Baixe Respostas - Calculo A - Cap 3 f - Flemming e Gonçalves e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
3.18 – EXERCÍCIOS – pg. 112
- Investigue a continuidade nos pontos indicados
(a) ( )
x
x x
senx
f x em x = 0.
lim 1 ( ) 0 0
0
→
f x
senx
x
. Portanto f(x) não é contínua em x = 0.
(b) f ( x ) = x − x em x = 0.
lim (^ )^ lim( ) lim 0 0
0 0 0
+ =^ + − = +^ =
x → x → x →
f x x x.
lim ( ) lim( ) lim 2 0
0 0 0
→−^ →− →−
f x x x x x x x
lim ( ) 0 ( 0 )
0
f x f x
→
. Portanto f(x) é contínua em x = 0.
(c) ( )
2
3
x
x x
x
f x em x = 2.
lim 4
lim
2
(^22)
3
2
f x x
x x x
x
x
x x
→ →
. Portanto, a função é contínua em
x = 2.
(d) ( )
x
sen
f x 1
= em x = 2.
lim 2
f sen x
x sen
→
. Portanto, a função é contínua em x = 2.
(e) ( )
2
x
x x
x sen f x em x = 0.
Conforme exercício 16 da lista 3.6 item (c), temos
lim 1 0
2 0
→ x
x sen x
. Como f(0)=0 , a função é contínua em x = 0.
(f) ( )
2
x
x x
x x
f x em x = 1.
( ) ( )
( ) ( )
lim ( ) 0
lim lim 1 0
lim lim 1 0
1 1 1
2 1 1 ⇒ =
→ → →
→ →
− − f x f x x
f x x
x x x
x x
≠ f ( 1 ) = 1.
Portanto a função não é contínua em x = 1.
(g) ( )
2
x
x x
x
f x em x = 2.
lim 2
lim 2
2
2
→ →
f x
x x
x
x
x x
. Portanto, a função não é contínua em x = 2.
(h) ( )
2
x x
x x f x em x =− 1.
lim ( ) lim 1
2 1 1
→−+^ →−+
f x x x x
lim ( ) lim( 1 ) lim( 1 ) 0 lim ( ) 1 1 1 1
f x x x f x x →− x →− x →− x →−
− − −
e a função não é contínua em x=-.
(i) ( )
2
2
x
x x f x em x = 2.
( )
lim (^2)
2
2
f x
x x
x
→
. Portanto a função é contínua em x = 2.
(j) 3 3
x x x
f x em x =− 3.
A função dada não está definida para x =− 3 , assim não é contínua neste ponto.
(f) (^) x x e e
f x − −
Esta função é contínua em todo o seu domínio: ℜ −{ 0 }.
(g)
2
x
x x
x x
f x
Temos que:
lim
2
(^1) x
x x
x
. Portanto, f não é contínua em x=.
(h)
x
x f ( x )
A função é contínua em todos os pontos de seu domínio: ℜ−{− π}
- Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
(a)
x x
x f x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
f(x)
Analisando o gráfico visualiza-se uma função contínua em todo o seu domínio, ou
seja, em todo o conjunto dos números reais.
(b)
2
x
x x
x
f x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
f(x)
A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em x =− 2.
(c)
x
x x
x
f x
(e) 4 3
3 2
x x
x x x f x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
x
f(x)
A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em x =− 3 e em x =− 1.
Observa-se que esses pontos não pertencem ao domínio dessa função. Assim, temos a
continuidade em todos os pontos do domínio.
- Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a) ( )
2
x
x px x f x
Devemos ter:
lim ( 2 ) 11 lim ( 3 ) 3 3
2 3
→ →
x px px f x x
Assim,
lim 8
lim 3 11
3
3
→
→
p
p
px
px
x
x
(b) ( )
2 p x
x p x f x
Temos que:
( x p ) p
p p
x
x
lim 2 1 2
lim
1
2 2 1
−
→ −
→−
Para que o limite exista devemos ter a relação:
2
2
p
p p
p p
(c)
3
2
p x
e x f x
x
Temos que lim 1
2 0
→
x x
e. Assim devemos ter 7 1
3 p − = ou p = 2.
- Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
(a) ( )
x x
x f x
Neste caso temos os pontos que não pertencem ao domínio da função: x = 3 e
x =− 7.
(b) f ( x ) = ( x − 3 ) ( 6 − x )
( x − 3 ) ( 6 − x ) ≥ 0
Neste caso a função não é contínua em x ∈( 3 , 6 ), pois esses pontos não pertencem
ao domínio da função.
(c) ( )
senx
f x 1 2
Esta função não é contínua nos pontos em que 2
sen x = , ou seja, em
x k k
x k k
k
k
2
1
π
π
π
π
Para as funções exemplificadas temos que h o f = h [ f ( x )]= f ( x ). Essas funções
satisfazem as condições dadas nos três itens e podem ser visualizadas a seguir.
(a) Gráfico da função f ( x )definida em ( −∞, +∞)e contínua em ( −∞, +∞)-{1,2}.
-3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
f(x)
(b) Gráfico da função g ( x ) contínua em todos os pontos de seu domínio, mas não é
contínua em ( −∞, +∞). O ponto x =− 2 não pertence ao domínio da função exemplificada.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
g(x)
(c) Gráfico da função h ( x )= x , cuja composição com a função f ( x ) resulta a própria
função f ( x ).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
h(x)
8.Dê exemplo de duas funções f e g que não são contínuas no ponto a=0 e tais que
h = f ⋅ g é contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f , g e h.
Existem infinitos exemplos. Segue um deles:
x x
x x f x
x x
x x g x
2
2
x x x
x x hx
Esboço dos gráficos.
Para que a função f seja contínua no ponto a devemos ter que lim ( ) ( ) 1
f x f a x
→
, ou
que lim( ( )− ( ))= 0 →
f x f a x a
Temos,
lim( ) 0 0
( ) lim
lim( ( ) ( )) lim ⋅ − = ⋅ = −
→ → → →
x a m x a
f x f a x a x a
f x f a f x f a x a x a x a x a
