Análise de Circuitos de Sistemas de Potência: Fundamentos e Aplicações, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Elétrica

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AINIÁ~DSE DE

CDRCUDIOI^ DE

SISIEMAS

DE POIÊNCIA

CENTRAIS^ ELÉTRICAS^ BRASILEIRAS^ S.^ A.

UNIVERSIDADE^ FEDERAL^ DE^ SANTA^ MARIA

ANÁl.llE^ DE

CIRCUllOI DE

SISIEMAS

DE IP>OIÊINICIA

L. O.^ BARTHOLD,

N. D. REPPEN^ e

D.E.HEDMAN

CURSO DE ENGENHARIA^ EM

SISTEMAS^ ELÉTRICOS^ DE^ POTl!:NCIA

SÉRIE P. T. 1.

SANTA MARIA^ -^ RS^ -^1978

Título do original:

Power Circuit Analysis

Direitos para o Brasil reservados às Centrais Elétricas Brasileiras S.A. - ELETROBRÃS

Av. Presidente Vargas, (^624) - 109 andar Rio de Janeiro - RJ

1978

Bl23a

F I C H A e A T A L o G R Ã F I e A

Barthold, L.O. Análise de circuitos de sistemas de ootência [por] L.O. Barthold, N.D. Reppen e D.E.-Hedman. Trad. [de] Arlindo R. Mayer,universidade Federal de Santa Maria, 1978. 229p. ilust. 23cm (Curso deEnaenharia em Sistemas Elétricos de Potência - sériePTI,l)

Título original: "Power Circuit Analysis"

I. Reppen, N. D • II. Hedman, D.E. III. .Mayer, Arlindo Rodrigues, 1940 - (trad.) IV. Título

CDD 621.319 1

CDU 621.3. 02

APRESENTAÇÃO

Há cerca de 10 anos vem a^ ELETROBRÃS^ patrocinan-

do a realização de Cursos -na^ área de Sistemas Elétricos

de Potência, visando o aperfeiçoamento de^ ·engenheiros

eletricistas das Empresas^ do^ Setor^ de Energia Elétrica.

Assim, cer·ca de 200 profissionais, nesse período; recebe-

ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como

-no Brasil, em obediência a currículos^ estabalecidos^ pela

ELETROB~, tendo em vista as necessidades detectadas por

seu pessoal especializado.

Como resultado da experiência ~e realização des-

ses e de^ outrqs^ Cursos,^ por vezes^ contando com a partici-

pação de professores^ estrangeiros especialmente contrata-

dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen-

do publicados livros especializados em regime de co-

edição com Universidades, e à conta de Recursos do Fundo

de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÃS.

~ constante a preocupaçao desta Empresa em

apoiar as Instituições de Ensino Superior,^ razãopelaqual,

entre outras ações, têm sido^ sistematicamente^ oferecidas

vagas a docentes universitários, sempre^ que^ grupos^ de en-

genheiros^ são^ enviados ao exterior para^ freqdência a cur-

sos especiais ainda. não oferecidos^ regularmenteno Brasil.

Isso tem propiciado mais rápida^ resposta das^ Universidades

no atendimento de .necessidades especiais^ no'^ Setor^ deEner-

gia Elétrica, inclusive^ pela^ imediata^ implantação^ de tais

cursos no País, a mais baixo^ custo e possibilitando am-

pliar a faixa de^ atendimento^ de^ profissionais^ das^ Empre-

sas.

Em uma dessas ações, a ELETROBRÃS^ contratou com

o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de^ Schenectady^ -USA,

a ministração de um curso^ especial em Sistemas Elétricos,

e constante^ dos tópicos^ que^ se^ seguem:

PREFÁCIO

Raros são os livros publicados em português so- bre Sistemas E1étricos de Potência. Isso fez·com que os professores do Departamento de Enge~haria e professores que atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica,da Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio de realizar a estafante, porém, atraente tarefa de tradu- ção, revisão e acompanhamento na impressão do Curso orga- nizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direi- tos de reprodução foram adquiridos pela ELETROBRÃS.

