Sem limites (cálculo 1), Manuais, Projetos, Pesquisas de Cálculo

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E S T U D A N T E C A R N E I R O. C O M

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A L

1

limites

estudante

carneiro

C Á L C U L O 1

1 0 0 L I M I T E S R E S O L V I D O S &

E X E R C I C I O S S O B R E C O N T I N U I D A D E

estudante

carneiro

100 limites

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LIMITES

É possível que todos

já ouvimos falar de

limites, ou seja, da

palavra “limite” no

nosso dia-a-dia um

exemplo é quando

estamos olhando

para o mar maior

parte das pessoas faz

a seguinte questão:

SERÁ QUE O MAR

TEM LIMITE?

Quando estamos chateados com

alguém e dissemos: “Olha que a

Paciência tem LIMITE!

A palavra LIMITE é

destacada no

quotidiano. Mais em

Matemática o que será

isso, denominado

LIMITES??

O limite é o valor do qual a função se aproxima quando sua variável tende a um valor.

Por exemplo: seja a função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 + 1 , na qual daremos valores a x que se aproxime a 2, a

esquerda e a direita (menores e maiores que 2):

Valores a direita Valores a esquerda

x y x y

2,4 5,8 1,6 4,

2,2 5,4 1,75 4,

2,1 5,2 1,8 4,

Se a função tende para 5 ( 𝑓(𝑥) → 5 ) dizemos que o limite da função é 5 quando x tenda

a 2 (𝑥 → 5 ). Embora possam ocorrer casos em que o valor de f(x) não seja 5, de forma geral

temos:

Em todos os casos sobre limites a primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor

da tendência na função.

No cálculo de limites serão consideradas os símbolos de mais infinito ( +∞) e menos

infinito (−∞), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente

salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável,

ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Notamos que, a medida que x se aproxima

de 2 (de cima para baixo), y, ou seja, a

função, se aproxima de 5 (na mesma

ordem), chama-se aproximação intuitiva,

nem é necessário que x assuma o valor de

Olhando para a notação temos:

quando 𝒙 → 𝒂, 𝒇(𝒙) → 𝒃.

𝐥𝐢𝐦

𝐱→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒃

Teoricamente lê-se “limite da função f(x) quando x tende para a é igual a b

A seta (→) lê-se TENDE.

Função

Limite

Resultado do limite

LIMITES

FUNDAMENTAIS

𝒙⟶𝟎

𝒇(𝒙)⟶𝟎

[

] = 𝟏

Trigonométricos

Exponencial e

Logarítmicas

𝒙⟶∞

𝒙

𝒚⟶𝟎

𝟏

𝒚

𝒙⟶𝟎

𝒙

Exemplo:

lim

𝑥⟶ 0

𝑥

) = ln

Exemplo:

lim

𝑥⟶ 0

) = lim

3 𝑥⟶ 0

= 3 lim

3 𝑥⟶ 0

Truques e métodos de

resolver limites

FACTORIZAÇÃO

Factorização é um processo utilizado na matemática que consiste em

representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao

escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios,

frequentemente conseguimos simplificar a expressão.

Formas de factoração nos limites

Exemplo 1: Usando as fórmulas algébricas

lim

𝑥→ 1

2

2

É possível verificar que o numerador

e o denominador podem ser escritos

em multiplicação de polinómios assim

sendo para o numerador:

x

2

- 2x+1=(x-1)

2

Para o denominador: X

2

- y

2

=(x-1).(x+1)

Assim sendo:

lim

𝑥→ 1

𝑥

2

− 2 𝑥 + 1

𝑥

2

− 1

2

= lim

𝑥→ 1

(𝑥 − 1 )

2

(𝑥 − 1 )(𝑥 + 1 )

= lim

𝑥→ 1

𝑥 − 1

(𝑥 + 1 )

=

1 − 1

1 + 1

=

0

2

= +∞

Fórmulas algébricas

(𝑎 + 𝑏)

2

= 𝑎

2

• 2 𝑎𝑏 + 𝑏

2

(𝑎 − 𝑏)

