Soluções comentadas do livro "álgebra linear e suas aplicações - Petronio Pulino", Exercícios de Matemática

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Solu¸c˜oes comentadas do livro “ Algebra Linear e suas´

Aplica¸c˜oes - Petronio Pulino”

Hugo Valad˜ao

hugoaladav@gmail.com

Universidade Estadual de Campinas

11 de Novembro de 2018

Aten¸c˜ao:

As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios deste documento, mesmo tendo sido revisadas, podem conter al- guns erros. Sendo assim, ´e importante lˆe-las com olhar cr´ıtico e com aten¸c˜ao aos erros (leves ou graves) que possam surgir. Caso perceba qualquer erro (inclusive erro de digita¸c˜ao), agradeceria que me notificasse por e-mail para poder corrigir e atualizar o arquivo. Ali´as, este ´e um docu- mento em constante constru¸c˜ao e atualiza¸c˜ao, acesse o link do Google Drive (https://goo.gl/UhPMLv) para ter acesso `a vers˜ao mais recente. Meus agradecimentos a Laryssa Abdala que revisou, corrigiu e sugeriu algumas das solu¸c˜oes deste pdf!

Hugo Valad˜ao hugoaladav@gmail.com

11 de Agosto de 2018

Cap´ıtulo 1

Estruturas Alg´ebricas

Sess˜ao 1.

1.0.1 Exerc´ıcio 1.

(a) (E, ?) n˜ao ´e grupo pois n˜ao satisfaz a propriedade de que todo elemento x ∈ E ´e sime- triz´avel (al´em disso, note que satisfaz todas as outras). Previamente note que o elemento neutro da opera¸c˜ao? ´e e = 0. Agora tome, por exemplo, x = 1: ent˜ao @x′^ ∈ E tal que x? x′^ = e. De fato, pois por absurdo suponha que existe x′^ ∈ E elemento sim´etrico de x = 1. Ent˜ao ter´ıamos que 0 = e = x? x′^ = x + x′^ =⇒ x′^ = −x = − 1 6 ∈ E; Que ´e um absurdo pois assumimos previamente x′^ ∈ E. Logo 1 ∈ E n˜ao ´e simetriz´avel e portanto E munido da opera¸c˜ao? n˜ao tem uma estrutura de grupo (em particular n˜ao tem estrutura de grupo abeliano).

(b) (E, ?) ´e grupo abeliano e vou provar. i)Associatividade de ?: ∀x, y, z ∈ E vale que:

(x? y)? z = (x + y − 1) + z − 1 = x + (y − 1 + z − 1) pela assosiatividade da soma + de Z. = x + (y + z − 1 − 1) pela comutatividade da soma + de Z. = x + (y + z − 1) − 1 pela assosiatividade da soma + de Z. = x? (y? z) pela defini¸c˜ao de ?.

ii)Existˆencia do elemento neutro: Note que ∀x ∈ E vale que (x? y = x ⇐⇒ x + y − 1 = x ⇐⇒ y = 1). e (y? x = x ⇐⇒ y + x − 1 = x ⇐⇒ y = 1). Logo, como y = 1 ∈ E, provamos que x? y = y? x = x ∀x ∈ E, isto ´e, y ´e o elemento neutro de E com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao?

Aten¸c˜ao: as implica¸c˜oes ⇐⇒ est˜ao destacadas entre parˆenteses pois o que vale s˜ao somente as implica¸c˜oes. N˜ao podemos assumir (previamente) que x? y = x para um certo y, mas podemos com certeza assumir que (x? y = x ⇐⇒ x + y − 1 = x) para todo y.

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CAP´ITULO 1. ESTRUTURAS ALG EBRICAS´ 7

iii)Existˆencia dos sim´etricos: Note que ∀x ∈ E vale que (x? x′^ = e ⇐⇒ x + x′^ − 1 = 1 ⇐⇒ x′^ = 2 − x), usando as propriedades da soma + de Z. E tamb´em (x′^? x = e ⇐⇒ x′^ + x − 1 = 1 ⇐⇒ x′^ = 2 − x) Logo dado x ∈ E, x′^ = 2 − x satisfaz a propriedade do elemento sim´etrico e como 2 − x sem- pre pertence a E, temos que x′^ ∈ E e consequentemente todo elemento de E possui elemento sim´etrico em E.

iv)Comutatividade de ?: ∀x, y ∈ E vale que: x? y = x + y − 1 = y + x − 1 = y? x, usando a comutatividade da soma + de Z.

