Baixe Resolução do livro Cálculo B - capitulo 2 8 parte1 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
CAPÍTULO 2
2.8 - Exercícios
pág. 45 - 47
1. A posição de uma partícula no plano xy no tempo t é dada por
t
x t e ,
t y t t e
a) Escrever a função vetorial f t que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em t 0 e em t 2?
a) f t ei te j
t t
b) f ei e j i
0 0
0 0 e
2 2 f 2 e i 2 e j.
- O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser
expresso pela função vetorial.
j
m
t sent i t m
t r t
1 cos , onde m é a massa do besouro. Determinar a
posição do besouro no instante t 0 e t .
Temos:
1 cos 0 0
i j
j m
sen i m
r
e
1 cos
j m
i m
j m
sen i m
r
- Esboçar a trajetória de uma articula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
a) f t ti 2 t 1 j
2
2 yt t
xt t
ou
2 y x
-2 2
2
4
6
8
x
y
b) j
t
i t
g t 1
, t 0
Temos:
x
t t
x t
e
t
yt ou x
x
x
x
x
y
, x 0
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
x y
z
(0,1,0)
d) v t ln ti tj k , t 0
Temos:
x t ln t
y t t
z t 1
Assim, x ln y , z 1
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
x
y
z
(1,e,1) 1
e
e) w t 3 cos ti 3 sentj 9 3 sent k ; t 0 , 2
Temos:
x t 3 cos t
y t 3 sent
z t 9 3 sent
ou seja
z y
x y
9
2 2
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
x
y
z
(3,6,9)
(0,9,0)
g) l t t i sen t j 2 k
x t t
y t sent
z t 2
ou
y senx , z 2
x
y
z
2
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
h) r t 8 4 sent i 2 cos t j 4 sentk
x t 8 4 sent
y t 2 cos t
z t 4 sent
ou
x z
y z
2 2
x
y
z
(8,-2,0)
(8,2,0)
(4,0,4)
(12,0,4)
4. Sejam
2 f t at b t
e g t ti sentj cos tk , com a i j e b 2 i j ;
0 t 2 .
Calcular:
a) f t g t
2 .
2 2
2 2
2
t t i t t j
ti tj t i t j
f t i jt i jt
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
e) f t 1 g t 1 =
^ ^ ^
^ ^ ^
2 2
2 2
2 2
1 2 1 1 1 1 1 cos 1
1 2 2 1 1 1 2 1 1 cos 1
2 2 2 3 2 1 cos 1
t t i t t j t i sen t j t k
t t t t i t t t sen t j t k
t t i t t sen t j t k
^ ^ ^
^ ^ ^
^
com 0 t 2 .
- Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado
por j k
t
r t ti
a) Determinar a posição da partícula no instante t 0 e t 1
b) Esboçar a trajetória da partícula.
c) Quando (^) t se aproxima de 2 , o que ocorre com a posição da partícula?
a) r i j k j k
0 ^
P
r 1 i j k
P 1 1, 1,1
b)
z t
t
yt
xt t
ou
x
y , z=1.
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
x
y
z
c) Quando t 2 x 2
2 2
lim lim x (^) x 2 x x 2 ^ ^
A partícula tende para uma posição infinita.
6. Sejam f t ti t j t k
2 3
2 3 e g t ti j t k
2 2 3 , t 0. Calcular:
a) ^
f t g t t 1
lim.
i j
i j k
i j k i j k
f t gt ti t j t k ti j t k
t t t
lim lim 2 3 lim 2 3
2 1
2 3 1 1
b) ^ f t^ g t
t
1
lim
i j k
f t gt i j k i j k t
6
lim 2 3 2 3 1
c) ^
f t g t t (^) 2
1 lim 3 1
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
7. Seja f t senti cos tj 2 k e h t 1 t. Calcular, se existir, cada um dos
seguintes limites:
a) f t
t 0
lim
j k
f t sen i j k t
2
lim 0 cos 0 2 0
b) lim[ . ]
0
ht f t t
i j
k t
j t
t i t
sent h t f t t t
cos 2 lim. lim 0 0
- Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável
a) lim (cos 5 )
2 ti t j k t
i j k
ti t j k i j k t
5
lim(cos 5 ) cos 5
2
2 2
b)
i j t t
t t t
t (^) 2 3
lim
3 2
2
i j i j j
i j t t
t t t i j t t
t t t
t t
lim 2 3
lim
2
2
3 2
2
c)
2 2
lim 4 2 t 2
t i t j t
^
^ ^
2 ^ ^
2 2
lim 4 2 lim 2 2 2
4
t t
t t (^) t t i t j i j t t t
i j
^
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
d)
i t j t k t
t
t
lim 1
i k
i j k
i t j t k t
i t j t k t t
t t i t j t k t
t
t
t t
lim
1 1 lim 1
lim
1
1 1
e) (^)
i j t k t
t
t
t
lim 0
i
i j tk i j k t
t
t
t
ln 2
2 1 ln 2 0 0
lim 0
- Mostrar que o limite do modulo de uma função vetorial é igual ao modulo do seu
limite, se este último existir.
