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SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM MOSAICOS
1. Medidas dos ângulos internos dos polígonos regulares convexos, em graus. 2. Cópias congruentes dos seguintes polígonos regulares convexos podem ser unidas por lados concorrentes em volta de um vértice de forma tal que eles rodeiam completamente o vértice sem deixar espaços abertos e sem superposições.
Não é possível fazer mosaico regular com
pentágono regular convexo
Não é possível formar mosaico regular
com heptágono regular convexo
Para rodear um vértice são necessários pelo menos três polígonos iguais; se com três heptágonos
existe superposição então isso acontece com qualquer polígono regular convexo com mais de sete
lados, pois a medida dos ângulos internos aumenta com o número de lados do polígono.
Lados Ângulo interno Lados Ângulo interno 3 60 12 150 4 90 15 156 5 108 18 160 6 120 20 162 7 1284 7
7 10 144 n (^) 180 (1- 2 𝑛 )
3. i. Polígonos regulares convexos tais que as medidas dos seus ângulos internos são divisores de
360º: triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular convexo.
ii. Seis triângulos equiláteros. Quatro quadrados. Três hexágonos regulares convexos
4. Exemplos de mosaicos regulares. 5. Para que um polígono regular convexo de n lados forme um mosaico é necessário que a medida
do ângulo interno do polígono, ou seja, 180 ( 1 - (^2) 𝑛 ), seja um divisor de 360. Portanto existe um
número natural m tal que 180 ( 1 - (^) 𝑛^2 ) = (^360) 𝑚 ; de onde (^) 𝑚^2 + (^) 𝑛^2 = 1.
Logo, (n – 2) (m – 2) = 4 , onde m, n ≥ 3. Resultam os pares de soluções: {3,6}, {4, 4} e {6, 3}, onde em cada par o primeiro número indica o número de lados do polígono e o segundo número indica o número de cópias desse polígono em torno de cada vértice da tesselação. Os únicos mosaicos regulares são os mosaicos achados na Atividade 3.
6. Seja m o número de polígonos regulares concorrendo em um vértice de um mosaico semirregular, logo, m = 𝑚 1 + 𝑚 2 + ... + 𝑚𝑘, onde 𝑚𝑖 é o número de polígonos regulares com ângulo interno igual a 𝜃𝑖 em cada vértice. De onde, 360 = 𝑚 1 𝜃 1 + 𝑚 2 𝜃 2 + ... + 𝑚𝑘𝜃𝑘 ≥ 𝑚 60, porque os ângulos dos polígonos regulares convexos que concorrem em um vértice pelo menos medem 60º. Logo, obtemos 3 ≤ m ≤ 6. Então, em cada tesselação semirregular existe um mínimo de três e um máximo de seis polígonos regulares concorrentes em cada vértice.
8. Se quatro polígonos regulares convexos concorrem em um vértice então as somas das medidas dos seus ângulos internos é igual a 360º; se esses polígonos têm m, n, p e q lados, temos que
180 ( 1 - (^) 𝑚^2 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑛 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑝 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑞 ) = 360; de onde segue (^) 𝑚^1 + (^1) 𝑛 + (^1) 𝑝 + (^1) 𝑞 = 12.
Todos os sete conjuntos de números soluções da equação anterior estão representadas na seguinte tabela.
( ⃰ ) indica que essa configuração de polígonos forma uma tesselação do plano. A solução 17 corresponde a um dos mosaicos regulares. Os arranjos de polígonos restantes tem a característica que a soma de seus ângulos internos em volta de um vértice mede 360º, mas não é possível estender esse padrão a todo o plano. Os polígonos regulares convexos, em arranjo de quatro em cada vértice que formam tesselação semirregular do plano são:
Mosaico Solução Número Ângulo interno Lados
11 1 1 1 1
9. Se cinco polígonos regulares convexos concorrem em um vértice então as somas das medidas dos seus ângulos internos é igual a 360º; se esses polígonos têm m, n, p, q e r lados, temos que
180 ( 1 - (^) 𝑚^2 ) + 180 ( 1 - (^) 𝑛^2 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑝 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑞 ) + 180 ( 1 - (^2) 𝑟 ) = 360; de onde segue 1 𝑚 +^
1 𝑛 +^
1 𝑝 +^
1 𝑞 +^
1 𝑟 =^
1
Todos os três conjuntos de números soluções da equação anterior estão representadas na seguinte tabela.
( ⃰ ) indica que essa configuração de polígonos forma um tesselação do plano.
Os polígonos regulares convexos, em arranjo de cinco em cada vértice que formam tesselação semirregular do plano são:
Observação. Completa o quadro de soluções a número 21 que corresponde ao único arranjo possível de seis polígonos regulares convexos em torno de um vértice; sendo este o caso de seis triângulos equiláteros em volta de cada vértice, onde a soma dos seus ângulos concorrentes em cada vértice é igual a 60 x 6 = 360. Este mosaico formado por triângulos equiláteros é um mosaico regular.
Mosaico Solução Número Ângulo interno Lados
11. Determinação de dois eixos de simetria nos mosaicos semirregulares.
O mosaico semirregular formado por hexágonos regulares convexos e triângulos equiláteros é o único dos oito mosaicos semirregulares que não tem eixo de simetria.
12. Formação de mosaicos unicelulares lado a lado com triângulos. 13. Formação de mosaicos unicelulares lado a lado com retângulos e com paralelogramos.
15. Formação de mosaicos unicelulares lado a lado com quadriláteros convexos que não são paralelogramos. 16. Formação de pavimentações do plano unicelulares lado a lado com os pentágonos irregulares convexos dados.
17. Construção de mosaicos unicelulares lado a lado com os polígonos irregulares não convexos dados.
20. i. Representação de mosaico unicelular não lado a lado formado por triângulos.
ii. Representação de mosaico unicelular não lado a lado formado por quadrados.
21. Construção de mosaico não lado a lado formado com dois tipos de polígonos regulares.
22. Representação de mosaicos unicelulares não lado a lado formados com paralelogramos congruentes.
24. Construção e identificação da pavimentação dual de cada uma das pavimentações regulares.
A pavimentação regular formada por triângulos equiláteros tem uma pavimentação dual formada por hexágonos regulares convexos.
A pavimentação regular formada por quadrados tem uma
pavimentação dual formada por quadrados.
A pavimentação regular formada por hexágonos regulares convexos tem uma pavimentação dual formada por triângulos equiláteros.
Conclusão. A s pavimentações duais das pavimentações regulares também são todas elas
pavimentações regulares.
25. Construção da pavimentação dual de cada uma das pavimentações semirregulares.
27. Análise e classificação das peças ou polígonos que formam os mosaicos e classificação das tesselações do plano representadas nas seguintes gravuras.
- Mosaico irregular formados por quadrados congruentes e por triângulos retângulos isóscele congruentes. - Mosaicos irregulares formados por quadrados de três tamanhos e por triângulos retângulos isósceles congruentes.
- Mosaico regular formado por triângulos equiláteros.
- Mosaicos irregulares não lado a lado, formados por quadrados de dois tamanhos, por triângulos retângulos isósceles de dois tamanhos e por retângulos congruentes.
- Mosaicos irregulares não lado a lado, formados por quadrados de dois tamanhos e por triângulos retângulos isósceles de dois tamanhos. - Mosaico irregular não lado a lado, formado por quadrados de dois tamanhos e por triângulos retângulos isósceles congruentes. - Mosaico irregular não lado a lado, formado por quadrados de dois tamanhos, por triângulos retângulos isósceles congruentes e por retângulos congruentes.
- Mosaico irregular não lado a lado, formado por triângulos retângulos isósceles de dois tamanhos, por retângulos congruentes e por losangos congruentes.
- Mosaico irregular não lado a lado, formado por triângulos equiláteros congruentes e por hexágonos regulares convexos congruentes.
- Mosaico semirregular formado por quadrados congruentes e por octógonos regulares convexos congruentes.
- Mosaico irregular lado a lado formado por triângulos equiláteros congruentes e por hexágonos regulares convexos congruentes.
- Mosaico irregular não lado a lado, formado por triângulos equiláteros congruentes, triângulos retângulos isósceles congruentes, hexágonos regulares convexos congruentes e retângulos congruentes.
- Mosaico irregular lado a lado formado por quadrados congruentes, por triângulos isósceles congruentes e por octógonos congruentes.
- Mosaico irregular não lado a lado formado por triângulos retângulos isósceles congruentes, por retângulos congruentes, por losangos congruentes e por trapézios retângulos de dois tamanhos.
- Mosaico irregular não lado a lado formado por triângulos equiláteros congruentes, losangos congruentes e hexágonos regulares convexos congruentes.
- Mosaico irregular não lado a lado, formado por triângulos retângulos de dois tamanhos, por quadrados de dois tamanhos e por trapézios isósceles congruentes.