2

= 𝑎

2

− 2 𝑎𝑏 + 𝑏

2

𝑎

2

− 𝑏

2

= (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)

3

= 𝑎

3

• 3 𝑎

2

𝑏 + 3 𝑎𝑏

2

• 𝑏

3

(𝑎 − 𝑏)

3

= 𝑎

3

− 3 𝑎

2

𝑏 + 3 𝑎𝑏

2

− 𝑏

3

𝑎

3

• 𝑏

3

= (𝑎 + 𝑏)(𝑎

2

− 𝑎𝑏 + 𝑏

2

)

𝑎

3

− 𝑏

3

= (𝑎 − 𝑏)(𝑎

2

• 𝑎𝑏 + 𝑏

2

)

RACIONALIZAÇÃO

É um método de eliminação de raízes que resolve alguns problemas de

limites, aplicando o conjugado ou um outro artifício matemático de

modo a levantar-se a indeterminação do limite em questão.

Os limites envolvendo radicais (raízes) se da usando a racionalização

(criando raízes) e desracionalizando (removendo raízes). Usamos a

racionalização quando a raiz se encontra no divisor (na parte de baixo da

divisão) como vemos no exemplo:

𝒙→𝟏

= lim

𝑥→ 1

×

= lim

𝑥→ 1

= lim

𝑥→ 1

2

2

= lim

𝑥→ 1

= lim

𝑥→ 1

Em geral, os exercícios de Limites envolvendo raiz são elaborados na forma

de uma divisão (razão), na qual o termo que possui a raiz pode estar tanto

no numerador quanto no denominador.

Teorema de Sanduíche ou Teorema de Confronto

Este teorema é pouco abordado quando se

fala de limites mais é muito importante.

Quando a pessoa ouve pela primeira vez fica

impressionada e muitos chegam a pensar em

uma sanduíche mesmo. Mais é um teorema

que ajuda imenso em resolução de limites.

Exemplo: 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝒔𝒆𝒏(𝒙)

𝒙

Portanto, (dividir tudo por x);

𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒: − lim

𝑥→∞

≤ lim

𝑥→∞

≤ lim

𝑥→∞

− lim

𝑥→∞

= 0 = lim

𝑥→∞

𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim

𝑥→∞

.

Por causa das propriedades bem conhecidas

da função senoidal. Como estamos

calculando o limite quando x chega ao

infinito, é razoável supor que x > 0.

Primeira nota é que:

100 LIMITES RESOLVIDOS

Resolução: 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐

𝟐

2

Resolução: 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏

𝒙

𝟑

(𝒙+𝟏)

𝟐

(− 1 )

3

(− 1 + 1 )

2

1

( 0 )

2

1

0

Resolução:

𝒙→𝟎

𝟑

𝟐

3

− 4 × 0

2 × ( 0 )

2

+ ( 3 × 0 )

lim

𝑥→ 0

3

2

= lim

𝑥→ 0

2

= lim

𝑥→ 0

2

2

Resolução:

lim

𝑥→ 2

2

2

lim

𝑥→ 2

(𝑥− 2 )(𝑥+ 2 )

(𝑥− 2 )

= lim

𝑥→ 2

𝑥+ 2

1

DICA : Quando temos uma indeterminação, é necessário que se encontre uma maneira de

resolver o limite.

LÓGICA : No numerador temos uma diferença de quadrados: 𝒂

𝟐

− 𝒃

𝟐

= (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃)

Basta reescrevermos o 4 como 2

2

, temos: 𝒙

𝟐

− 𝟒 = 𝒙

𝟐

− 𝟐

𝟐

= (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) , então:

então:

𝒙→𝟐

𝟐

1

𝒙→−𝟏

𝟑

𝟐

𝒙→𝟎

𝟑

𝟐

𝒙→𝟐

𝟐

2

3

4

Resolução:

lim

𝑥→− 1

2

3

𝒙→−𝟏

𝟐

𝟑

= lim

𝑥→− 1

2

2

= lim

𝑥→− 1

2

2

Resolução:

𝒙→𝟏

𝟐

𝟐

2

+ ( 2 × 1 ) + 3

2

Resolução:

lim

𝑥→ 0

4

3

2

3

2

𝒙→𝟎

𝟒

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

= lim

𝑥→ 0

3

2

2

= lim

𝑥→ 0

3

2

2

3

− ( 4 × 0

2

2

LÓGICA : No denominador temos uma soma de cubos: 𝒂

𝟑

• 𝒃

𝟑

= (𝒂 + 𝒃)(𝒂

𝟐

− 𝒂𝒃 + 𝒃

𝟐

)

Basta reescrevermos o 1 como 1

3

, temos: 𝒙

𝟑

• 𝟏

𝟑

=

( 𝒙 + 𝟏

) (𝒙

𝟐

− 𝒙. 𝟏 + 𝟏

𝟐

)

𝒙→−𝟏

𝟐

𝟑

𝒙→𝟏

𝟐

𝟐

5

6

𝒙→𝟎

𝟒

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

7

Resolução: lim

𝑥→ 0

( 𝑥+ 3

)

3

− 27

𝑥

0

0

𝒙→𝟎

𝟑

= lim

𝑥→ 0

3

2

= lim

𝑥→ 0

3

2

= lim

𝑥→ 0

2

= lim

𝑥→ 0

2

Resolução: lim

𝑥→ 4

𝑥

2

− 16

√

𝑥− 2

0

0

𝒙→𝟒

𝟐

= lim

𝑥→ 4

2

×

= lim

𝑥→ 4

( 𝑥

2

− 16

) (√𝑥 + 2 )

( √

𝑥)

2

− 2

2

= lim

𝑥→ 4

( 𝑥

2

− 16

) (√𝑥 + 2 )

𝑥 − 4

= lim

𝑥→ 4

2

= lim

𝑥→ 4

= lim

𝑥→ 4

𝒙→𝟎

𝟑

11

𝒙→𝟒

𝟐

12

LÓGICA : O caminho mais comum de levantar este tipo de indeterminação onde envolve raiz

no numerador ou no denominador é aplicar a técnica do conjugado, que consiste em multiplicar

o numerador e o denominador pelo conjugado daquele que contém a raiz:

Repare que no denominador

temos uma diferença de

quadrados:

𝟐

𝟐

Repare que no numerador podemos transformar o termo 𝑥

2

− 16 , pois é uma diferença de

quadrados: 𝑥

2

− 4

2

= (𝑥 − 4 )(𝑥 + 4 ).

Resolução: lim

𝑥→ 3

𝑥− 3

√ 4 −𝑥

3

− 1

0

0

𝒙→𝟑

𝟑

= lim

𝑦→ 1

3

= lim

𝑦→ 1

( 1 −𝑦

) ( 1

2

+𝑦+𝑦

2

)

𝑦− 1

= lim

𝑦→ 1

−(𝑦− 1 )( 1 +𝑦+𝑦

2

)

𝑦− 1

= lim

𝑦→ 1

2

2

Resolução: lim

𝑥→ 8

𝑥− 8

√

𝑥

3

− 2

0

0

𝒙→𝟖

𝟑

= lim

𝑦→ 2

𝑦

3

= lim

𝑦→ 2

( 𝑦− 2

) (𝑦

2

+𝑦. 2 + 2

2

)

(𝑦− 2 )

= lim

𝑦→ 2

2

2

𝒙→𝟑

𝟑

13

LÓGICA: Existe uma outra forma de levantar este tipo de indeterminação envolvendo raiz

no numerador e no denominador aplicando uma técnica muito útil que é a mudança de

variável.

A mudança de variável para este tipo de limite é: 𝒚 = √𝟒 − 𝒙

𝟑

elevando ao cubo os dois

membros temos 𝒚

𝟑

= 𝟒 − 𝒙 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑥 , 𝒙 = 𝟒 − 𝒚

𝟑

.

Lembrando que também devemos transformar a tendência dada quando equação x→ 3

então x=3 substituindo em 𝒚 = √𝟒 − 𝒙

𝟑

temos 𝒚 = √𝟒 − 𝟑

𝟑

= 1 assim sendo 𝑦 → 1.