De i), ii), iii) e iv) est´a provado que (E, ?) ´e um grupo abeliano.

(c) (E, ?) ´e grupo abeliano (an´alogo `a letra (b)).

(d) (E, ?) n˜ao ´e grupo abeliano pois tomando x = 1 e y = 0 temos que 2 = x? y 6 = y? x = 1. Logo n˜ao satisfaz a propriedade da comutatividade. Pode-se verificar que tamb´em n˜ao satisfaz a associatividade nem a do elemento neutro (pois o elemento neutro deve ser ´unico para todo x) e portanto tamb´em n˜ao satisfaz a do elemento sim´etrico.

(e) (E, ?) n˜ao ´e grupo abeliano pois n˜ao satisfaz a propriedade do elemento sim´etrico (o sim´etrico deve estar em E para que a propriedade seja satisfeita). Al´em disso, (E, ?) satisfaz todas as ou- tras propriedades.

1.0.2 Exerc´ıcio 1.

i)Associatividade: ∀x, y, z ∈ R vale que: ii)Existˆencia do Elemento Neutro: ∀x ∈ R vale que: (x? y = x ⇐⇒ x + y + 4 = x ⇐⇒ y = −4) e tamb´em (y? x = x ⇐⇒ y + x + 4 = x ⇐⇒ y = −4). Como y = − 4 ∈ R, tenho pela implica¸c˜ao que ele ´e o elementro neutro. iii)Existˆencia dos sim´etricos:∀x ∈ R vale que: (x? x′^ = e ⇐⇒ x + x′^ + 4 = − 4 ⇐⇒ x′^ = −x − 8) e tamb´em (x′^? x = e ⇐⇒ x′^ + x + 4 = − 4 ⇐⇒ x′^ = −x − 8). Como −x − 8 sempre est´a em R tenho que este conjunto com esta opera¸c˜ao satisfaz a propriedade da existˆencia dos sim´etricos. iv)Comutatividade: ∀x, y ∈ R vale que x? y = x + y + 4 = y + x + 4 = y? x, usando a comutatividade da soma + de R. Portanto, segue de i), ii), iii), iv) que (R, ?) possui estrutura de grupo comutativo. 

1.0.3 Exerc´ıcio 1.

(R, ?) n˜ao possui estrutura de grupo comutativo. Ele n˜ao satisfaz nenhuma das 4 propriedades. Associatividade: observando a forma de (x? y)? z e de x? (y? z) chegamos ao contra-exemplo x = y = 0 e z = 1; Para a comutatividade x = 0 e y = 1 serve de contra-exemplo; A existˆencia

CAP´ITULO 1. ESTRUTURAS ALG EBRICAS´ 9

Sess˜ao 1.

1.0.7 Exerc´ıcio 1.

Considere Re(z) = x e Im(z) = y. Temos ent˜ao: √ x^2 + y^2

2 ≥ |x| + |y| ⇐⇒ 2(x^2 + y^2 ) ≥ x^2 + y^2 + 2|xy| ⇐⇒ x^2 + y^2 ≥ 2 |xy| ⇐⇒ x^2 − 2 |xy| + y^2 ≥ 0 ⇐⇒ (|x| − |y|)^2 ≥ 0.

Como vale que (|x| − |y|)^2 ≥ 0 ∀x, y, conseguimos provar o que quer´ıamos.

Aten¸c˜ao: essa demonstra¸c˜ao s´o ´e v´alida pois as implica¸c˜oes s˜ao “ ⇐⇒ ”. As implica¸c˜oes =⇒ s˜ao mais f´aceis de verificar, por´em as ⇐= devem ser verificadas a parte, e muitas vezes elas n˜ao ser˜ao v´alidas! Partir de uma afirma¸c˜ao A e chegar a uma afirma¸c˜ao verdadeira B, n˜ao quer dizer que A ´e necessariamente verdadeira!

1.0.8 Exerc´ıcio 1.

Como i^0 + i^1 + i^2 + i^3 = 1 + i − 1 − i = i^4 + i^5 + i^6 + i^7 = · · · = 0,

∑^100 k=

ik^ = 0 + 0 + · · · + 0 + i^100 = 1

Logo a = 1 e b = 0.

