Baixe Resolução Reitz Cap 1 e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 1
An´alise Vetorial
Sejam os dois segmentos de reta AB e CD, com
AB =
B −
A e
CD =
D −
C,
tal que:
AB = ˆı + 2ˆ −
k
CD = −3ˆı − 6ˆ + 3
k
Para verificar que
AB e
CD s˜ao paralelos basta verificar que
AB ×
CD = 0 ou
simplesmente que
CD = − 3 ·
AB. Ent˜ao,
AB e
CD s˜ao paralelos e CD/AB = 3.
Para
A ⊥
B, o produto interno
A·
B deve ser igual a zero, j´a que n˜ao existe uma
proje¸c˜ao n˜ao nula de
A sobre
B. Nesse caso,
A = ˆı + 4ˆ + 3
k e
B = 4ˆı + 2ˆ − 4
k:
A ·
B = 4 + 8 − 12 = 0
Ou seja,
A e
B s˜ao perpendiculates.
Para que
A,
B e
C sejam os lados de um triˆangulo retˆangulo, tem-se que:
A +
B =
C
ou
B +
C =
A
ou
C +
A =
B
def inic˜ao de triˆangulo
e
A ·
B = 0
ou
B ·
C = 0
ou
C ·
A = 0
ˆangulo reto
Verifica-se que:
A +
B =
C e
A ·
B = 0. Logo,
A,
B e
C formam um triˆangulo
retˆangulo.
2 CAP
ITULO 1. AN
ALISE VETORIAL
A =
B −
C
Tomando o produto escalar em ambos os lados da
equa¸c˜ao, obtem-se:
A ·
A =
B ·
B +
C ·
C − 2 ·
B ·
C
Como
B ·
C = BC cos θ, onde B e C s˜ao os m´odulos de
B e
C, respectiva-
mente, e θ ´e o ˆangulo formado entre os dois vetores, obtem-se:
A
2
= B
2
2
− 2 BC cos θ
︸ ︷︷ ︸
lei dos cossenos
A interpreta¸c˜ao geom´etrica ´e evidente e leva `a conhecida desigualdade trian-
gular |
A| + |
C| ≥ |
B| e ao teorema de Pit´agoras, quando θ = π/2, um triˆangulo
retˆangulo.
A = cos αˆı + sin αˆ
B = cos βˆı + sin βˆ
Os ˆangulos de cada vetor com o eixo x s˜ao obtidos a partir do produto escalar
entre cada um deles e o versor da dire¸c˜ao x, ˆı. Fica evidente que o ˆangulo θ
entre
A e
B ´e igual a β − α.
Tomando, ent˜ao, o produto escalar de
A com
B, obtem-se:
A ·
B = |
A| · |
B| · cos θ = cos α · cos β + sin α · sin β
Como |
A| = |
B| = 1, ent˜ao:
cos (β − α) = cos α · cos β + sin α · sin β
~r = xˆı + yˆ + z
k
A = A
x
ˆı + A y
ˆ + A
z
k
Tomando o produto interno
~r −
A
A = (x − A x
) A
x
) A
y
(z − A z
) A
z
= 0 e lembrando que a equa¸c˜ao greal de um plano ´e da forma
ax + by + cz + d = 0, verifica-se que
~r −
A
A ´e a equa¸c˜ao do plano que passa
4 CAP
ITULO 1. AN
ALISE VETORIAL
Como
B ×
B = 0 e |
P ×
Q| = |
P | · |
Q| · sin (θ P Q
C| · sin (θ BC
A| · sin (θ AB
Com um processo an´alogo ao anterior, por´em efetuando o produto vetorial
da equa¸c˜ao com
C, obtem-se a lei dos senos da trigonometria:
A|
sin (θ BC
B|
sin (θ CA
C|
sin (θ AB
Seja o plano definido pelos trˆes pontos A, B e C. Assim, todo vetor ~v da forma
~v = c 1 ·
C −
A
v 1
+c 2 ·
A −
B
v 2
+c 3 ·
C −
B
v 3
com c 1
, c 2
e c 3
escalares reais, pertence ao plano.
Para verificar que
N =
A ×
B +
A ×
C +
C ×
B
define um vetor normal
ao plano, basta mostrar que
N × ~v 1 =
N × ~v 2 =
N × ~v 3 = 0.
X =
C ×
A
A ·
A
A
O objetivo ´e mostrar que o vetor
X satisfaz `a equa¸c˜ao
C =
A ×
X.
