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Solução Guidorizzi Vol 3 Cap 4
Tipologia: Exercícios
Oferta por tempo limitado
Compartilhado em 23/09/2019
4.7
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Exercícios 4.
1. a ) B
Façamos a mudança de variável
x y
cos sen
œÃ ”
dx dy x y d d
Temos
cos cos.
x y
x x
y^ y
sen sen
Logo, dx dy d d .
Vamos determinar B , tal que B ( B ), onde é a transformação .
B {( x, y ) ^2 x^2 y^2 4} B {( , ) ^2 0 2 e 0 2 }
Temos, então,
B
( 2 ) ( cos ) 0
2 0
(^2 2 ) 2 2 sen
0
(^2 ) 0
(^2 ) 0
2 0
(^2 )
cos d d sen d d
c ) B
Façamos a mudança de variável
x y
cos sen
œ Ã
dx dy x y^ d d
cos cos
x y
x x (^) y y
sen sen
Então,
dx dy ^ d d 2
Temos (^) B ( , x y ) ^2 x^ y
2 2
2 1 2
à Ø
œ
Ã
B {( , ) ^2 0 1 e 0 2 }
Para cada fixo em [0, 2 ], varia de 0 a 1 cos .
B
0
2 0
1 2
cos cos d d
0
2 3 0
1 0
2 3 3
cos cos ( cos ) d cos d
0
( cos cos cos ) cos d
1 3
2 0
(^2 ) 0
(^2 ) 0
(^2 )
(utilizando a fórmula de recorrência do Vol. 1, Seção 12.9:
n (^) d n n n
n n d
sen
2 0
2
cos cos
2 3 0
2 sen ˘ sen sen ˚˙^ À
à Ø
cos cos
i ) B
Temos x^2 y^2 x 0 x^2 x y^2
§ À x 1 àØ y 2
2 (^2). (^) Então,
B {( , x y ) ^2 x y }.
2 (^12) 2
(^) À àØ
Façamos a mudança de variável
x y
cos sen
œ Ã
dx dy d d . Temos
B {( , ) ^2 0 1 }. 2
e 0 2
Então,
B B
cos
0
2 0
1 2 2 0
2 2
à Ø
à cos d d cos (^) Ø d.
l ) B
e
B B
sen 4
2 0
sen d d
Então,
B
4
2 0
(^22 )
(^)
sen cos
0
4 3 (^0 )
2 3 0
2 0
4 3 6 4
2 3 3
2
(^)
sen cos sen cos
d d d d.
Observamos que 0
4
3 6 04
2 6
cos
( cos ) cos
d d
Fazendo cos u temos sen d du.
u u
Então 0
4 2 (^6 )
2 2 2 6 2 2
1 2 6
cos
(^) d ( u ) (^) u
du u u
du
c ) 0
1 1 1
1 1 2
2
x
x xy dy dx.
Para cada x fixo em [0, 1], y varia de 1 1 x^2 a 1 1 x^2. Então, a região de integração é:
B {( , x y ) ^2 1 1 x^2 y 1 1 x^2 , 0 x 1 }.
Passando para coordenadas polares x y
cos sen.
œÃ ”
x^2 y^2 2 y fi 2 sen
Então,
0
1 1 1
1 1 0
2 0
(^2 ) 2
2
x
x xy dy dx d d
sen ( sen cos )
0
2 4
0
2 0
2 5 4
sen sen cos d sen cos d
e ) 0 0
2 2 2
2 2 0
a a x
( ).
Para cada x fixo em [0, a ], y varia de 0 até (^) a^2 x^2
Temos B {( , x y ) ^2 0 x a , 0 y a^2 x^2 }.
B (^) {( , ) ^2 0 a , 0 }. 2
Temos:
0 0
2 2 2 a a^2 x^2
0
2 0
a a cos sen d d
De
x y u v
x u
x v y u
y v
segue
dx dy x y u v
du dv du dv
Observamos que a transformação ( u, v ) ( x, y ) dada
por œÃ uv^ ^ ^ yy xx ” é a inversa de ( x, y )^ ^ ( u, v ) dada
por
x v^ u y v^ u
2 2 2 2
œ Ã
‘
” ‘
e que é de classe C^1.