1.0.9 Exerc´ıcio 1.

z = 1 + 2 −^ ii = 1 + 2 −^ ii

( (^) 2 + i 2 + i

= 2 +^ i4 + 1^ + 2i −^1 =^15 +^35 i

Cap´ıtulo 2

Espa¸cos Vetoriais

Sess˜ao 3.

2.0.1 Exerc´ıcio 3.

A1) Comutatividade ∀A, B ∈ Mn(R) vale que: A + B = [aij + bij ] = [bij + aij ] = B + A, usando a comutatividade da soma + dos n´umeros reais.

A2) Associatividade: ∀A, B, C ∈ Mn(R) vale que: (A + B) + C = [(aij + bij ) + cij ] = [aij + (bij + cij )] = A + (B + C), usando a associatividade da soma + dos n´umeros reais.

A3) Elemento Neutro: Sei que para toda matriz A vale que: (A + N = A ⇐⇒ [aij + nij ] = [aij ] ⇐⇒ aij + nij = aij ∀i, j ⇐⇒ nij = 0 ∀i, j ⇐⇒ N = 0). Portanto se N ´e a matriz nula 0 ent˜ao N ´e o elemento neutro do espa¸co vetorial (note que 0 ∈ Mn(R)).

A4) Elemento Sim´etrico: dada matriz A ∈ Mn(R) vale que: (A + A′^ = 0 ⇐⇒ [aij + a′ ij ] = 0 ⇐⇒ aij + a′ ij = 0 ∀i, j ⇐⇒ a′ ij = −aij ⇐⇒ A′^ = −A). Portanto dada A seu sim´etrico aditivo ´e −A.

M1)Associatividade: ∀α, β ∈ R e ∀A ∈ Mn(R) vale que: (αβ) · A = αβ · [aij ] = [(αβ)aij ] = [α(βaij )] = α · [βaij ] = α · (βA), onde usamos a associatividade dos n´umeros reais.

M2) Distributividade para Adi¸c˜ao de Elementos: ∀α ∈ R e ∀A, B ∈ Mn(R) vale que: α · (A + B) = α · [aij + bij ] = [α(aij + bij )] = [αaij + αbij ] = [αaij ] + [αbij ] = α · A + α · B.

M3) Distributividade para a Multiplica¸c˜ao por Escalar: ∀α, β ∈ R e ∀A ∈ Mn(R) vale que: (α + β) · A = (α + β) · [aij ] = [(α + β)aij ] = [αaij + βaij ] = [αaij ] + [βaij ] = α · A + β · A.

M4) Elemento Identidade: ∀A ∈ Mn(R) vale que: (e · A = A ⇐⇒ e · [aij ] = [aij ]) ⇐⇒ [eaij ] = [aij ] ⇐⇒ eaij = aij ∀i, j)

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 12

x + y = (v 1 , w 1 ) + (v 2 , w 2 ) = (v 1 + v 2 , w 1 + w 2 ) pela defini¸c˜ao da soma + em Z = (v 2 + v 1 , w 1 + w 2 ) pois V ´e espa¸co vetorial = (v 2 + v 1 , w 2 + w 1 ) pois W ´e espa¸co vetorial = (v 2 , w 2 ) + (v 1 , w 1 ) pela defini¸c˜ao da soma + em Z = y + x

(x + y) + z = ((v 1 + v 2 , w 1 + w 2 )) + (v 3 , w 3 ) = ((v 1 + v 2 ) + v 3 , (w 1 + w 2 ) + w 3 ) pela defini¸c˜ao da soma + em Z = (v 1 + (v 2 + v 3 ), w 1 + (w 2 + w 3 )) pois V e W s˜ao espa¸cos vetoriais = (v 1 , w 1 ) + (v 2 + v 3 , w 2 + w 3 ) pela defini¸c˜ao de + em Z = x + (y + z) pela defini¸c˜ao de + em Z

A3) Elemento Neutro: Sei que para todo x ∈ Z vale que: x + e = x ⇐⇒ (v 1 , w 1 ) + (e 1 , e 2 ) = (v 1 , w 1 ) ⇐⇒ (v 1 + e 1 , w 1 + e 2 ) = (v 1 , w 1 ) ⇐⇒ 



v 1 + e 1 = v 1 w 1 + e 2 = w 1

e 1 = elemento neutro da soma de V e 2 = elemento neutro da soma de W

Sendo assim, ao tomarmos (e 1 , e 2 ) ∈ Z que ´e o par odenado formado pelo neutro de V e pelo neutro de W , temos o elemento neutro de Z.

