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ÁLGEBRA LINEAR

Profª Balbina

Álgebra Vetorial e Geometria em R

2

e R

3

Concluindo os elementos de um vetor são:

módulo,direção e sentido.

Vetores no plano R

2

Em geral, todo vetor v do plano cartesiano

pode ser associado a um par ordenado (a,b)

onde a e b são números reais constituindo

as coordenadas do vetor v.

Cálculo das componentes:

Se v= AB onde A= (x,y) e B= (z,w) então:

v= B-A = (z-x, w-y)

ex: A =(1,-1) e B=(5,1)

Temos que: AB= B-A = (4,2)

Ex: Dados A=(11,-7), B(0,3) e C(-1,1) calcule o vetor:

2AB + 5 BC – CA

Sol: AB= B-A=(0,3) – (11,-7) = (-11,10)

BC = C-B = (-1,1) – (0,3) = (-1,-2)

CA = A-C= (11,-7) – ( -1,1) =(12,-8)

logo: 2(-11,10) + 5(-1,-2) – (12,-8) = (-39,18)

• (^) Vetores no R

3 = {(x,y,z) / x,y e z em R}

Representação geométrica:

C

C

C

B

A

C

D

E

F

OX =eixo das abcissas

OY= eixo das ordenadas

OZ= eixo das cotas

Obs: Se P=(x,y,z) pertence ao R

3

temos que:

P está no plano XY quando z=

P está no plano XZ quando y=

P está no plano YZ quando x=

• (^) Paralelismo entre vetores:

no R

2 : Os vetores v= (x,y) e w= (z,t) são paralelos se:

x/z = y/t

no R

3 : Os vetores v = (x,y,z) e w = (u,h,t) são paralelos

se : x/u = y/h = z/t

• (^) Produto escalar de dois vetores:

no R

2 : Dados u = (x,y) e v =(z,w) então:

u.v = xz + yw

no R

3 : Dados u=(x,y,z) e v=(u,h,t) então:

u.v = xu + yh + zt

ex: (1,2). (-3,4) = -3+8 = 5

Propriedades:

i) u .u = 0 se e somente se u = 0

ii) u.v = v .u

iii) u.(v + w) = u.v + u.w

iv) (ku) .v = u.(kv) k nº real

v) u.u = |u|

2

Versor de um vetor: Dado um vetor v , o versor de v é um

vetor unitário(v’) na mesma direção de v ,dado por:

v’ = v / | v |

ex: Calcule o versor do vetor v= (3,-4).

sol: v’ = (3,-4) / ( 3

2

• (-4)

2 )

½

v’ = (3,-4) / 5  v’ = ( 3/5 , -4/5)

Projeção de um vetor:

Se u e v são vetores e v  0 , temos que:

proj u

v

= (u. v) / v.v^ v^

(componente vetorial de u ao longo de v)

Obs: w

2

= u – proj

v

u é a componente vetorial de u ortogonal a v.

graficamente:

y

v

u

w

2

w

1

w

1

ex: Sendo u(1,2) e v(0,-1) calcule as duas com-

ponentes de u em relação a v.

Produto Vetorial:

Def: Dados u= (a,b,c) e b=(d,e,f)  R

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, então:

u x v =

i j k

a b c

d e f

Propriedades:

i)u x u = 0 ii) u x v =0 

u = 0 ou v = 0 iii) (mu) x v= m(u x v)

iv) u x( v + w)= u x v+ u x w

v) u.(u x v) = v. (u x v) = 0 (u x v é ortogonal a u e v)

vi) Se u0, v 0 e  o ângulo entre u e v, temos que: u x v= u| |v| sen 

vii) |u x v|

2

= | u|

2

| v|

2

• ( u. v)

2

Obs: u x v = - (v x u) (não é comutativo)

u x (v x w)  (u x v) x w ( não é associativo)

Interpretação geométrica do produto vetorial:

Considere o paralelogramo ABCD determinado por u =AB e v = AC

temos que:

D

B

A

C

Temos que: |u x v| = S

ABCD

e portanto: S

triangulo ABC

= ½ | u x v|

u

v

Propriedades do produto misto:

) (u,v,w) = 0  u=0 ou v=0 ou w=

i) u.(v x w) = (u x v) .w

ii) (u,v,w+r) = (u,v,w) + (u,v,r)

v) (u,v,mw) = (u,mv,w) = (mu,v,w) = m(u,v,w) onde m  R

ex: Sendo u=(3,-2,6) , v = (2,-1,0) e w = (1,3,4) calcule (u,v,w).

nterpretação geométrica do produto misto:

O produto misto u.(v x w) é em módulo o volume do paralelepípedo

de arestas determinadas pelos vetores u =AB, v= BC e w = CD.

A

B

D

C

assim: V =| (u,v,w)|

Volume do tetraedro: V = 1/6 | (u,v,w)|