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Este documento contém a prova de recuperação da disciplina de física 1 para a escola politécnica, oferecida em 26/07/2019. A prova consiste em 7 questões, cobrindo temas como energia cinética, momento linear, momento de inércia, velocidade angular e conservação do momento angular. Cada questão possui um enunciado e uma solução detalhada.
Tipologia: Notas de estudo
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Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questões Q1-Q7 para as diferentes provas.
Para todas as questões:
√ 3
Enunciado da questão (Q1). [1,0 ponto] Uma partícula de massa m = 6 kg move-se apenas sob a ação de uma força conser- vativa F~ (x) = (x − x^3 )~ı, onde x é medido em metros e F em Newtons. A variação da energia cinética da partícula quando ela se move da posição x = 2, 0 m para a posição x = 4, 0 m é:
(a) − 54 J.
(b) +56 J.
(c) − 58 J.
(d) +62 J.
(e) − 68 J.
Solução da questão (Q1) - A resposta correta é (a) Vamos calcular a variação da energia cinética (∆Ec) utilizando o teorema da energia cinética que estabelece que o trabalho realizado por uma força qualquer é igual à variação da energia cinética entre as posições inicial xi e final xf da trajetória, ou seja:
∆Ec =
∫ (^) xf
xi
F^ ~ · dl .~ (1)
Como a força é conservativa (portanto, o valor da integral de linha em (1) não depende do caminho) escolhemos como caminho a reta unindo os pontos xi = 2, 0 m e xf = 4, 0 m tal que dl^ ~ = dx~ı e F~ (x) · dl~ = F (x)dx. Assim,
∆Ec =
2 , 0
F (x) dx =
x^2 2
x^4 4
4 , 0
2 , 0
Enunciado da questão (Q3).
[1,0 ponto] Dois objetos estão se movendo como mostra a figura ao lado. O objeto de massa m 1 = 3 kg move-se com vetor velocidade v 1 que faz um ângulo de 30 ◦^ com o eixo y. O objeto de massa m 2 = 8 kg move-se com vetor velocidade v 2 que faz um ângulo de 60 ◦^ com o eixo y. O valor do momento angular total em torno do ponto O é (no SI):
i
j
O
y v = 1 2 m/s
x
1,0 m
30 o
1,5 m
v = 2 32 m/s 60 o
(a) 12
(b) 10
(c) 6
(d) 2
(e) 0
Solução Q3: Calcula-se o momento angular como ~L = ~r ⊗p~ onde o simbolo ⊗ indica o produto vetorial entre os vetores posição e momento linear da partícula. Fazendo os produtos vetorias com os dados das duas partículas obtem-se a resposta (d).
Enunciado da questão (Q4). [1,5 ponto] Em um dado instante t = 0, observa-se que duas partículas de massas m 1 = 3, 0 kg e m 2 = 2, 0 kg estão nas posições ~r 1 = (− 4 , 0 ~ı− 4 , 0 ~) (m) e ~r 2 = (+4, 0 ~ı− 4 , 0 ~) (m) movendo-se com velocidades ~v 1 = +2, 0 ~ı (m/s) e ~v 2 = +3, 0 ~ (m/s), respectivamente. Passados 2 s, elas são novamente observadas e vê-se que m 2 encontra-se parada. Sabendo-se que elas estão sujeitas somente a forças internas, o vetor posição do centro de massa (em metros) quando t = 2 s é:
(a) − 0 , 8 ~ı − 4 , 0 ~.
(b) +0, 8 ~ı − 4 , 0 ~.
(c) − 1 , 2 ~ı + 1, 2 ~.
(d) − 1 , 2 ~ı + 1, 6 ~.
(e) +1, 6 ~ı − 1 , 6 ~.
Solução da questão (Q4) - A resposta correta é (e)
As massas estão sujeitas apenas a forças internas. Neste caso, o momento linear se conserva e a velocidade do centro de massa (CM) é constante. Calculando a velocidade de centro de massa, podemos determinar o vetor posição em t = 2 s. O vetor velocidade do centro de massa é dado por: ~VCM = m^1 ~v^1 +^ m^2 ~v^2 m 1 + m 2
3(2~ı) + 2(3~) 3 + 2
6 ~ı 5
(m/s).
O vetor posição em função do tempo é calculado como
R^ ~CM (t) =
~VCM dt =
6 ~ı + 6~ 5
t + R~ 0
onde
R^ ~ 0 = m^1 ~r^1 (t^ = 0) +^ m^2 ~r^2 (t^ = 0) m 1 + m 2
3(− 4 ~ı − 4 ~) + 2(+4~ı − 4 ~) 3 + 2
− 4 ~ı − 20 ~ 5
(m)
Assim, R^ ~CM (t) =
6 t 5
~ı +
6 t 5
e
R^ ~CM (t = 2 s) = 8 5 ~ı^ −^
8 5 ~^ = +1,^6 ~ı^ −^1 ,^6 ~^ (m)^.
(Q6)[2,0 pontos] Um corrossel pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo vertical, que passa pelo seu centro de massa, como mostra a figura. Inicialmente o carrossel está rodando com velocidade angular constante ω no sentido horário ao redor do eixo fixo z, e há um garoto no centro do carrossel. O garoto se move então, com velocidade escalar constante v, radialmente para fora até a borda do carrossel. Ao final do processo, quando o garoto chega na borda, podemos afirmar que:
O
v
z
w
(a) A velocidade angular aumentou e a energia cinética de rotação aumentou. (b) A velocidade angular diminuiu e a energia cinética de rotação diminuiu. (c) A velocidade angular e a energia cinética de rotação permaneceram constantes. (d) A velocidade angular permaneceu constante e a energia cinética de rotação aumentou. (e) A velocidade angular permaneceu constante e a energia cinética de rotação diminuiu.
Solução da questão (Q6): A resposta correta é (b). Sejam:
′ g os momentos de inércia do garoto no centro e na borda do carrossel, respectiva- mente,
Comparação das velocidades angulares - Inicialmente o sistema composto pelo carros- sel+garoto no centro está girando com velocidade angular ωi e o momento angular do sistema (carrossel + garoto no centro) é L~i = (Ic + Ig)~ωi = Ic~ωi pois o momento de inércia do garoto quando localizado no centro é nulo (Ig = M r^2 = M (0) = 0). O caminhar do garoto dá origem a forças internas (radiais) ao sistema. Neste movimento radial, os torques no garoto e no carros- sel em relação ao ponto central do carrossel são nulos (forças radiais) e o torque resultante no sistema (carrossel + garoto) é nulo. Nesta condição, a lei de conservação do momento angular se aplica. Quando o garoto chega na borda do sistema, seu momento de inércia em relação ao eixo de simetria por rotação não é mais nulo e o momento angular do sistema é dado por L^ ~f = (Ic + I g′)~ωf. Por conservação do momento angular (L~i = ~Lf ) a velocidade angular final do sistema será:
Icωi = (Ic + I ′ g)ωf^ ⇒^
ωf ωi =^
Ic Ic+I g′^ <^1
ou seja, a velocidade angular do sistema diminui.
Comparação das energias cinética de rotação - A energia cinética de rotação é definida como Ecin = 12 Iω^2. As energias cinética de rotação inicial e final são:
Ecini =
Icω^2 i e Ecinf =
(Ic + I
′ g)ω
2 f.
Comparando-as temos:
Ecinf Ecini
(Ic + I ′ g) Ic
ωf ωi
= (^) IcI+cI′ g
ou seja a energia cinética de rotação também diminui e a resposta correta é (b).