Foi muito valiosa, para a realização desta refa, a união e o espírito de equipe de um conjunto professores que, além de suas atividades docentes, nistrativas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a essa importante tarefa.

ta- de adrni- mais

~ nosso dever deixarmos assinalados os nossos agradecimentos a todos os que contribuiram para a elabo- ração dessa obra. Destacamqs a ajuda prestada pelo Dire- tor do Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benet- ti, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Eiétrica,Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio UFSM/ ELETROBRÃS, Próf. Arlindo Rodrigues Mayer,como também pe- los Professores Waldemar Correi~ Fuentes,Nilton Fabbrin e Norberto V. Oliveira.

Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica -cEEE - tiveram participação destacada, nesta realização, o EngQ Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , e os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to- dos eles Professores visitanres do CPGEE da UFSM.

Nossos agradecimentos às Professoras Neuza Mar- tins Carson e Celina Fleig Mayer e à Jornalista Veronice Lovato Rossato, pelos seus vários serviços de revisão. E à Professora June Magda Scharnberg pelo seu auxílio na or- ganização das fichas catalográficas dos vários volumes.

Nossos agradecimentos, também, aos datilógrafos Ubyrajara Tajes e Wandir Queirós e aos desenhistas Délcio Bolzan, Lauro C. Zügel e Luiz Carlos Menezes·.

Abs Professores Ademir Carnevalli Guimarães ~ Hélio Mokarzel, da Escola Federal de Êngenharia de Itaju- bá, agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradu- ção parcial de alguns dos volumes, os quais serviram como valiosas referências em nosso trabalho.

Finalmente, nossos agradecimentos S.A. - ELET~OBRÃS, por sitados.

é nosso dever deixa-r registrado à Centrais Elétricas (^) Brasileiras seu apoio e confiança em nós depo-

·Derblay Galvão

Reitor

10.3 - Conceitos bãsicos de solução de fluxo de

 - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1 - FUNDAMENTOS PARA A SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ••• SUMÃlllO - Definiçoes e convençoes de redes •••••••••••• ~ Introdu2ão _ - - Grandezas e.A............................... - - Impedância e Admitância ••••••••••••••• ·~;. - - Potência. - - Fontes de tensão e de.-corrente equivalentes. - - Aplicação para grandes red~s •••••••••••••••• - ~ Apálise dos laços (ou malhas) ••••••••••••• - - Análise dos nós (ou barras) ••••••••••••••• - - Matriz admitância..... ~ ~ i - - Matriz impedâilcia ·· 

• Apêndice - ~otas suplementares sobre matrizes ••••••
  • 2. Capítulo

  • 2. - 2 - REDUÇÃO DE REDES E TEOREMAS DE REDES •••••• - - Introdução. - - Quadi;ipolos - - Redução de !:edes ~ •••••.•.••••••••••••••••••• - - Teorema da superposição ••••••••••••••••••••• - - Teorema da reciprocidade •••••••••••••••••••• - - Teorema de Thévenin e de Norton ••••••••••••• - - Teorema de' Norton ••••••.•••••••••••••••••••^4 - - Teorema áo por-unidade •••••••••••••••••••••• - - Quantidades p.u. e transformadores •••••••• 

