Soluçoes livro Controle essencial, Exercícios de Engenharia Elétrica

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Solução de exercícios selecionados

Livro Controle Essencial

2ª edição

Paulo Alvaro Maya e Fabrizio Leonardi

São Bernardo do campo, 2017

SUMÁRIO

• Capítulo 3 – Laplace e Equações Diferenciais
• Capítulo 4 – Função de Transferência
• Capítulo 6 – Sistemas de 1ª e 2ª ordem
• Capítulo 9 – Erros Estacionários
• Representação no espaço de estados

Portanto, ( = (^) . (^) &  & =

0 1  −

0   & +

0  . ∴) =^



. −^

42) Utilizando a tabela de Laplace, obtemos:

2' ( −  )0 − )+0, + 20 ' ( − )0, + 32 ( = (^)  

 (^)    (.  + 10  + 16 = 

 (^)     ^ ( =^

^    .^   . =^

  +^  +^

 3

Para encontrar A s=0  

 (^)      3.  =^

 .  +^ .  +^

 3. ^ →^! =^

 .

Para encontrar B s=-2  

 (^)      3^  + 2 =^

   + 2 +^   + 2 +^

 3  + 2 → # =^

 &

Para encontrar C s=-8  

 (^)      3^.  + 8 =^

 .  + 8 +^ .  + 8 +^

 3.  + 8^ → 5 = − (^) .

Portanto, ( = 

 (^)    .^   . =

0 01  +

6 7  −

6 01  3 ∴) =^

 . +^

 & 

3

sendo s=- 2

sendo s=

sendo s=- 8

Capítulo 4 – Função de Transferência

2) (REPRESENTAÇÃO GRAFICA MATLAB)

POLOS: .  + 2 + 2 ZEROS:  + 4 + 3 = 0

∆= 4 − 4.1.3 = 4

−4 +8 √ 2

10) k=4; zero=-5; polos= 0, -2 e -4.

Num(s): s+

Den(s): s.(s+2).(s+4) = s.(s^2 +6s+8)

EDO: MA> =
 − # + #A? − BA

CA>+# + #A? + BA =
^  C D+# + #  D + B D =  

E F^ =^

 G^  0   H

21)

E F =^

  ^   , sendo F(s)=100Ns^ ^ D =^

  ^  

CONTINUAR

s=

IS = 4.  = 4.0,04 = 0,16

B =

Para o cálculo da resposta a um degrau unitário:

→ ( = T

U.

 +^

Para encontrar A s=0  .  = .  + (^)  .   As=0 = (^) 

Para encontrar Bs=-25  .  + 25 = .  + 25 + (^)  .  + 25  Bs=-25 =− (^) 

Portanto, ( =

V   −

V    ^ ) =^  −^  

A resposta final para um degrau unitário é )∞ = (^)  1 −  L = (^)  = 0,

7) como a=2 e K=5, temos:

• Utilizando a dica dada no exercício:

B

W X −

W

1 − IY → ) =

2 X −

1 −  Y →

) = 2,5Z − 0,51 −  [

• \] =   → ( = <.   → ( = .   =   + ^ -

Para encontrar A s=-2  (^) . (^)    + 2 = (^)    + 2 + ^  -  + 2 As=-2 = &

Para encontrar Cs=0  (^) . (^)    = (^)    + ^  -   Cs=0 =

Para encontra B  (^) . (^)   =

6 7  +^

 (^6)  ^ , usando s=1,por exemplo^ ^

 =^67 +^6 

^ ^ # = −^

 &

Portanto, ( =

6 7  +^

_^67  (^6)  ^ =^

,   −^

,  ^ +^

, ^ ^ ) = 1,25

10) EDO: MA> =
 − #A?

