Baixe Revisão de Cálculo I: Funções, Limites, Derivadas e Integrais e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!
Revisão de Cálculo I
Até o semestre passado trabalhamos com funções, limites, derivadas e integrais cujo domínio era
apenas uma variável real, geralmente representadopela letra x. O Cálculo II, por sua vez é uma exten-
são, aprofundamento do que vimos no Cálculo I, pois iremos trabalhar, novamente com funções, limites,
derivadas e integrais, entretanto com duas ou mais variáveis.
Por esse motivo, mostra-se interessante fazermos uma breve revisão do Cálculo I para iniciarmos os
trabalhos com o Cálculo II.
1 Função
O Cálculo é uma ferramenta que utilizamos para trabalhar com funções. Logo, é necessário que
recordemos o que é uma função e algumas de suas classificações e propriedades básicas.
Definição
Uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em um conjunto A, a exatamente
um único elemento chamado f (x)(ou ainda y), em um conjunto B.
De forma geral os conjuntos A e B são subconjuntos dos números reais, no qual A é chamado de
domínio da função e B de contradomínio da função. O contradomínio contém todos os resultados
possíveis que uma função pode gerar em função de x. Cada um desses resultados é denominado imagem
de x.
Chamamos de variável independente a variável do domínio - em nosso caso, a variável x - e de
variável dependente a variável do contradomínio - em nosso caso a variável f (x) ou y.
Chamamos de zero ou raiz de uma função ao valor da variável independente que zera o valor da
variável dependente. Em outras palavras, zero ou raiz de uma função é o valor do domínio que
zera a imagem. Atenção: Funções reais nem sempre apresentam raízes.
1.1 Exemplos
f (x) = x − 5 =⇒ x − 5 é a lei de formação da função.
x = 9 =⇒ 9 é um dos elementos do domínio.
f (9) = (9) − 5 = 4 =⇒ 4 é a imagem associada ao elemento 9 do domínio.
f (x) = 0 ⇒ x − 5 = 0 → x = 5 =⇒ 5 é o zero (raiz) dessa função.
y = −x
2
2
- 1 é a lei de formação da função.
x = −1 =⇒ − 1 é um dos elementos do domínio.
y = −(−1)
2
- 1 = −1 + 1 = 0 =⇒ 0 é a imagem associada ao elemento − 1 do domínio.
y = 0 ⇒ −x
2
2 = − 1 ⇒ x
2 = 1 ⇒ x = ±
1 ⇒ x = ±1 =⇒ ± 1 são os zeros (raízes)
dessa função.
v(t) = log 2
(t + 5) =⇒ log 2
(t + 5) é a lei de formação da função.
t = 3 =⇒ 3 é um dos elementos do domínio.
v(3) = log 2
[(3) + 5] = log 2
(8) = 3 =⇒ 3 é a imagem associada ao elemento 3 do domínio.
v(t) = 0 ⇒ log 2
(t + 5) = 0 ⇔ 2
0 = t + 5 ⇒ 1 = t + 5 ⇒ t = −4 =⇒ − 4 é o zero (raiz) dessa função.
1.2 Exercícios: 1 FUNÇÃO
1.2 Exercícios:
- Dadas funções a seguir, determine suas imagens:
(a) f (x) = 2x − 3 para x = 5
(b) g(x) = x
2 para x = − 3
(c) y = − 5 x + 4 para x = 6
(d) w = −y
2 − 6 y + 1 para y = − 1
(e) b(k) =
3
2 − k , para k = 11
(f) z = −x
4 − 1 para x = − 2
(g) h(z) =
z
−z
z
(h) m(t) =
t− 6
para t = 4
(i) m(t) =
t− 6
para t = 4
(j) a =
n − 5 para n = 8
- Dadas as funções a seguir, calcule seus zeros, caso existam.
(a) f (x) = x − 5
(b) y = − 2 x + 3
(c) g(x) = x
2 − 3 x − 10
(d) z = −y
2
(e) h(x) = x
2 − 6
(f) m(v) = −x
2 − 4
(g) x(y) =
y − 2
(h) j(u) =
u − 6
u
2
1.3 Principais Gráficos
Conforme já vimos, cada função apresenta um gráfico característico. Por esse motivo, revisaremos as
principais funções e como esboçar seus gráficos.