• Capítulo 3 - EQUIVALENTES DE TRANSFOR!t!ADORES ••••••••••• - 3.1 - Introdução.................................. - enrolamentos.. ....•......................... 3.2 - Equivalente do transformador de dois - 3.3 - Transformadores com enr9lamentos múltiplos •• - 3.5 - Transformadores com TAP ••••••••••••••••••••• 3.4 - Conversão de base ...............•••..•.•..•. 6~ - 3.6 - Relações de espiras não equiparadas ••••••••• - 3.7 - .Autotransformadores ••••.•••••••••.•••••••••• - relação de transformação não nominal •••••••• 3."8 - Equivalente 'li". de transformadores com - complexa .......•... · ................•.......^7 3.9 - Relação de transformação não nominal - 3.10 - Representação de injeção de corrente •.•.•.•. - com relações de transformação não nominais 3.11 - Resumo das representações de transformadores - 4.1 - Cargas fase-fase •...•••.•.•••....•.•..••.••• Capítulo 4 - SISTEMAS TRIFÃSICOS EQUILIBRADOS .•.•.•.•.. Bl - 4.2 - Bases trifásicas •..•••...•.••.•.......•..... - 4.3 - Conexões dos transformadores trifásicos •••••
  • Capítulo 5 - FUNDAMENTOS DE COMPONENTES SI~TRICAS ..•.. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5. - 5.
    • 6. Capítulo

    • 6.  - - Componentes simétricas .••....•.•••..•••••••• - - Componentes de seqüência zero ...•••.•.•.•.•• - - Componentes de seqüência positiva .....•.•.•• - - Componentes de seqüência negativa ..•••.•.••• - - Aplicação em circuitos •..•..••..•..•.......• - - Impedância de neutro e de delta .••..•.•..... - - Impedânci'a de delta .••••...•..•.•.•...•••..• - diagramas de seqüência ....•...••...•......•• - Representação de impedâncias mútuas nos - redes de· seqüência •••. ~.· •..•.••••.•.•.••..•• - Deslocamento angular delta-estrela em - ·transformadores •.•.•..•...•...•..•...••••••• - Impedância de seqüência zero dos - 6 - SOLUÇÃO DE SISTEMA DESEQUILIBRAD0.~······· - - Introdução - - Análise de faltas •.•••.....•••••.••••.•.•..• - - Falta trifásica ...•...•..•.•••.•••..••••.• - - Falta fase-terra •..•..•.....••.••••..••.•• - - Falta fase-fase ••.•.•.•••.••••..••.•.••..• - - Falta de duas fases à terra ..••..••••••..• - - Uma fase aberta - - Duas fases abertas ••.•••....•••••.•.••••.• 

    • 6.3 - Impedâncias de falta ••.••.•.•••.•••••.••••.• - - Falta fase-terra ••...•.••..•••..•••••••••• - - Falta fase-fase •.•...•. ~ .....•••••••••••.• - - Desequilíbrio de impedância em série .••••. - - Cargas desequilibradas .••...•••.••••.•••••
    • 6.4 - Faltas simultâneas ..••.•.••..•••.•.•••.•••.•
    • 6.5 - Método ~~ra~ de soluxãº:····~···············l - - Invariancia de potencia •.•.••••••••.••.••. - falta 6.6 - Método alternativo para impedâncias de
• Capítulo 7 - COMPONENTES ALFA, BETA-E ZER0 .••••.•.•.••. - de componentes simétricas •••••..•..•..•.•••• 7.1 - Componentes alfa, beta e zero, em termos - 7.2 - Impedâncias componentes alfa, beta e zero ••• - 7.3 - Transformadores triângulo-estrela .••..•••.•. - do sistema 7.4 - Representação de faltas e desequilíbrios - - Falta trifãsica ••.••••••.••••.••.••••..•• - - Falta fase-terra •.•••••••..•••••••••••••• - - Falta fase-fas~·················!········ - - Circuito aberto - Fase'a ••••••••••••.•.•• - - Fases b e cem circuito aberto •.••.••••.• - 7. 5 - Aplicações. " ,_. - PERMA.NENT! ••••••••••••••• • ••••••••••••••• Capítulo 8 - RELAÇÕES DE FLUXO DE POT~NCIA EM REGIME - 8 .·1 - Introdução................................. - 8.2 - Diagrama circular de potência do receptor .• - 8.3 - Diagrama circular de potência do transmissor. - 8. 4 - Interpretação geral. •••• -. • • • • • • • • • • • • - 8.5 - Perdas na linha ••••.••••••••••..•..•••....• - 8.6 - Características da linha típica .••.••• , •••• - 8.7 - Carga da impedância de surto ••••••.••.•••.• - 9. Capítulo - 9 .' - 9. - 9. - 9. - 9. - - Compensação reativa em paralelo ••.••.•..• - - Limites de carga. • • • • • • • • • • • • • • • - 9 - APLICAÇÃO DE ANÃLISE DE CIRCUITOS ••.••••• - - Introdução..................... ~ - - MVA de falta .•.....•...•.......••.....• • ••. - - Tensão em relação à terra na fase sem falta - - Bancos de transformadores de aterramento ••• - - Transformador de reserva em um banco ••••••• - autotransformadores ••••.•.•••••.••••••••••• - Correntes nos· enrolamentos de - autot:tansformador.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9.7 - Impedância de neutro em um
• Capítulo 10 - M!Tooos· DE COMPUTAÇÃO DIGITAL •••••••••••
  • 10.1 - Introdução.................................
    • 10.2 - Aná!ise de fluxo ~e carga •••••••••••••••••. - - Método de soluçao •••••••.••••••••••.•••••• - e.e......................................... carga ilustrados em um problema de sist~ma - A - Método iter~tivo de Gauss-Seidel ••••••• - - Critério de.convergência ••••••••••••• - B - Método de Newton-Raphson ••••••••••••••• - barras. - .._ - Exemplo de sistema C.C. de três - C - Método de Ward e Hale ••.•.••••••••••••• - barras. - Exemplo de sistema C.C. de três
  • 10.4 - Programa de fluxo de carga e.A............. - fluxo de carga com base na indutância •••• - Equações .fundamentais para a solução de - - Comentãrios sobre o método deNewton~Raphscn - - Método da matriz de impedância ..•••••..••