C_? + #_ =
^  C + # = ^  aF = (^) G  ` = (^) GF 

` = (^) GF = (^)  , = (^)  ,   _ = 5 , 

_0 = 5 , .^ = 5b/

 = M

NOPO

M = M

M = 4

A20 = d 5 , ^ e = 5. (^)  , .  , f^200 = 5. (^)  ,   , .^ −  , .^  = 19,86b

EDO: gh? = −i + ih  gh? + i + ih = 0  gjΩs − Ω0m + i + iΩs = 0

Sendo Ω0 = . = 20nN

Ωs = (^) q o.p rV r 0  Ωs = (^) , . ,  , = (^)  ,& h = 20.  ,&

 = M

NOPOM = M

0,4M = 2,5

12) Impulso unitário: 10000.0,01 = 100 s

EDO: C_? =
 − #_  C_? + #_ =
  C + # =   ` = (^) GF

` =  ,  _ = 100 ,

100=A.25  A=

A+B=0  B=-

6ª+C=0  C=-

( = & − (^) & (^) .^ & = & − (^)  &^  &. = 4 x − (^)  ^ . (^) .y = 4 x − z (^)   (^) & + (^)   (^) &{y =

4 x − z (^)   (^) & + (^) & & (^) &{y  ) = 4 x1 − z ^ cos 4 + (^) &  ^ sin 4{y =

4 x1 −  ^ zcos 4 + (^) & sin 4{y

€1 + x&y = &

sin ∅ cos ∅ = tan^

) = 4 T1 −  ^

5 cos 4 +

5 sin 4†U = 4 T1 −  ^

sin∅ cos 4 +

cos∅ sin 4†U

= 4 T1 −  ^

'sin 4 + 53,13,U

b) Do gráfico: )∞ = 4

Da equação:

sin 4 + 53,13 = sin h‡ + ∅ ∴ h‡ = 4 nWe/

‰ =

h‡^ =

∴ O Žná
‘O e‘n_ W nNOW eO NnO’PbW

17) EDO: MA> =
 − #A? − BA

CA> + #A? + BA =
  C D + #  D + B D =   EF = G  H

Sendo  = . ,  D = (^)  . .& = (^)  &. .

D =

 +^

 + 4 +^

Para encontrar A s=0  (^)  &. .  =   + (^)  &  + (^)  - .   As=0 =

Para encontrar Bs=-4  (^)  &. .  + 4 =   + 4 + (^)  &  + 4 + (^)  - .  + 4 

Bs=-4 = − 

Para encontrar Cs=-16  (^)  &^    + 5 =   + 5 + (^)  &  + 5 + (^)  -   + 5 

Cs=-16 = .

D =

6   −

0V   & +

6 1  . ^ A =^

.

A? = _ =

&^ −

.^ =

&^ − .

A> = _? = W = −

& +^640

.

Para _“á” → W = 0

W = 0 = −

&^ +

.^ →

.^

→ 4 =  ^ → ln 4 = 12   = 0,115

Capítulo 9 – Erros Estacionários

∞ = lim→  ,sendo žŸ = 1 − - Ÿ e -Ÿ = (^)  ¢.¡¡

1 +   + 7 + 6^12

£ = 1 −^

  + 7 + 6 + 12 =^

a)

 = T

 U^

∞ = lim →  ¤

b)

 = T

U

∞ = lim →  ¤T

U^

1 +  + 7 + 10^10

Raízes de  + 7 + 20 → j%±√ §m^ ∴ á_P

 £ = 1 −^

 + 7 + 20 =^

 = T

U

∞ = lim →  ¤T

U

Sabendo que: ¦ = (^)  ¡¡ ; = (^) ¨¨ ∴ ; =

™uv uvuv™uv  (^) uvu™uvv™uv07^ =^

% & ^ ^ =^

% &  

Para determinar o erro estacionário:

£^

£^

£^

£^

Sendo  = 0  žŸ = 1 − (^)  %^ % & = žŸ = 

 (^)  ^ ^ % &

a) Tendo, £ = (^) 

 = £ 

 (^)  ^ ^ % & =^

 ^.^

^  ^ ^ % &

∞ = lim → '. , = lim →  ¤

¥ = lim → ¤

b) Tendo, £ = (^) 