Seja f t f 1 ti f 2 t j f 3 tk uma função vetorial tal que f t
t a
lim exista,
f t ai a j a k
t a^123
lim
. Assim, existemlim f 1 t a 1
t a
,lim f 2 t a 2
t a
e
lim f 3 t a 3
t a
Queremos mostrar quelim lim
t a t a
f t f t
Como ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 3
2 2
2 f^ t f 1 t f t f t , temos que
2 2 2 lim t a f t lim t a f 1 (^) t f (^) 2 t f (^) 3 t.
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
o que implica em afirmar que f t é contínua em todo t 0 I.
- Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos
indicados.
a)
t
i t j t t
t
f t em t 0 e t 3.
2 0 0
lim lim 3
t t
t f t i t j t
i
f
Portanto, é contínua em t 0.
2 3 3
lim lim t t 3
t f t i t j t
Temos:
3
3
3
lim 9
lim 9
lim
t
t
t
f t i j
f t i j
f t
Portanto, não é contínua em t 3.
b)
cos , 0
j t
i tj t t
tsen (^) f t em t=
cos
lim lim 0 0
j f
i j
i tj t
f t tsen t t
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
Portanto, é contínua em t 0.
c)
2 , 0
j t
j t t
t ti f t em t=.
lim
lim lim
0
0 0
i j j f
j t t
t t ti
j t
t f t ti
t
t t
Portanto, é contínua em t 0.
d) f t senti cos t j k em t 0
lim 0 0
f
j k
f t i j k t
Portanto, é contínua em t 0.
e)
0 , 1 2
5 , 1 et 2 2
t e t
j k t t
i (^) f t t em t 1 e t 2.
O limite
j k t
i t
f t t t
lim lim 1 1
não existe, portanto não é contínua em t 1.
O limite
j k t
i t
f t t t
lim lim 2 2
não existe, portanto não é contínua em t 2.
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
d)
t t
v t t ,
ln 1 ,
Temos que:
ln t 1 é contínua para os reais maiores que (-1);
t
é contínua para os reais diferentes de zero;
t é contínua para todos os reais.
Assim, v t é contínua em 1 , 0 0 ,
e) (^) , , (^)
t w t sen t tg t e
Temos que:
sent é contínua em todos os reais;
tgt é contínua em , 2
t t k k
^ ^
t e é contínua em todos os reais.
Assim, w t é contínua em ,
t t k k
^ ^
ou
n n n Z
f)
,ln 1 1
2 t t
t r t e
t
Temos que:
t e é contínua para todos os reais;
2
t
t
é contínua em R 1 ;
ln t 1 é contínua para todos os t reais tais que t 1.
Assim,
,ln 1 1
2 t t
t r t e
t
é contínua em 1 , 1 1 ,
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
g)
3
t t
f t t
Temos que:
3 t é contínua em todos os reais;
2
t
é contínua em R 1 , 1 ;
2
t
é contínua em R 2 , 2 .
Assim,
t t
f t t é contínua em R 2 , 1 , 1 , 2 ou
h)
t t t
t g t t
2 2
Temos que:
2 t é contínua em R ;
2
2
t t
t
é contínua em R 1 ;
t
é contínua para t 0.
Assim,
t t t
t g t t
2 2
é contínua em 0 , 1 1 ,.
- Provar os itens (a), (b) e (c) das propriedades 2.5.3.
Para provar os itens vamos usar a proposição 2.5.2 da página 24 e as propriedades
de limites das funções escalares do Cálculo A.
Sejam f t e g t duas funções vetoriais definidas em um mesmo intervalo. Se
f t a
t t
(^0)
lim e g t b
t t
(^0)
lim então:
