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senai-sp Matemática Figuras geométricas planas e espaciais r ? mB Sumário página Introdução | Figuras geométricas planas 4 - Circunferência e círculo 7 - Linha poligonal 12 - Polígono 13) - Triângulo 23 . Quadrilátero 38 Figuras geométricas espaciais 42 . Prisma 43 - Pirâmide 46 - Cilindro 47 - Cone 48 . Esfera 48 Figuras geométricas planas Se apoiarmos a ponta de um lápis sobre uma folha de papel e a deslizarmos por ela teremos a idéia de figura geométrica plana. Veja: do da b dé “As duas primeiras figuras geométricas são chamadas curvas t+ fechadas; as duas últimas são curvas abertas. TAs curvas abertas ou fechadas podem ser simples (não cruzam | | consigo mesmas) e não simples (interceptam a si mesmas). Ve- | ja alguns exemplos: co E curva fechada curva fechada “curva aberta curva aberta simples não simples não simples simples (CFS) (CFNS) (CANS) (CAS) Faça o exercício no seu caderno. 1 Copie as figuras geométricas e classifique-as conforme o exemplo: CEM to As curvas fechadas simples determinam no plano em que se en- contram três regiões: 12) a parte do interior da curva (onde estão os pontos A e B) 22) a parte do exterior da curva (onde estão os pontos Me N) 32) a parte da própria curva (onde está o ponto P) As curvas fechadas simples podem ser: - côncavas - quando um segmento de reta que une dois pontos interiores quaisquer da curva nem sempre está no interior dela. Circunferência e círculo Observe e compare as figuras: o or As duas representam curvas fechadas determinando três re- giões no plano. Há diferenças entre elas? Repare que todos os pontos da curva da 22 figura estão à mesma distância do ponto O, o que não ocorre na 12 figura. Podemos então dizer que: -» Circunferência é uma curva plana fechada, cujos pontos es- tão à mesma distância de um outro chamado centro (repre- sentada na 23 figura) Temos ainda que: . Círculo é a reunião da circunferência com os pontos da re- gião interior. VÊ circulo Os elementos da circunferência, que também são elementos do círculo, são o centro, o diâmetro e o raio. Diâmetro é o trecho de reta que une dois pontos da circunfe- rência, passando pelo centro. Raio é o trecho de reta que une um ponto qualquer da circun- ferência ao centro. Veja as ilustrações a seguir: À fe E Raio:R | U L ETR diômetro:D Você percebe, pelas duas últimas figuras, que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio, isto é, vale duas ve- zes a medida do raio. Assim: Na fórmula: C-=significa comprimento da circunferência; D=significa diâmetro; m—representa aproximadamente o número 3,14. Também podemos calcular o comprimento da circunferência sa- bendo a medida do seu raio. Neste caso, a fórmula fica: Exemplos a) Qual é o comprimento da circunferência que possui 20mm de diâmetro? Temos: D = 20mm Então: C=t.D C=3,14.20 C=62,8 Logo, o comprimento da circunferência é 62,8mm. b) Calcule o comprimento da circunferência abaixo. E jp qe Cálculo: = Ohil4 = 2 0015) 3,14 C = 94,2cm isxad0E, 94,20 O comprimento da circunferência é 94,2cm. 10 Agora, analisemos outro problema: c) Determine as medidas do diâmetro e do raio de uma circun- ferência cujo comprimento é de 141,3cm. Temos que C = 141,3cm Cálculos Como C=1.D vem 141,3=3,14.D 141,30 | 3,14 então D = 141,3: 3,14 125 6 45 Finalmente D = 45 1570 e q rajo R'= 45/:2 = 2245: 000 O diâmetro mede 49cm e 0 raio, 22,5cm. Quer dizer que para calcular o diâmetro usamos a fórmula: Faça os exercícios no seu caderno. 