e linearmente independente e {w, u 1 , u 2 ,... , uk} ´e linearmente dependente, ent˜ao w ∈ [u 1 , u 2 ,... , uk]; (II) se w ∈ [u 1 , u 2 ,... , uk], ent˜ao [w, u 1 , u 2 ,... , uk] = [u 1 , u 2 ,... , uk]; (III) se w 6 ∈ [u 1 , u 2 ,... , uk], ent˜ao {w, u 1 , u 2 ,... , uk} ´e linearmente inde- pendente. Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirma¸c˜oes s˜ao necessariamente verdadeiras; (b) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras.
Q6. Considere o espa¸co vetorial V =
(x, y) : x, y ∈ R
com opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar definidas, respectivamente, por:
(x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 − 1 , y 1 + y 2 − 1), α (x, y) = (αx − α + 1, αy − α + 1),
para todos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x, y) ∈ V e todo α ∈ R. Considere a base B =
de V e o vetor v ∈ V cujas coordenadas em rela¸c˜ao `a base B s˜ao (1, −2). Temos que v ´e igual a:
(a) (− 1 , 5); (b) (6, −3); (c) (4, −5); (d) (1, −2); (e) (− 2 , 0).
Q10. Seja (x, y, z, w) ∈ R^4. Temos que
(x, y, z, w) ∈ [(1, − 1 , − 2 , 1), (− 1 , 0 , 2 , 2)] se, e somente se:
(a) z = 0 e x + y + w = 0; (b) x = z = 0 e 3y + w = 0; (c) 2x + z = 0 e 2x + 3y + w = 0; (d) 4x + 3y + z + w = 0; (e) x + 2z = 0 e y + w = 0.
Q11. Seja S ⊂ R^4 o conjuntos das solu¸c˜oes (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) do sistema linear homogˆeneo: (^)
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0, 2 x 1 + x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 0, 3 x 1 + x 2 + 5x 3 + x 4 = 0, x 1 − 2 x 2 − 4 x 4 = 0. Pode-se afirmar que:
(a) S ⊂ [(3, 1 , − 1 , 0), (3, 0 , − 3 , 1), (0, 3 , 1 , −1)] e S ´e um subespa¸co de R^4 com dimens˜ao igual a 2; (b) S ⊂ [(0, 3 , 1 , −1), (3, 1 , 0 , 1)] e S ´e um subespa¸co de R^4 com dimens˜ao igual a 1; (c) S ⊂ [(0, 3 , 1 , −1), (3, 1 , 0 , 1), (3, 1 , − 1 , 0)] e S ´e um subespa¸co de R^4 com dimens˜ao igual a 2; (d) S ⊂ [(3, 1 , − 1 , 0), (3, 0 , − 3 , 1)] e S ´e um subespa¸co de R^4 com dimens˜ao igual a 1; (e) S n˜ao ´e um subespa¸co de R^4.
Q12. Seja S o subespa¸co de R^5 gerado pelos vetores: v 1 = (1, 0 , − 1 , 1 , 0), v 2 = (1, 2 , 1 , 6 , 1), v 3 = (1, 0 , 1 , 2 , 3), v 4 = (1, − 1 , 1 , 0 , 4), v 5 = (1, − 2 , − 3 , − 4 , −1). Uma base para S ´e:
(a) {v 1 , v 3 , v 4 , v 5 }; (b) {v 2 , v 3 , v 4 }; (c) {v 1 , v 2 }; (d) {v 1 , v 3 , v 4 }; (e) {v 1 , v 2 , v 3 , v 5 }.
Q13. Considere os subconjuntos de P (R) definidos por:
S 1 =
p ∈ P (R) : p(1) = 0
, S 2 =
p ∈ P (R) : p(0) = 1
S 3 =
p ∈ P (R) : p(1) = p(0)
Dentre esses trˆes conjuntos, s˜ao subespa¸cos de P (R):
(a) apenas S 1 e S 2 ; (b) apenas S 2 e S 3 ; (c) apenas S 3 ; (d) apenas S 1 e S 3 ; (e) S 1 , S 2 e S 3.
Q14. Considere o subconjunto C de P 5 (R) definido por:
C =
1 + x, 1 + x + x^2 + x^4 , x + x^2 + x^3 + x^4
Assinale a alternativa correspondente a um conjunto D tal que C ∪ D seja uma base de P 5 (R):
(a) D =
1 , 1 + x + x^2 , 1 − x^3 − x^4
(b) D =
1 , x + x^3 , x^3 − x^4 − x^5
(c) D =
1 + x^2 , 1 − x^5
(d) D =
0 , 1 , x − x^3 + x^5
(e) D =
1 , 1 + x + x^3 + x^4 , x^5
Q15. Sejam V um espa¸co vetorial, S 1 e S 2 subespa¸cos de V , B 1 uma base de S 1 e B 2 uma base de S 2. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) existe uma base para S 1 ∩ S 2 contida em B 1 ∪ B 2 ; (II) se a interse¸c˜ao B 1 ∩ B 2 ´e vazia e a uni˜ao B 1 ∪ B 2 ´e uma base de S 1 + S 2 , ent˜ao dim(S 1 ∩ S 2 ) = 0; (III) se V = S 1 + S 2 , ent˜ao B 1 ∪ B 2 ´e um conjunto gerador de V. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (b) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e necessariamente verdadeira; (c) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao necessariamente verdadeiras; (d) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e necessariamente verdadeira; (e) todas as afirma¸c˜oes s˜ao necessariamente verdadeiras.