Substituindo obtém-se um novo limite similar ao primeiro

Repare que no numerador temos uma diferença de cubos: ( 𝑎

3

− 𝑏

3

) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎

2

• 𝑎𝑏 + 𝑏

2

)

Basta reescrevemos o 1 como 1

3

𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 : ( 1

3

− 𝑦

3

) = ( 1 − 𝑦)( 1

2

• 𝑦. 1 + 𝑦

2

)

Fatorizando o sinal do primeiro termo (𝟏 − 𝒚)

e reorganizando os termos temos: −(𝒚 − 𝟏)

𝒙→𝟖

𝟑

14

Lógica : Aplicar a técnica de mudança de variável

Aplicando a técnica de mudança de variável temos:

3

elevando ao cubo os dois membros 𝑦

3

= 𝑥

𝑥 → 8 temos que 𝑦 → 2

Substituindo temos:

Repare que no numerador temos uma

diferença de cubos:

( 𝑎

3

− 𝑏

3

) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎

2

• 𝑎𝑏 + 𝑏

2

)

Basta reescrevemos o 8 como 2

3

𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑦

3

3

− 2

3

) = (𝑦 − 2 )(𝑦

2

• 𝑦. 2 + 2

2

)

Resolução: lim

𝑥→ 1

1

𝑥

2

− 1

2

𝑥

4

− 1

𝒙→𝟏

𝟐

𝟒

) = lim

𝑥→ 1

4

2

2

4

= lim

𝑥→ 1

4

2

2

4

= lim

𝑥→ 1

4

2

2

4

= lim

𝑥→ 1

2

2

2

4

= lim

𝑥→ 1

( 𝑥

2

− 1

)( 𝑥

2

− 1

)

(𝑥

2

− 1 )(𝑥

4

− 1 )

= lim

𝑥→ 1

𝑥

2

− 1

𝑥

4

− 1

= lim

𝑥→ 1

𝑥

2

− 1

(𝑥

2

− 1 )(𝑥

2

• 1 )

= lim

𝑥→ 1

(

1

𝑥

2

• 1

) =

1

2

Resolução: lim

𝑥→∞

𝑥

2

− 1

2 𝑥

2

• 1

∞

∞

lim

𝑥→∞

2

2

= lim

𝑥→∞

[

2

2

2

2

]

= lim

𝑥→∞

2

2

2

2

Resolução: lim

𝑥→∞

4 𝑥

3

+𝑥

2

− 4

3 𝑥

3

+𝑥+ 11

∞

∞

𝒙→𝟏

𝟐

𝟒

17

𝒙→∞

𝟐

𝟐

18

Existem várias formas de levantar este tipo de caso específico sendo uma delas fatorizando o

termo de maior grau do numerador e o termo de maior grau no denominador:

Devemos ter em conta que qualquer

número a dividir por infinito é igual a

zero.

0

0

𝒙→∞

𝟑

𝟐

𝟑

19

𝒙→∞

𝟑

𝟐

𝟑

= lim

𝑥→∞

3

2

3

3

2

3

2

3

2

3

Resolução: lim

𝑥→∞

3 𝑥

2

• 2 𝑥− 1

𝑥

3

−𝑥+ 2

∞

∞

lim

𝑥→∞

2

3

= lim

𝑥→∞

2

3

3

3

= lim

𝑥→∞

2

3

2

3

2

3

2

3

Resolução: lim

𝑥→∞

𝑥

( 𝑥− 1

)( 𝑥− 2

)

𝑥

2

• 6 𝑥− 9

∞

∞

lim

𝑥→∞

2

= lim

𝑥→∞

3

2

2

= lim

𝑥→∞

3

2

3

2

3

= lim

𝑥→∞

2

2

3

2

2

3

Resolução: lim

𝑥→∞

√𝑥

2

• 9

𝑥+ 3

∞

∞

lim

𝑥→∞

2

= lim

𝑥→∞

2

= lim

𝑥→∞

2

2

2

= lim

𝑥→∞

2

2

𝒙→∞

𝟐

𝟑

20

𝒙→∞

𝟐

21

𝒙→∞

𝟐

22