Soluções de exercícios de Vibrações Mecânicas, Exercícios de Mecânica

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9° Período de Engenharia Mecânica

Vibrações Mecânicas

Prof. Marcelo Gomes

Aluno: Jônatas Tavares de Abreu

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

SOLUCÕES DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS

29 de Maio de 2020

Vibrações Mecânicas – Soluções de Exercícios Propostos

VIDEO AULA 1

1. A partir da equação geral de “U”, encontre 𝒖(0) e 𝒖

(0) onde 𝒕 = 𝟎:

SOLUÇÃO:

1

(−𝜉+

√ 𝜉

2

− 1 )𝑤

𝑛

𝑡

2

(−𝜉−

√ 𝜉

2

− 1 )𝑤

𝑛

𝑡

Quando 𝜉 = 1 a constante de amortecimento 𝐶

𝑒𝑞

é maior que a constante de

amortecimento crítico 𝐶

𝑐

, implicando que as raízes são reais e dadas por:

1 , 2

2

𝑛

e a solução da equação diferencial retorna à forma

da equação geral (vide acima).

Aplicando-se as condições iniciais 𝑢 (𝑡 = 0 ) = 𝑢

0

e 𝑢̇ (𝑡 = 0 ) = 𝑣

0

diretamente na equação geral, as constantes de integração são

obtidas como:

1

(−𝜉+√𝜉

2

− 1 )𝑤

𝑛

𝑡

2

(−𝜉−√𝜉

2

− 1 )𝑤

𝑛

𝑡

1

0

2

0

1

2

0

1

2

0

1

0

sendo 𝑢̇ =

𝑑𝑢

𝑑𝑡

𝑛

1

2

𝑛

2

1

0

A Equação do movimento é a soma das soluções homogênea e particular:

ℎ

𝑝

• Solução Particular: 𝑢

𝑝

1

2

. cos (𝛺𝑡)

Nesta expressão, 𝑘

1

e 𝑘

2

são constantes arbitrárias que serão determinadas

substituindo a solução particular na equação diferencial:

1

cos

2

1

sin

2

1

sin

2

2

[𝐾

1

sin

2

] =

𝑚

sin (𝛺𝑡)

1

0

2

2

2

0

2

2

𝑚

sin (𝛺𝑡)

1

0

2

2

𝐹

𝑚

𝑚

e 𝐾

2

𝑝

𝑚

0

2

2

𝑚

0

𝑝

𝐹

𝑘

√ ( 1 −𝑚

𝛺

2

𝑘

)²+(𝑐

𝛺

𝑘

)²

Ou de uma forma mais elegante:

𝑝

2

2

Sendo 𝑟 =

𝛺

𝜔

𝑛

a razão entre as frequências de excitação e natural não-

amortecida e 𝑀(𝑟, 𝜉) o fator de ampliação, que é função da razão 𝑟 e do fator

de amortecimento ξ. Já a fase φ pode ser escrita como:

− 1

2

A solução final da equação do movimento para um sistema sub-amortecido,

0 < 𝜉 < 1 pode ser escrita como:

ℎ

𝑝

ℎ

−𝜉𝜔

𝑛

𝑡

𝑑

2

2

2

VIDEO AULA 3

3. Calcule o valor de "𝒌

𝟏

" a partir da igualdade:

𝒏

𝟏

𝒏

𝒏

𝟐

𝟏

𝒏

𝒏

𝟐𝑲

𝟏

𝒏

𝒏

𝟎

𝒏

para que 𝑼

𝒑

seja igual a: 𝑼

𝒑

𝒇

𝟎

𝟐

𝒏

𝒏

SOLUÇÃO:

0

cos 𝑤𝑡

Dividindo a expressão acima pela massa, 𝑚 então:

𝑛

2

0

A oscilação de um sistema de um grau de liberdade excitado por 𝑓

0

𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 é

observada como sendo na forma:

𝑝

𝑝

2

2

𝑛

2

0

2

𝑛

2

0

Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 não pode ser zero para todo 𝑡 > 0 , então:

Substituindo 𝐴

1

e 𝐴

2

nas equações de 𝑥( 0 ) e 𝑥̇ ( 0 ) a resposta total será:

0

𝑛

𝑛

0

0

𝑛

2

2

) cos 𝜔

𝑛

0

𝑛

2

2

VIDEO AULA 3

4. Resolva uma equação biquadrada abaixo:

𝟒

𝟐

𝟐

𝟐

4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= ± [( 1 − 2 𝜉

2

2

2

+ 1 ]

1

2