 = £ 

 (^)  ^ ^ % & =^

 ^.^

^  ^ ^ % &

∞ = lim → '. , = lim →  ¤

.^

 + 3 + 7 + 14¥ = lim → ^

 + 3 + 7 + 14† →^

1 + . ; ∴ ; =^

B + 2

 + 8 + 100 + B + 2B

1 −  + 8 + 100 + B + 2BB + 2

B + 2

B + 2

Tipo 2

c) Da figura  £ = & ; ¦ =

¯ uuvuv6uv™  (^) uuvuv6uv™¯^ =^

H    % H

Para K=420: žŸ = 1 − (^)   H % H = (^)    %% H

 = T

U

 + 3 + 5 + 7 + B

 + 3 + 5 + 7 + B

∞ = lim →  ¤

 + 3 + 5 + 7 + B

B

Para K=520: como 520>448, o sistema é instável e não é definido erro para sistemas instáveis.

d) Da figura  £ = (^) 

Para K=420: žŸ = 1 − (^)   H % (^) H = (^)    %% (^) H

 = T

U

 + 3 + 5 + 7 + B

  + 3 + 5 + 7 + B

∞ = lim →  ¤

  + 3 + 5 + 7 + B

Para K=520: como 520>448, o sistema é instável e não é definido erro para sistemas instáveis.

Projeto PI por cancelamento do polo estável da planta

1)

;I° = ±. 5 = x²‰ + ³´  y μ

ª 7  ^

 

¶ = ³´  x

³· ³´^  + 1y x^

&  y

³· ³´^  + 1 = 2 + 1 ∴^

³· ³´^ = 2^ (1ª relação)

;I° = ³´  2 + 1 x^

&  y =^

& ³´  (2ª relação)

Como, ¦ = ¡ ¡  =

7 ¸´ u 7 ¸´ u ^

= &³´ & ³´  =^

 u 7¸´ ^

∴ CWPℎW ‘ℎWeW =  &³´

a) Malha aberta: ± =

3 & =^

&   ∴^ CWPℎW !’nW^ = 2, segundo o enunciado GI°ºI F¬SºI‡I = »¼½¾¼ ¿ÀÁÂü^ = 1

Então, GI°ºI F¬SºI‡I = (^) 4²^1  = 1 ∴ ² = 0,

³· ³´^ = 2 =^

³· ,  ∴ ²‰^ = 0,

b) De acordo com o enunciado: IS % = 2 = 4  →  = 0,

E sabendo que GI°ºI F¬SºI‡I = (^) 4²^1  , bO (^) 4²^1  = 0,5 ∴ ²=0,

²‰ ²Å

= 2 =

²‰ 0,

∴ ²‰ = 1

) = A A? = −5A − 6A = 10A + 10@

)? = A A? = A

)> = A A? = A

A? = )⃛

Modelo dinâmico vetorial:

Æ

A?

A?

A?

Ç = Æ

Ç Æ

A

A

A

Ç + Æ

Ç @

Equação de saída:

) = 'A A^ A^ , Æ

Ç

1) a)

) = A A? + 3A + A = @

)? = A A? = A

)> = A?

Modelo dinâmico vetorial:

A?

A ?† = z

−1 −3{ z

A

A { + z

1 { @;^ ) = '1^ 0, z

A

A {

Matrizes:

! = z −1^0 −3^1 { ; # = z^01 { ; 5 = '1 0,  É ≠ 0

b)

2)a) (^)  (^)  (^)   = Ë] → 100@ = )⃛+ 5)> + 15)? + 10)

Mudanças de variável:

) = A

)? = A

)> = A

)⃛= A?

Modelo dinâmico escalar:

Ì

A? = −5A − 15A = 10A + 100@

A> = A

A? = A

Modelo dinâmico vetorial:

Æ

A?

A?

A?

Ç = Æ

Ç Æ

A

A

A

Ç + Æ

Ç @; ) = '1 0 0, Æ

A

A

A

Ç

Matrizes:

! = Æ

Ç ; # = Æ

Ç ; 5 = '1 0 0,  É ≠ 0

b)

c) (^)  (^)   (^)   = ] → 250@ = )⃛+ 7)> + 10)?

) = A A? = 250@ − 7A − 10A

)? = A A? = A

)> = A A? = A

)⃛= A?