1.3.1 Função Constante
f (x) = a, com a ∈ IR (1)
Exemplos de função constante:
- y = 4 2. g(x) = − 1 3. f (x) = 0
O gráfico da função constante é uma reta horizontal que intercepta o eixo vertical em a. Assim, no
exemplo 1, o gráfico irá interceptar o eixo vertical no ponto 4; no exemplo 2, no ponto − 1 e, no exemplo
3, em zero.
Fig. 1: Gráficos das funções y = 4, g(x) = − 1 e f (x) = 0, respectivamente.
1.3.2 Função de Primeiro Grau
f (x) = ax + b, com a ∈ IR
∗ e b ∈ IR (2)
Exemplos de função do primeiro grau:
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
Fig. 3: Gráfico da função y = − 2 x − 3. Para traçar a reta foram usados o zero da função e o valor de b.
- O x do vértice pode ser determinado pela expressão xv = −
b
2 a
ou simplesmente derivando a função;
- o y do vértice pode ser determinado pela expressão yv = −
4 a
ou simplesmente aplicando o valor
do x v
na função: y v
= f (x v
De forma geral não será corriqueiro a utilização dos vértices da parábola. Contudo, quando a parábola
não apresenta raízes reais, as coordenadas do vértice nos permite localizar a posição da parábola no plano
cartesiano.
Para esclarecer as características acima, vejamos alguns exemplos:
- y = x
2
− 5 x + 6
Como a é positivo, já sabemos que a concavidade é para cima. Também sabemos que essa função
intercepta o eixo vertical em 6. Calculando os zeros dessa função:
y = 0 ⇒ x
2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ ∆ = (−5)
2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Portanto os zeros dessa função são:
x =
x 1
x 2
Para calcular os valores de xv e yv , neste primeiro exemplo, utilizaremos tanto as fórmulas quanto
a derivada e a definição de imagem. Particularmente, é mais interessante utilizarmos a derivada e
a definição de imagem, pois já sabemos derivar e já sabemos como determinar a imagem de uma
função. Assim:
(a) Usando as fórmulas:
xv = −
b
2 a
yv = −
4 a
(b) Usando a derivada e a definição de imagem:
y
′
= 0 ⇒ 2 xv − 5 = 0 ⇒ 2 xv = 5 ⇒ xv =
y v
2
+6 ⇒ y v
+6 ⇒ y v
⇒ y v
⇒ y v
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
Com essas informações já podemos fazer um bom esboço do gráfico.
Fig. 4: Gráfico da função y = x
2 − 5 x + 6. Para traçar a curva foram usados o zero da função, o valor de
c e as coordenadas do vértice.
- f (x) = − 4 x
2 − 12 x
Já sabemos que o gráfico dessa função tem concavidade voltada para baixo e intercepta o eixo
vertical em zero. Neste exemplo não calcularemos as coordenadas do vértice.
f (x) = 0 ⇒ − 4 x
2 − 12 x = 0 ⇒ x ︸︷︷︸
0
(− 4 x − 12)
︸ ︷︷ ︸
0
Essa sentença é verdadeira
Se x = 0
ou se − 4 x − 12 = 0 ⇒ − 4 x = 12 ⇒ x = −
Fig. 5: Gráfico da função f (x) = − 4 x
2 − 12 x. Para traçar a curva foram usados os zeros da função e o
valor de c.
- z = m
2
Já sabemos que essa função tem concavidade para cima e intercepta o eixo vertical em 2.
z = 0 ⇒ m
2
2 = − 4 ⇒ Não existe raiz real.
Como essa parábola não apresenta raízes reais, fica difícil localizar a posição dela no plano carte-
siano. Por esse motivo usaremos as informações do vértice para auxiliar na localização dela.
z
′ = 0 ⇒ 2 mv = 0 ⇒ mv = 0
z v
2
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
Fig. 8: Gráfico da função f (x) = −
x
, g(x) = −
x
e h(x) = −
x
. Novamente, quanto maior |a|, mais
suave é a curva.