A4) Elemento Sim´etrico: dado x = (v 1 , w 1 ) elemento gen´erico de Z, vale que: x + x′^ = (e 1 , e 2 ) ⇐⇒ (v 1 , w 1 ) + (v′ 1 , w′ 1 ) = (e 1 , e 2 ) ⇐⇒ (v 1 + v′ 1 , w 1 + w 1 ′) = (e 1 , e 2 ) ⇐⇒ 



v 1 + v 1 ′ = e 1 w 1 + w′ 1 = e 2

v′ 1 ´e o sim´etrico de v 1 em V w′ 1 ´e o sim´etrico de w 1 em W

Ent˜ao, dado x = (v 1 , w 1 ) seu sim´etrico em Z ´e (v′ 1 , w′ 1 ) como descrito acima.

OBS.: n˜ao ´e necess´ario mostrar v′ 1 como e 1 − v 1 , pois A4 diz somente sobre a existˆencia dos sim´etricos, fato que ´e garantido por V, W serem espa¸cos vetoriais.

M1) Associatividade: ∀α, β ∈ R e ∀x ∈ Z vale que: (αβ)x = (αβ)(v 1 , w 1 ) = ((αβ)v 1 , (αβ)w 1 ) = (α(βv 1 ), α(βw 1 )), onde usamos que V, W possuem multiplica¸c˜ao por escalar associativa.

M2) Distributividade para Adi¸c˜ao de Elementos: ∀α ∈ R e ∀x, y ∈ Z vale que: α(x + y) = α(v 1 + v 2 , w 1 + w 2 ) = (α(v 1 + v 2 ), α(w 1 + w 2 )) = (αv 1 + αv 2 , αw 1 + αw 2 ) = (αv 1 , αw 1 ) + (αv 2 , αw 2 ) = α(v 1 , w 1 ) + α(v 2 , w 2 ) = αx + αy, onde usamos o fato de que V e W s˜ao espa¸cos vetoriais.

M3) Distributividade para a Multiplica¸c˜ao por Escalar: ∀α, β ∈ R e ∀x ∈ Z vale que: (α + β)x = (α + β)(v 1 , w 1 ) = ((α + β)v 1 , (α + β)w 1 ) = (αv 1 + βv 1 , αw 1 + βw 1 ) = (αv 1 , αw 1 ) + (βv 1 , βw 1 ) = αx + βx, onde usamos novamente o fato de que V e W s˜ao ambos espa¸cos vetoriais.

M4) Elemento Identidade: ∀x ∈ Z vale que:

nx = x ⇐⇒ (nv 1 , nw 1 ) = (v 1 , w 1 ) ⇐⇒

nv 1 = v 1 nw 1 = w 1

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 13

Agora como ambos V e W s˜ao espa¸cos vetoriais sobre o corpo F, temos que n = 1F satisfaz as duas equa¸c˜oes e, consequentemente, ´e tamb´em o elemento identidade da multiplica¸c˜ao por esca- lar do espa¸co Z.

Sess˜ao 3.

2.0.4 Exerc´ıcio 3.

Preciso provar que i)H 6 = ∅; ii) H ´e fechado pela soma e iii) H ´e fechado pela multiplica¸c˜ao por escalar.

i): Note que (0, · · · , 0) ∈ H, pois c 1 · 0 + · · · + cn · 0 = 0 =⇒ (0, · · · , 0) ∈ H =⇒ H 6 = ∅.

ii): Dados (x 1 , · · · , xn), (y 1 , · · · , yn) ∈ H quero mostrar que (x 1 , · · · , xn) + (y 1 , · · · , yn) ∈ H. De fato, (x 1 , · · · , xn)+(y 1 , · · · , yn) = (x 1 +y 1 , · · · , xn +yn) e vale que c 1 ·(x 1 +y 1 )+· · ·+cn ·(xn + yn) = (c 1 ·x 1 +· · ·+cn ·xn)+(c 1 ·y 1 +· · ·+cn ·yn) = 0+0 = 0 =⇒ (x 1 , · · · , xn)+(y 1 , · · · , yn) ∈ H.

iii): Analogamente, dado (x 1 , · · · , xn) ∈ H e dado λ ∈ R quero mostrar que λ · (x 1 , · · · , xn) ∈ H. De fato λ · (x 1 , · · · , xn) = (λ · x 1 , · · · , λ · xn) e vale que c 1 · (λx 1 ) + · · · + cn · (λxn) = λ · (c 1 x 1 + · · · + cnxn) = λ · 0 = 0 =⇒ λ · (x 1 , · · · , xn) ∈ H.

