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RELATÓRIO DOS ENSAIOS PARA COMPARAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE ATRAVÉS DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA
Tipologia: Provas
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Trabalho apresentado como requisito parcial para avaliação da Disciplina Tópicos I e II, do curso de Engenharia Civil do Centro Universitário Luterano de Santarém – CEULS/ULBRA.
Orientador: Prof. Msc. Hugo Aquino.
Para demonstração na prática das madeiras analisadas, utilizou-se os seguintes materiais: Furadeira; Broca de 8 milímetros; Bucha de parafuso 8 milímetros; Parafuso de 8 milímetros; Corpo de prova com duas dimensões para cada madeira; Peso de 2000 gramas e 500 gramas.
Utilizou-se dois corpos de prova para cada madeira analisada, um com dimensão de 1x1x110 centímetros e outro com dimensão de 1,5x1,5x centímetros. Fixou-se esse corpo de prova em um pilar de madeira de 10x centímetros a 1 metro do nível do solo, concluído esta etapa de fixação colocou-se na ponta livre do corpo de prova dois pesos, um de 2000 gramas e outro de 500 gramas, repetindo-se o processo para espécie de madeira.
Linha elástica é a curva formada pelo eixo da viga, inicialmente retilíneo, deformada devido à aplicação de uma carga como mostra a figura 1 a seguir.
Figura 1 : Viga em balanço com carregamento P na sua extremidade livre.
Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre mudança de forma, o que é chamado deformação. Neste processo os pontos da estrutura sofrem deslocamentos, ou seja, mudança de posição em relação as suas posições iniciais e em relação uns aos outros como demonstra a figura 1 anteriormente. As deformações são definidas matematicamente por meio de considerações geométricas em cada ponto da barra a partir das funções que descrevem os deslocamentos dos pontos segundo as direções dos eixos de referência. Na realidade, os pontos de uma estrutura submetida a um carregamento qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam em maior ou menor grau. A curva da linha elástica representa uma equação diferencial não linear de segunda ordem, dá a forma exata da linha elástica considerando, é claro, que as deflexões na viga ocorram apenas por flexão. As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, deslocamento em um determinado ponto na viga o qual o valor da função é conhecido. Para que possa ser entendida a análise de uma estrutura em balanço com carregamento em sua extremidade livre desenvolveremos no item a seguir a dedução da equação da linha elástica para que possa se ter um conhecimento prático do problema a ser solucionado.
EIy′^ = −P (X − L)
2 2 + C^1
EI ∫ y′ = −P ∫ (X − L)
2 2 ∫ +C^1
EIy = −P (X − L)
3 6 + C^1 x + C^2
EIy(x) = −P (X − L)
3 6 +
Ou
y(x) = PX
2 6EI (3L − X)
δmax = y(L) = PL
2 6EI (3L − L) =
δmax = PL
3 3 EI
3.2. Caso 1: Cálculo do Módulo de Elasticidade para Madeira Cumaru
Seção 1,5 x 1,5 x 110 cm Inercia Informações Base = 0,015m I= 4,2E-9m^4 Altura = 0,015m
Flecha Informações Carga (q) = 19,62N E= 15,87GPa Comprimento (L) = 1,10m Incercia (I) = 4,2E-9m^ Flecha (y) = 0,13m
Equação da linha Elastica a) X= 1,00m 0,909 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,0240 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 3,3E-9m^4 Flecha (y) = 0,13m E= 0,19GPa
b) X= 0,50m 0,455 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,7303 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 3,3E-9m^4 Flecha (y) = 0,13m E= 5,80GPa
c) X= 0,10m 0,091 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m
I = b 12.^ h³
c) X= 0,10m 0,091 Informações Carga (q) = 4,91N Comprimento (L) = 1,10m E= 6,53. 1,728 Incercia (I) = 833,3E-12m^ 690,0E-12m^4 Flecha (y) = 0,138m E= 16,35GPa
3.3. Caso 2: Cálculo do Módulo de Elasticidade para Madeira Cedro
Seção 1,5 x 1,5 x 110 cm Inercia Informações Base = 0,015m I = 4,2E-9m^4 Altura = 0,015m
Flecha Informações Carga (q) = 19,62N E = 12,14GPa Comprimento (L) = 1,10m Inercia (I) = 4,2E-9m^ Flecha (y) = 0,17m
Equação da linha Elastica a) X= 1,00m 0,909 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,0240 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 4,3E-9m^4 Flecha (y) = 0,17m E= 0,15GPa