De forma geral, se a for positivo, as cuvas ficam no primeiro e terceiro quadrande; se a for negativo,
segundo e quarto quadrante.
O gráfico dessa função pode ser facilmente esboçada levando em consideração o sinal de a e atribuindo
alguns valores à variável independente.
Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos:
- f (x) =
x
Como a é positivo, já sabemos que as curvas se encontram no primeiro e terceiro quadrante.
x = 2 ⇒ f (2) =
x = 4 ⇒ f (4) =
x = 8 ⇒ f (8) =
x = − 2 ⇒ f (−2) =
x = − 4 ⇒ f (−4) =
x = − 8 ⇒ f (−8) =
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
Fig. 9: Gráfico da função f (x) =
x
usando os pontos calculados como referência.
- g(x) = −
x
Como a é negativo, já sabemos que as curvas se encontram no segundo e quarto quadrante.
x = 2 ⇒ g(2) = −
x = 1 ⇒ g(1) = −
x = 0. 5 ⇒ g(0.5) = −
x = − 2 ⇒ g(−2) = −
x = − 1 ⇒ g(−1) = −
x = − 0. 5 ⇒ g(− 0 .5) = −
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
Para a negativo, o sentido das curvas ficam invertidas:
Fig. 12: Gráfico das funções f (x) = −
x
2
, g(x) = −
x
2
e h(x) = −
x
2
Observe que, para essa curva, por ser uma função par o eixo vertical funciona como um “espelho”
- eixo de simetria: Tudo comportamento do lado direito é refletido do lado esquerdo e vice e versa. Por
esse motivo o gráfico dessa função é fácil de se esboçar: basta escolher alguns pontos e espelhá-los em
relação ao eixo vertical.
Vejamos alguns exemplos para esclarecer:
- y =
x
2
Como a é positivo, já sabemos que a curva se encontra na parte superior do eixo horizontal. Assim:
x = 1 =⇒ y =
2
x = 3 =⇒ y =
2
Fig. 13: Gráfico da função f (x) =
x
2
1.3 Principais Gráficos 1 FUNÇÃO
- h(t) = −
t
2
Como a dessa função é negativo, o gáfico está localizado abaixo do eixo vertical.
t = 1 =⇒ h(1) = −
2
t = 5 =⇒ h(5) = −
2
Fig. 14: Gráfico da função h(t) = −
t
2
1.3.6 Função Raiz Quadrada
f (x) =
x (6)
Outra função corriqueina em nossos estudos é a função raiz quadrada. Uma forma simples de se fazer
o esboço dessa função é convertendo-a numa função do segundo grau, ou seja, numa parábola. Contudo,
é preciso prestar atenção no sinal. Vejamos alguns exemplos:
- y =
x
Veja que o sinal de y é sempre positivo ou nulo. Logo, o que nos intereça é a região positiva ou nula
da parábola que iremos gerar.
y =
x ⇒ x = y
2
Agora, faremos o esboço da parábola invertendo o eixo vertical (y) com o eixo horizontal(x):
Observe que a parte que nos interessa começa na origem do plano cartesiano, cresce em direção
do eixo x e tem um leve crescimento em relação ao eixo y. Feitas essas observações, agora iremos
refazer o gráfico mas com os eixos y e x conforme estamos acostumados:
- y = −
x
1.4 Análise do Domínio de Funções de Uma Variável 1 FUNÇÃO
Observe que a parte que nos interessa começa na origem do plano cartesiano, cresce em direção do
eixo x e tem um leve decrescimento em relação ao eixo y. Feitas essas observações, agora iremos
refazer o gráfico mas com os eixos y e x conforme estamos acostumados:
Fig. 19: Gráfico da função x = y
2 com os eixos padrões.
Fig. 20: Finalmente o gráfico da função y = −
x.
1.3.7 Exercícios
- Dadas as funções a seguir, faça o esboço de seus gráficos
(a) f (x) = x − 7
(b) g(x) = −x − 7
(c) h(t) = 6t + 3
(d) y = − 2 u + 7
(e) y = 4
(f) z = x
2 − 9
(g) w = 3y
2
(h) v = −z
2 − 16
(i) y = − 9
(j) k(t) = x
2
(k) m(n) = −n
2 − 2 n + 3
(l) d(f ) = −f
2
− 10 f + 25
(m) y = 2z
2
(n) f (x) =
x
(o) h(x) = −
x
(p) y =
z
(q) w =
x
(r) g(x) =
x
2
(s) x = −
t
2
(t) b(y) = −
y
2
(u) t =
x
2
(v) f (x) =
x
(w) f (x) = −
x
(x) f (x) = −
2 x
(y) f (x) =
x − 2
1.4 Análise do Domínio de Funções de Uma Variável
A medida em que os estudos forem avançando, saber determinar o domínio - assim como as suas
restrições - será uma ferramenta importante. Por esse motivo iremos começar a preparação para essas
situações futuras.
Conforme já estudado em momentos anteriores, existem funções que apresentam restrições em seu
domínio. A seguir iremos listar algumas dessas funções:
- f (x) =
g(x)
h(x)
=⇒ h(x) 6 = 0
- f (x) =
a
g(x) , se a é par então g(x) ≥ 0
- f (x) = log a
g(x) =⇒ a > 0 , a 6 = 1 e g(x) > 0
Vamos recordar como fazemos as análises do domínio com alguns exemplos:
1.4 Análise do Domínio de Funções de Uma Variável 1 FUNÇÃO
Exemplos:
- f (x) =
g(x)
h(x)
=⇒ h(x) 6 = 0
f (x) =
sen(x)
3 x − 18
Restrição: 3 x − 18 6 = 0
3 x − 18 6 = 0 ⇒ 3 x 6 = 18 ⇒ x 6 =
x 6 = 6
Portanto, D f
= {x ∈ IR; x 6 = 6}
- f (x) =
a
g(x) , se a é par então g(x) ≥ 0
f (x) =
4
−x
2
Restrição: −x
2
−x
2
2
2 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1
x =
⇒ x =
x =
⇒ x =
x =
⇒ x =
Fig. 21: Estudo dos sinais da função.
Portanto Df = {x ∈ IR; 2 ≤ x ≤ 3 } = [2; 3]
- f (x) = log a
g(x) =⇒ a > 0 , a 6 = 1 e g(x) > 0
f (x) = log x+
[x
2
Restrições: x + 2 > 0 , x + 2 6 = 1 e x
2
Primeira restrição: x + 2 > 0
x + 2 = 0 ⇒ x = − 2
Segunda restrição: x + 2 6 = 1
x + 2 6 = 1 ⇒ x = − 1
Terceira restrição: x
2
x
2
2 = − 4 ⇒ @x ∈ IR, ou seja, não apresenta raiz real.
2 GABARITOS
2 Gabaritos
- (a) 7
(b) 9
(c) 26
(d) 6
(e)
3
(f) -
(g)
(h)
(i)
(j)
- (a) 5
(b)
(c) x 1 = −2; x 2 = 5
(d) x 1 = x 2 = 2
(e) x 1 = −
6 ; x 2 =
(f) Não apresenta raiz real
(g) Não apresenta raiz
(h) 6
- Use o programa online GeoGebra para verificar os gráficos.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) (h)
(i)
(j)
(k)
(l)
2 GABARITOS
(m)
(n)
(o)
(p)
(q) (r) )
(s) (t)
(u)
(v)
(w) (x)
(y)
- (a) Dy = IR
(b) Df = IR
(c) Dg = {x ∈ IR; x 6 = 1}
(d) Dh = {x ∈ IR; x 6 = ± 1 }
(e) Dz = {x ∈ IR; x ≥ − 2 }
(f) Dw = {x ∈ IR; (x < 3) ∪ (3 < x < 4) ∪ (4 <
x < 5)}
(g) Df = {x ∈ IR; x 6 = 1}
(h) Dv = {x ∈ IR; (x < 0)∪(0 < x < 1)∪(x > 1)}
- Use o programa online GeoGebra para verificar os gráficos.