Portanto, de i), ii) e iii), est´a provado. 

OBS.: Note que ´e essencial provarmos que H 6 = ∅, pois o conjunto vazio satisfaz ii) e iii) mas n˜ao ´e um espa¸co vetorial!

2.0.5 Exerc´ıcio 3.

i) S 6 = ∅: Note que f = 0C([0,1]) ∈ S, pois

0 0 dx^ = 0. Logo 0C([0,1])^ ∈^ S^ e^ S^6 =^ ∅. ii) S ´e fechado pela soma: Dados f, g ∈ S, temos que

0 (f^ (x) +^ g(x))dx^ =^

∫ 1 0 f^ (x)dx^ + 0 g(x)dx^ = 0 + 0 = 0, pois ambas pertencem a^ S. iii) S ´e fechado pela multiplica¸c˜ao por escalar: Dada f ∈ S e dado λ ∈ R,

0 λf^ (x)dx^ = λ

0 f^ (x)dx^ =^ λ^ ·^ 0 = 0, pois^ f^ ∈^ S. Portanto, de i), ii), e iii) est´a provado que S ´e subespa¸co vetorial de C([0, 1]).

2.0.6 Exerc´ıcio 3.

Note que a matriz nula 0 satisfaz 0t^ = 0 = −0, logo 0 ∈ U, W e portanto U, W 6 = ∅.

i)U ´e fechado pela soma: ∀A, B ∈ U vale que (A + B)t^ = At^ + Bt^ = (A + B), pois A e B est˜ao em U. Portanto A + B ∈ U.

ii)U ´e fechado pela multiplica¸c˜ao por escalar: Dado A ∈ U e λ ∈ R temos que (λA)t^ = λAt^ = λA, portanto λA ∈ U.

E segue que U ´e um subespa¸co vetorial de Mn(R). An´alogo para W.

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 15

2.0.9 Exerc´ıcio 3.

Aqui usamos o abuso de nota¸c˜ao de que u =

 e que v =

Denote o espa¸co gerado pelas colunas da matriz A por U = [A 1 , A 2 ]

onde A 1 =

 e A 2 =

Agora, sabemos que: u ∈ [A 1 , A 2 ] ⇐⇒ Existem escalares c 1 , c 2 tais que u = c 1 A 1 + c 2 A 2

4 c 1 c 1 0

2 c 2 5 c 2 2 c 2

4 c 1 + 2c 2 c 1 + 5c 2 2 c 2

4 c 1 + 2c 2 = 1 c 1 + 5c 2 = 2 2 c 2 = − 8 Ent˜ao para verificar se u est´a no subespa¸co, basta verificar se o sistema de equa¸c˜oes possui solu¸c˜ao para c 1 e c 2. E ao tentar resolver o sistema notamos que ele ´e um sistema imposs´ıvel, portanto u 6 ∈ U. Analogamente para v sabemos que

v ∈ [A 1 , A 2 ] ⇐⇒

4 c 1 + 2c 2 c 1 + 5c 2 2 c 2

4 c 1 + 2c 2 = 6 c 1 + 5c 2 = − 3 2 c 2 = − 2 E como c 1 = 2 e c 2 = −1 resolve o sistema, conclu´ımos que v ∈ U.

2.0.10 Exerc´ıcio 3.

Tenho que mostrar que W = [A 1 , A 2 , A 3 ].

Considere uma matriz gen´erica A =

x y z t

. Sabemos que:

A ∈ W ⇐⇒ A = At^ ⇐⇒

x y z t

x z y t

x = x y = z t = t

Portanto A ∈ W ⇐⇒ A =

x y y t

= x

• t

• y

⇐⇒ A = xA 1 + tA 2 + yA 3 ⇐⇒ A ∈ [A 1 , A 2 , A 3 ] E consequentemente W = [A 1 , A 2 , A 3 ]. 