CAPÍTULO 1

FUNDAMENTOS PARA A SOLUÇÃO DE CIRCUITOS

1.1 - INTRODUÇÃO

Embora este capítulo seja essencialmente urna revisão de fundamentos, o mesmo é importante para o de- senvolvimento dos capítulos seguintes e deveria ser to- talmente entendido antes de se ir adiante. Ainda que um entendimento superficial da terminologia e nomenclatura seja frequentemente suficiente para trabalhos de rotina, constitui um fraco fundamento para estender os estudos de aspectos mais sofisticados da análise de sistemas de po- tência.

Este capítulo e varies outros serao limitados a circuitos rnonofásicos desde que muitos dos conceitos usados em soluçóes de problemas trifásicos podem ser de- senvolvidos adequadamente em circuitos simples.

1.2 - DEFINIÇÕES E CONVENÇÕES DE REDES

Urna rede consiste de ramos interconectados em nós (barras) corno é mostrado na figural.Ola, onde as bar- ras são numeradas de 1 a 4 e os ramos são denominados de "a" a ,"e".

A cada ramo é dado um sentido arbitrário de referência corno é mostrado na figura 1.01(*). Os ramos na representação de um sistema de potência serão linhas de transmissão, transformadores, reatores e representação de geradores e cargas. Frequentemente um elemento do circui- to físico será representado por vários ramos. A represen- tação ~ de urna linha de transmissão, por exemplo, requer 3 ramos corno mostra a figura l.Olb.

Os ramos das linhas de transmissão sao passi- vos e governados pela lei de Ohm, isto é, se urna corren- te I flui através da impedância z do circuito, no sentido do ramo, a tensão do ramo (tensão na impedância Z) é igual a ZI na direção oposta corno mostra a figura l.Olc,istoé,

(*) O termo topológico para· a figura 1. 01 é "Gráfico ori- entado".