Temos que transforma as retas y x, y x 1, y x 1 e y x , respectivamente, nas retas u 0, v 1, u 1 e v 0. Segue que:
B y x dx dy v u v u
3 2 2 0
1 0
1 3 2 2 2 2 2 2
1 0
(^1 )
uv du dv.
B dx dy B x y x a
y b
2 2
2 2 1 0 0
Façamos a mudança de variável
x a y b
cos sen
œÃ ”
Segue
(cos ). x y
x x (^) y y ab (^2) sen (^2) Então,
dx dy x y d d ab d d
Então, temos
B
0
2 0
1 .
5. a ) Sejam A {( x, y ) ^2 1 x^2 y 2 x^2 , x 0 e y x x^2 } e
B {( u, v ) ^2 1 v 2, v u e u 0}
Consideremos a transformação ( u, v ) ( x, y ) dada por
u x v y x
œ à ”
b ) dm ky dx dy x y
( , )
massa de B^ ky dy^ dy
x
1
1 0
1 2 1
2
1
1 2 0
1 2 1 0
1 2 2
2
k (^) ˙ y (^) dx x (^) dx k x .
B
x
1
1 0
1 2 1 1
(^21 ) 8
(o integrando é função ímpar).
B
x
1
1 0
1 2 (^1 ) 1
1 2 3 2
2 24
Fazendo x sen , dx cos d .
x
x
Então,
B y dm k d k
2 2
3 2 2
(cos ) cos ^2 cos 4 .
Utilizando a fórmula de recorrência
n (^) d n n n
n n d
sen
obtemos
B y dm k
Centro de massa: 0
À ,^ àØ.
c ) dm k x y dx dy x y
( , )
B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1). Passando para coordenadas polares x y
cos sen
œÃ ”
B {( , ) ^2 0 sec , 0 }. 4
Massa de B dm k x y dx dy B B
d d
0
4 0
2 0
4 3 3 6
[ ]
sec k d d k^ sec d k ln( ).
B x dm k d d k d k
04 0 2 4 04 3 (^4) [ 2 1 (^2) ]
sec ( cos ) sec ln( ).
B y dm k d d k
0
4 0
2 0
4 4
sec ( sen ) sen sec 4
k d 4 0
(^4) 3
Fazendo
u u du d u u
sec , sec. ; sec ; sec
tg 0 0 1
4 4
œ
Ã
Então,
B (^) du y dm k d k u du k
4 2 1
(^2 ) sec sec 1 44 2 tg 4 4 3 ( ).
massa de B dm xy dy dy B x
x
B x
x
0
B x
x
0
Centro de massa: ( x (^) c , yc ) ,.
à Ø
f ) Seja B {( x, y ) ^2 1 x^2 y^2 4, y 0}.
Temos dm^ k^ x^ y^ dx dy x y
( , )
Massa de (^) B dm B
Em coordenadas polares:
dm k d d k d d dx dy
Massa de B k d d k 0 1
B
0 1
(^2 ) ( cos ) 0
B
0 1
( sen )
Centro de massa: ( x (^) c , yc ) 0 , 45. À 14
à Ø
3. a ) Sejam B {( x, y ) ^2 x^2 y^2 1} e a reta y x 2
Pelo Teorema de Papus, o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y x 2 do conjunto B {( x, y ) ^2 x^2 y^2 1} é igual ao produto da área de B pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de B.
A área e o centro de massa B são, respectivamente, e (0, 0). A distância de (0, 0) à reta
b ) Sejam B {( x, y ) ^2 x^2 y x } e a reta y x 1.
Façamos a mudança de variável: x y
cos . 2 sen
œ Ã
Temos
cos cos
x y
sen (^1) sen 2 2 2 e
dx dy d d 2
Área de (^) B d d d 0
2 0
1 0
2 2
Evidentemente, ( xc , yc ) (0, 0). A distância de (0, 0) à reta x y 3 é d 3 2 2
; o
comprimento da circunferência é 3 2.
Pelo Teorema de Papus: (^) V 2
2
..