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 16

Sess˜ao 3.

2.0.11 Exerc´ıcio 3.

Para facilitar nosso trabalho, vamos determinar separadamente um sistema de geradores para U e um sistema de geradores para W. Geradores de U : Dado v = (x, y, z, t) elemento gen´erico de R^4 , ent˜ao v ∈ U ⇐⇒ x + y = 0 e z − t = 0 ⇐⇒ x = −y e z = t ⇐⇒ v = (−y, y, t, t) Logo v = y(− 1 , 1 , 0 , 0) + t(0, 0 , 1 , 1) e U = [( ︸− 1 , (^) ︷︷ 1 , 0 , 0)︸ u 1

u 2

].

Geradores de W : Dado v = (x, y, z, t) elemento gen´erico de R^4 , ent˜ao v ∈ W ⇐⇒ x − y − z + t = 0 ⇐⇒ x = y + z − t ⇐⇒ v = (y + z − t, y, z, t) Logo v = y(1, 1 , 0 , 0) + z(1, 0 , 1 , 0) + t(− 1 , 0 , 0 , 1) e W = [(1 ︸ , (^1) ︷︷, 0 , 0)︸ w 1

w 2

w 3

].

(a) Dado v = (x, y, z, t) elemento gen´erico de R^4 , ent˜ao v ∈ U ∩ W ⇐⇒ v ∈ U e v ∈ W. Portanto existem escalares a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , b 3 tais que: v = a 1 (− 1 , 1 , 0 , 0) + a 2 (0, 0 , 1 , 1), pois v ∈ U ; e v = b 1 (1, 1 , 0 , 0) + b 2 (1, 0 , 1 , 0) + b 3 (− 1 , 0 , 0 , 1), pois v ∈ W. Da´ı, a 1 u 1 + a 2 u 2 = b 1 w 1 + b 2 w 2 + b 3 w 3 , ou seja:

(−a 1 , a 1 , a 2 , a 2 ) = (b 1 + b 2 − b 3 , b 1 , b 2 , b 3 )

Logo temos o sistema

−a 1 = b 1 + b 2 − b 3 a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 2 = b 3

, e vamos resolvˆe-lo para a 1 , a 2 (poder´ıamos ter

escolhido resolvˆe-lo para b 1 , b 2 , b 3 ). Note que a 1 = 0 e a 2 = b 2 ´e uma solu¸c˜ao para o sistema pois satisfaz todas as equa¸c˜oes (se escolhermos as vari´aves ai, as constanstes bi podem ser qualquer valor fixo). Substituindo os valores de a 1 , a 2 que resolvem o sistema (i.e, os valores de a 1 , a 2 para os quais v al´em de estar em U tamb´em est´a em W ), obtemos:

v = b 2 (0, 0 , 1 , 1)

E consequentemente U ∩ W = [(0, 0 , 1 , 1)].

(b) Dado v = (x, y, z, t) elemento gen´erico de R^4 , ent˜ao v ∈ U + W ⇐⇒ v = u + w para algum u ∈ U e w ∈ W.

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 18

2.0.13 Exerc´ıcio 3.

Preciso mostrar que: i) U ∩ W = { (^0) Mn(R)} e ii) U + W = Mn(R).

i) Dada matriz gen´erica A = [aij ], ent˜ao A ∈ U ∩ W ⇐⇒ A ∈ U e A ∈ W. E temos que: A ∈ U ⇐⇒ At^ = A ⇐⇒ aji = aij ∀i, j; e A ∈ W ⇐⇒ At^ = −A ⇐⇒ aji = −aij ∀i, j.

Portanto se A = [aij ] est´a na interse¸c˜ao devemos ter

aij = aji aij = −aji Mas isso s´o acontece se aij = 0 ∀i, j, e portanto A = 0Mn(R). Ent˜ao conclu´ımos que U ∩ W = { (^0) Mn(R)}.

ii) Dada matriz gen´erica A = [aij ], tenho que mostrar que existe uma matriz sim´etrica e uma matriz antissim´etrica tais que A ´e a soma das duas. Agora definimos (a partir da matriz dada A) duas matrizes B e C da seguinte maneira:

B = [bij ], com bij := aij^ + 2 aji ∀i, j

C = [cij ], com cij := aij^ − 2 aji ∀i, j

Note que bij = bji e cij = −cji ∀i, j; e al´em disso aij = bij + cij , o que implica que A = B + C 

OBS.: Na parte ii) poder´ıamos ter tentado exibir os geradores de U e de W e prosseguido de forma similar `a parte ii) do exerc´ıcio 3.24. Por´em, por n˜ao sabermos o valor de n, fica dif´ıcil exi- bir “concretamente” os geradores de U e W. Segue outra solu¸c˜ao poss´ıvel nesse sentido:

Definimos uma matriz Eij = [emn] com emn :=

1, se m = i e n = j 0, caso contr´ario

Agora considere a matriz Bij := Eij + Eji. Observe que Bij ´e sim´etrica ∀i, j e que, al´em disso,

SU = {Bij |i ≤ j}

´e um conjunto de geradores de U. Analogamente definimos Cij := Eij − Eji e obtemos que

SW = {Cij |i < j}

´e um conjunto de geradores de W. Logo U + W = [SU ∪ SW ] e podemos (exaustivamente) terminar a prova por esse caminho obser- vando que Eij = 12 · (Bij + Cij ) e portanto A pode ser (exaustivamente) escrita como combina¸c˜ao linear de elementos de SU ∪ SW.

CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS VETORIAIS 19

2.0.14 Exerc´ıcio 3.

U ∪ W n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de R^2 e vou provar. De fato, ao considerarmos u = (1, 3) ∈ U e w = (1, −2) ∈ W temos que u+w 6 ∈ U ∪W (desenhe!), pois u + w = (2, 1) e 1 6 = 3 · 2 (portanto n˜ao est´a em U ) e tamb´em 1 6 = − 2 · 2 (portanto n˜ao est´a em W ). Logo u + w 6 ∈ U ∪ W , e portanto U ∪ W n˜ao ´e fechado pela soma, logo n˜ao ´e subespa¸co vetorial. 

OBS.: Note que U ∪ W ´e fechado pela multiplica¸c˜ao por escalar.

2.0.15 Exerc´ıcio 3.

O sistema possui como conjunto solu¸c˜ao S = {(x, y, z) ∈ R^3 |x = − 72 z e y = 32 z}. Note que: i) S 6 = ∅ pois (0, 0 , 0) ∈ S ii) Dados v 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) elementos de S, v 1 + v 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) ´e

tal que

x 1 + x 2 = − 7 / 2 z 1 − 7 / 2 z 2 = − 72 (z 1 + z 2 ) y 1 + y 2 = 3/ 2 z 1 + 3/ 2 z 2 = 32 (z 1 + z 2 )

Logo v 1 + v 2 ∈ S.

iii) Dados α ∈ R e v 1 ∈ S, αv 1 = (αx 1 , αy 1 , αz 1 ) satisfaz

αx 1 = α(− 7 / 2 z 1 ) = − 72 (αz 1 ) αy 1 = α(3/ 2 z 1 ) = 32 (αz 1 )

Logo αv 1 ∈ S. De i), ii) e iii) provamos que S ´e um subespa¸co vetorial.

Agora vamos determinar um sistema de geradores para S ∩ U. Note primeiro que S = [(− 7 / 2 , 3 / 2 , 1)] = [(− 7 , 3 , 2)] e que U = [(1, 1 , 0), (− 1 , 0 , 1)]. Agora temos que v ∈ S ∩ U ⇐⇒ v ∈ S e v ∈ U. Isso acontece se (e somente se) ∃s 1 , u 1 , u 2 ∈ R tais que s 1 (− 7 , 3 , 2) = u 1 (1, 1 , 0) + u 2 (− 1 , 0 , 1).

Ent˜ao temos

− 7 s 1 = u 1 − u 2 3 s 1 = u 1 2 s 1 = u 2

⇐⇒ s 1 = 0.

E consequentemente S ∩ U = {(0, 0 , 0)}.

Sess˜ao 3.

2.0.16 Exerc´ıcio 3.

(a) O conjunto n˜ao ´e L.I. pois

x^2 + 2x + 1 = 1 · (x^2 ) + 2 · (x − 1) + 3 · (1)

(b) O conjunto n˜ao ´e L.I. pois

2 x^3 − x^2 = 2 · (x^3 ) − 1 · (x^2 − x) − 1 · (x)