2

Rt: .. RESt:NTA~ÃO DI 111111 CIHU'l·T- l 8RÁ·flCO ORIENTADO) lo l

V= IZ

z P••----4.,____ 1 ....---••q

I

SIENTIDOI Dt: Rt:ft:RiNCIA .. ARA U li RAMO .'PASSIVO (e l

Análise de Circuitos de Sistemas de Potência

z

g

W t:"Rt:lt:NTAÇÂO 'TI" Dt: UMA LINHA Dt: T R A N 111111 Ão ( b)

V.

q

<

.iz P ••--- E, ..,+__""""" t---~eq

---

I

St:~TIDO Dt: Rt:ft:RiNCIA "ARA UM CIRCUITO ATIVO (d)

(e 1

Fig. 1.

4 Análise de Circalt.os de Sistemas de Potência

El =-Va =^ E^ sa -^ I^ a za

E2 = vd = rdzd

E2 =^ V^ e =^ I^ e ze

El^ -^ E2 =^ V b^ = IbZb

1.3 - GRANDEZAS C.A.

As considerações anteriores aplicam-se igualmen- te bem para circuitos de corrente contínua e de corrente· alternada mas é válida uma cuidadosa revisão do significa- do dos símbolos em corrente alternada.

TENSÃO E CORRENTE

As tensões alternadas, por exemplo, variam se- noidalmente com o tempo, isto é:

v = Vmax·coswt (1.02) onde v é o valor instatâneo da tensão, V é o seu valor quando coswt = 1.0 e w =^2 Ilf e- a sua velocidademax angular em radianos por segundo (para sistemas em 60Hz, w = 377). Em geral, as letras minúsculas serão usadas ,so- mente,para valores instantâneos ou transitórios. ~ conveniente representar o valor instantâneo,v, como a projeção de um vetor rotativo,como mostra a figura

'1 ,.., V^ +v

-Y

Fig. 1.

A escolha do eixo para projeção do vetor rotati- vo V é arbitrária,obviamente, e a posição angular instan- tânea do vetor rotativo é de pouco interesse prático,exce- to quando comparado com a posição angular de outros veto- res rotativos. Uma vez que o tempo de "fase" dos vetores rÓta- tivos é de fundamental importância, eles são freqüentamen- te denominados FASORES para distingui-los dos vetores não rotativos.

•• Capítulo 1 Fundamentosparaa solução de circuitos 5

Um fasor de magnitude !vi é frequentemente es-

crito como:

V = V/Wt = V~^ (1.03)

onde V, não tendo o símbolo -, designa apenas a magnitude (ou seja V= !vi>.

Muito embora todos os FASORES sejam considera- dos como girando constantemente no sentido anti-horário, é conveniente desenhá-los em um instante quando (^) algum fa- sor, arbitrariamente escolhido como referência, coincida com o eixo dos x.

Embora a equação (1.03) provavelmente de~creva um fasor da forma mais simples (polar) é útil, muitas ve- zes, usar (^) outras formas. Em coordenadas cartesianas, por exemplo, o mes- mo fasor poderia ser descrito como mostra a equação:

V = v.coswt + jV.sen wt (1.04)

Outra notação resulta da observação antecipando em 200 anos as necessidades dos

eletricistas, que é:

de EULER, engenheiros

+.e cose + jsen8 = e-J onde (^8) é expresso em radianos (*).

Aplicando a equação de Euler à equaçao (1.04) teremos: (1.06)

~ interessante^ ·e pensar em eJ como um ope~ado~

isto é, como tendo uma magnitude unitária mas com um angu-

lo de fase e tal que o produto de ej8 por qualquer fasor, mantém o módulo do fasor invariável mas adianta o seu an- gulo de e radianos. ...

Na equação (1.06); obviamente, 8=wt. e constantemente variando com o tempo. Portanto eJWt girando constantemente, como é o caso d~ um fasor.

está está

são comumente usados em análise de circuitos de potência os seguintes operadores:

j = 1,0 / 90º

a = 1,0 / 120º (1.^ 07)

ej8= 1,0 / e (radianos)

(*) Ha- (^2) n rad' ianos em um circu ~ (^1) o; portanto um radiano é

igual a 3600/2n = 57,3º