Substituindo, ent˜ao,
X na equa¸c˜ao, obtem-se:
C =
A ×
C ×
A
A ·
A
A ×
A
=
Utilizando a identidade vetorial
A ×
B ×
C
B
A ·
C
C
A ·
B
obtem-se que
A ×
C ×
A
C
A ·
A
A
C ·
A
. O ´ultimo termo
C ·
A ´e
identicamente nulo pela equa¸c˜ao
C =
A×
X. Ent˜ao,
X definido acima ´e solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao dada.
Afirmar que
A ·
B ×
C
= 0 ´e equivalente a afirmar que o determinante
A
x
A
y
A
z
B
x
B
y
B
z
C
x
C
y
C
z
´e nulo.
Deve-se mostrar que a condi¸c˜ao acima ´e satisfeita se, e somente se,
A,
B e
C s˜ao linearmente dependentes:
- Se os trˆes vetores s˜ao linearmente dependentes ent˜ao ´e poss´ıvel escrever
C = k 1
A + k 2
B. Assim,
A ·
B ×
C
= k 1
A ·
B ×
A
A ·
B ×
B
- O determinante anula-se somente se uma linha (ou coluna) for nula ou
uma combina¸c˜ao linear das outras.
Assim:
A ·
B ×
C
C = k 1
A + k 2
B
Para
A = ˆ + 3
k
B = ˆı − 2
k
C = ˆı + ˆ +
k
claramente,
C =
A +
B. Assim:
A ·
B ×
C
Seja ϕ = ϕ (~r) um campo escalar. A equa¸c˜ao ϕ (~r) = constante define uma
superf´ıcie, de forma que:
dϕ =
∂ϕ
∂x
dx +
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂z
dz = 0
Essa equa¸c˜ao pode ser reescrita como
∇ϕ (~r) ·
dr = 0. Isso mostra que
∇ϕ (~r) ´e perpendicular ao vetor
dr, que ´e um vetor paralelo `a superf´ıcie num
dado ponto ~r.
Para ϕ (~r) = ax
2
2
2 , obtem-se
∇ϕ (~r) = 2axˆı + 2byˆ + 2cz
k e:
ˆn ︸︷︷︸
versor normal `a superf
´ icie
axˆı + byˆ + cz
k
√
(ax)
2
2
2
dϕ
ds
∇ϕ ·
ds
ds
Em coordenadas cil´ındricas,
ds = ˆrdr +
θrdθ +
kdz e
Nota-se aqui que os termos acima entre parˆenteses correspondem `as defini¸c˜oes
de derivada parcial. Portanto:
F =
r
∂r
(r · Fr ) +
r
∂Fθ
∂θ
∂Fz
∂z
F = ˆı
x
2
y
2
k
z
2
F =
∂F
x
∂x
∂F
y
∂y
∂F
z
∂z
= 2 x + 2y + 2z
∇ ×
F =
ˆı ˆ
k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
Fx Fy Fz
∇ ×
F = ˆı
∂F
z
∂y
∂F
y
∂z
∂F
x
∂z
∂F
z
∂x
k
∂F
y
∂x
∂F
x
∂y
Assim, para que
∇ ×
F seja perpendicular `a
F , o produto interno entre eles
deve ser nulo. Entretanto
F ·
∇ ×
F
= Fx
∂Fz
∂y
∂Fy
∂z
∂Fx
∂z
∂Fz
∂x
∂Fy
∂x
∂Fx
∂y
e, obviamente, esse resultado n˜ao ´e identicamente nulo.
Utilizando a derivada do produto,
2 (ϕψ) pode ser reescrito da seguinte forma:
2 (ϕψ) =
[
∇ (ϕψ)
]
∂x
ψ
∂ϕ
x
∂ψ
x
∂y
ψ
∂ϕ
y
∂ψ
y
∂z
ψ
∂ϕ
z
∂ψ
z
Aplicando mais uma vez a derivada do produto:
2 (ϕψ) = 2
∂ψ
∂x
∂ϕ
∂x
2 ϕ
∂x
2
2 ψ
∂x
2
2 ψ +
2 ϕ + 2
∇ψ
∇ϕ
8 CAP
ITULO 1. AN
ALISE VETORIAL
~r = xˆı + yˆ + z
k
∇ · ~r =
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∇ × ~r = ˆı
∂z
∂y
∂y
∂z
∂x
∂z
∂z
∂x
k
∂y
∂x
∂x
∂y
ˆı + u y
ˆ + u z
k
~u ·
~r =
ux
∂x
∂y
∂z
= ux
∂~r
∂x
= ˆı
+uy
∂~r
∂y
= ˆ
+uz
∂~r
∂z
=
ˆ k
Portanto
~u ·
~r = ~u.