4 Qual é o comprimento de uma circunferência cujo diâme- : tro é 5cm? . Ê TE 5 Determine o comprimento de uma circunferência que bem de raio. 6 Quais são o raio e o diâmetro de uma circunferência tem 125,6cm de comprimento? 7 Copie as afirmações substituindo os asteriscos pelos lores corretos, conforme q exemplo. tem que va- q Quando o extremo final do última segmento coincide com o início do primeiro segmento, a linha poligonal é chamada 1i- nha poligonal fechada. Se o extremo e o início dos segmentos não coincidem, então a Vinha poligonal é chamada Tinha poligonal aberta. Exemplos a) EN b) Ei B a ANA é É c D a E linha poligonal linha poligonal fechada aberta Poligono Polígono é o conjunto formado pela linha poligonal fechada e os pontos interiores, E Do) ts B pontos internos polígono É linha poligonal Fechada Note que o polígono é uma região do plano e não só a Tinha poligonal. Mas, para facilitar, daqui para frente vamos representar o polígono somente com a linha poligonal. veja mais alguns polígonos: Dos três polígonos acima, um é convexo e dois são côncavos. Você já viu porque, não é mesmo? Vamos recordar: Fora da E Poligonal ES “ B E polígonos côncavos 6 P polígonos convexos Fora da oligonai N Observação Somente trataremos, nesta unidade, dos polígonos convexos. Polígonos regulares e irregulares ' ” Polígono regular é aquele que possui todos os lados e angu- | “los congruentes. Veja alguns poligonos regulares. | Observação O sinal / indica mesma medida. T Polígono irregular é aquele que não possui todos os lados ou | | ângulos congruentes. Em g Veja alguns polígonos irregulares. E 5 Observação Os sinais 7 e // indicam medidas iguais. | Você já viu, nesta unidade, figuras de polígonos com 3 la- | dos, 4 lados, 5 lados... ! Para se formar um polígono, precisa-se ter, no minimo, 3 ! segmentos, isto é, o menor números de lados de É três, um polígono - 2lguns polígonos têm nomes especiais conforme o número de seus lados. [Número de | Nome do [Número de Nome do pis polígono lados polígono | E triângulo | 9 eneágono | 4 quadrilátero o | -decágono | 5 pentágono 11 undecágono | 6 hexágono E dodecágono | 7 heptágono 15 pentadecágono | 8 octógono 20 icoságono Polígonos regulares inscrito e circunscrito Polígono regular inscrito é aquele em que os vértices - pertencem à circunferência. VOO Polígono regular circunscrito é aquele em que os lados tocam num ponto da circunferência, isto é, os lados são tangentes à circunferência. OO A OM - apótema m(AM) = m(MB) ZE - diagonal a - ângulo central (0 - vértice; DB e TC - lados) 8 - ângulo interno (CD e DE - lados do ângulo - lados adjacentes do polígono) Observações 2. O raio do polígono regular é o raio da circunferência cir- cunscrita. [*. O apótema do polígono regular é o raio da circunferência inscrita. - À medida do ângulo central é dada por: = nº de lados do polígono regular Exemplos | a) a medida do ângulo central do hexágono (n=6) é 60º porque: 360º 6 = 60º b) a medida do ângulo central do triângulo equilátero (n = 3) é 120º porque: 360º 3 E 12084 19 E À . A medida do ângulo interno do polígono é dada por: o a. = E onde n é o número de lados do polígono. ! n Exemplos a) a medida do ângulo interno do quadrado é 90º porque: 2. An - 2). 180º a gh n 5, a «A -2) 180º 2 807 (90º : 4 Ea a, = AacaBjnaetano 1 n 3 [o] o a (of 1e) lei sonc SR Ao e 6 CBR - - O ângulo interno e o ângulo central de um polígono são su- plementares. Exemplo | R BRO - : | nexágono ângulo central: 60 (ver exemplo acima) | ângulo interno: 120 . O número de diagonais de um polígono pode ser calculado através da expressão: md ssen(ns 3) Td onde n = número de lados. | 2 20 E 