b) X= 0,50m 0,455 Informações Carga (q) = 19,62N
I = b 12.^ h³
Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,7303 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 4,3E-9m^4 Flecha (y) = 0,17m E= 4,43GPa
c) X= 0,10m 0,091 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 1,7280 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 4,3E-9m^4 Flecha (y) = 0,17m E= 10,49GPa
Seção 1,0 x 1,0 x 110 cm
Inercia Informações Base = 0,010m I = 833,3E-12m^4 Altura = 0,010m
Flecha Informações Carga (q) = 4,91N E = 12,74GPa Comprimento (L) = 1,10m Incercia (I) = 833,3E-12m^ Flecha (y) = 0,205m
Equação da linha Elastica a) X= 1,00m 0,909 Informações Carga (q) = 4,91N Comprimento (L) = 1,10m E= 6,53. 0,024 Incercia (I) = 833,3E-12m^ 1,0E-9m^4 Flecha (y) = 0,205m E= 0,15GPa
I = b 12.^ h³
Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,024 Incercia (I) = 4,2E-9m^ 4,4E-9m^4 Flecha (y) = 0,175m E= 0,14GPa
b) X= 0,50m 0,455 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 0,730 Inercia (I) = 4,2E-9m^ 4,4E-9m^4 Flecha (y) = 0,175m E= 4,31GPa
c) X= 0,10m 0,091 Informações Carga (q) = 19,62N Comprimento (L) = 1,10m E= 26,11. 1,728 Inercia (I) = 4,2E-9m^ 4,4E-9m^4 Flecha (y) = 0,175m E= 10,19GPa
Seção 1,0 x 1,0 x 110 cm Inercia Informações Base = 0,010m I = 833,3E-12m^4 Altura = 0,010m
Flecha Informações Carga (q) = 4,91N E = 17,41GPa Comprimento (L) = 1,10m Inercia (I) = 833,3E-12m^ Flecha (y) = 0,150m
I = b 12.^ h³
Equação da linha Elastica A) X= 1,00m 0,909 Informações Carga (q) = 4,91N Comprimento (L) = 1,10m E= 6,53. 0,0240 Incercia (I) = 833,3E-12m^ 750,0E-12m^4 Flecha (y) = 0,150m E= 0,21GPa
B) X= 0,50m 0,455 Informações Carga (q) = 4,91N Comprimento (L) = 1,10m E= 6,53. 0,7303 Incercia (I) = 833,3E-12m^ 750,0E-12m^4 Flecha (y) = 0,150m E= 6,36GPa
C) X= 0,10m 0,091 Informações Carga (q) = 4,91N Comprimento (L) = 1,10m E= 6,53. 1,7280 Incercia (I) = 833,3E-12m^ 750,0E-12m^4 Flecha (y) = 0,150m E= 15,04GPa
O modulo de elasticidade é uma das propriedades mecânicas importantes da madeira, este deve ser devidamente conhecido tanto em parâmetros de flexão como de compressão. A determinação dessa propriedade pode ser realizada por meio de ensaios de flexão e compressão, relatados e especificados pela NBR 7190/97. Neste trabalho obteve-se os módulos de elasticidade de três tipos de madeira através do ensaio pratico da flecha, determinando o módulo de elasticidade a partir da equação da linha elástica para o tipo de apoio (viga) utilizado, comparando com os módulos de elasticidade do anexo da norma descrita acima. Os tipos de madeira ensaiadas foram Cedro, Cumaru e Muiracatiara, usou-se ainda dois tipos de seção para cada espécie sendo elas: 1,5x1,5 cm e 1,0x1,0 cm, ambas com comprimento de 1,10 metros. Analisando os resultados obtidos pode-se concluir que os dados obtidos do ensaio da flecha e os parâmetros da norma, para as espécie analisadas ,Cedro, Cumaru e Muiracatiara, apresentaram resultado próximo. Os motivos para essa diferença podem ser explicados pela falta de controle tecnológico e aparato de laboratório que não foram garantidos no ensaio da flecha, além disso a umidade que a madeira apresentava no momento do ensaio pode interferir diretamente no resultado, outro motivo é o tipo de apoio utilizado no qual este não apresentou o engastamento perfeito necessário e ocasionou na variação dos dados.
BARBOSA, Alyne Patrícia da Silva; DUTRA, Andréia Katiane; BRASIL, Eliane Amoendo de Sousa. Normas técnicas para trabalhos acadêmicos. 4ª. ed. Canoas/RS: Editora da Ulbra, 2013.
BEER, Ferdinand Pierre; JUNIOR, Elwood Russell Johnston. Resistência dos Materiais. 3ª. Ed. São Paulo: Makron books, 1995.
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos Materiais. 7ª. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010,
NASH, Willian Arthur. Resistência dos Materiais. 3ª. ed. São Paulo: McGraw- Hill,1990.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR 7190 – Projeto de Estrutura de Madeira. Rio de Janeiro,1997.
PORTELA, Artur; SILVA, Arlindo. Mecânica dos Materiais. 1ª. ed. Lisboa: Plátano (Lisboa), 1996.
Foto 01: Engaste do corpo de prova
Foto 02: Corpo de prova á 1 metro do nível do solo
Foto 03: Corpo de prova recebendo ação da carga
Foto 04: Medindo a Flecha