Sejam os vetores:
A = Axˆı + Ayˆ + Az
k =⇒ constante
~r = xˆı + yˆ + z
k
Tomando seu produto interno, obtem-se:
A · ~r = Axx + Ay y + Az z
Ent˜ao:
A · ~r
∂x
A · ~r
ˆı +
∂y
A · ~r
∂z
A · ~r
k =
A
ϕ
F
?
=
∇ϕ
F + ϕ
F
. Reescrevendo a equa¸c˜ao:
ϕ
F
∂x
(ϕFx) +
∂y
(ϕFy ) +
∂z
(ϕFz )
= ϕ
∂F
x
x
∂F
y
y
∂F
z
z
∂ϕ
∂x
F
x
∂ϕ
∂y
F
y
∂ϕ
∂z
F
z
Portanto
ϕ
F
∇ϕ
F + ϕ
F
10 CAP
ITULO 1. AN
ALISE VETORIAL
Para ξ =
A · ~r, com
A = A
x
ˆı + A y
ˆ + A
z
k constante e ~r = xˆı + yˆ + z
k, obtem-se
∂ξ
∂x
= A
x
∂ξ
∂y
= A
y
e
∂ξ
∂z
= A
z
Utilizando a regra da cadeia,
∇ϕ (ξ) =
∂ϕ
∂x
ˆı +
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
k
pode ser reescrito da seguinte forma:
∇ϕ (ξ) =
∂ϕ
∂ξ
∂ξ
∂x
ˆı +
∂ϕ
∂ξ
∂ξ
∂y
∂ϕ
∂ξ
∂ξ
∂z
k
Como ϕ ´e fun¸c˜ao apenas de ξ, ent˜ao
∂ϕ
∂ξ
dϕ
dξ
. Portanto:
∇ϕ (ξ) =
A ·
dϕ
dξ
∇ ×
∇ ×
F
?
=
F
2 ~ F
Desenvolvendo o lado esquerdo da equa¸c˜ao:
∇ ×
∇ ×
F
∇ ×
[(
∂F
z
∂y
∂F
y
∂z
ˆı +
∂F
x
∂z
∂F
z
∂x
∂F
y
∂x
∂F
x
∂y
k
]
= ˆı
[
∂y
∂Fy
∂x
∂Fx
∂y
∂z
∂Fx
∂z
∂Fz
∂x
)]
[
∂z
∂Fz
∂y
∂Fy
∂z
∂x
∂Fy
∂x
∂Fx
∂y
)]
k
[
∂x
∂Fx
∂z
∂Fz
∂x
∂y
∂Fz
∂y
∂Fy
∂z
)]
Desenvolvendo, agora, o lado direito:
F
F = ˆı
[
∂x
∂F
x
∂x
∂F
y
∂y
∂F
z
∂z
2 F x
∂x
2
2 F x
∂y
2
2 F x
∂z
2
)]
[
∂y
∂Fx
∂x
∂Fy
∂y
∂Fz
∂z
2 Fy
∂x
2
2 Fy
∂y
2
2 Fy
∂z
2
)]
k
[
∂z
∂Fx
∂x
∂Fy
∂y
∂Fz
∂z
2 Fz
∂x
2
2 Fz
∂y
2
2 Fz
∂z
2
)]
Basta, ent˜ao, comparar as duas igualdades e verificar que s˜ao iguais.
1-2-2 Sejam ϕ = ϕ (~r) e
F , um vetor constante. Utilizando a propriedade
ϕ
F
∇ϕ
F + ϕ
F
obtem-se que
ϕ
F
∇ϕ
F , j´a que
F ´e constante.
tomando o produto interno da express˜ao
V
∇ϕdv
com
F e aplicando a propriedade acima descrita, obtem-se que:
V
∇ϕdv ·
F =
V
ϕ
F
dv
Aplicando, ent˜ao, o teorema do divergente:
V
ϕ
F
dv =
S
ϕ
F · ndsˆ
V
∇ϕdv
F =
S
ϕˆnds
F
A igualdade ´e v´alida para todo
F (vetor arbitr´ario), logo ela n˜ao depende
de sua escolha, de forma que:
V
∇ϕdv =
S
ϕndsˆ
1-2-4 Sejam
G =
G (~r) e
F =
F (~r) duas fun¸c˜oes vetoriais.
V
G +
G ·
F dv = ˆı
V
G +
G ·
Fxdv
V
G +
G ·
F
y
dv
k
V
G +
G ·
Fz dv
Comparando com o item anterior, nota-se que
Fu
G
∇Fu
G + Fu
G =
G +
G ·
Fu
em que u = x, y ou z.
Substituino, ent˜ao, a propriedade acima em cada componente da integral
e aplicando o teorema do divergente obtem-se:
