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Solutions to the exercises from T.M.Apostol - Calculus, vol.1, Exercícios de Engenharia Informática

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)Engenharia Informática

Exercícios Resolvidos Do Apostol

Tipologia: Exercícios

2011

Compartilhado em 05/04/2011

francisco-bezerra-12
francisco-bezerra-12 🇧🇷

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Solutions to the exercises from T.M.Apostol,
Calculus, vol. 1 assigned to doctoral students in
years 2002-2003
andrea battinelli
dipartimento di scienze matematiche e informatiche “R.Magari”
dell’università di Siena
via del Capitano 15 - 53100 Siena
tel: +39-0577-233769/02 fax: /01/30
e-mail: battinelli @unisi.it
web: http//www.batman vai li
December 12, 2005
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Solutions to the exercises from T.M.Apostol,

Calculus, vol. 1 assigned to doctoral students in

years 2002-

andrea battinelli

dipartimento di scienze matematiche e informatiche “R.Magari”

dell’università di Siena

via del Capitano 15 - 53100 Siena

tel: +39-0577-233769/02 fax: /01/

e-mail: battinelli @unisi.it

web: http//www.batman vai li

December 12, 2005

2

10 CONTENTS

Part I

Volume 1

  • I Volume
  • 1 Chapter
  • 2 Chapter
  • 3 Chapter
  • 4 Chapter
  • 5 Chapter
  • 6 Chapter
  • 7 Chapter
  • 8 Chapter
  • 9 Chapter
  • 10 Chapter
  • 11 Chapter
  • 12 Vector algebra
    • 12.1 Historical introduction
    • 12.2 The vector space of n-tuples of real numbers
    • 12.3 Geometric interpretation for n ≤
    • 12.4 Exercises
      • 12.4.1 n. 1 (p. 450)
      • 12.4.2 n. 2 (p. 450)
      • 12.4.3 n. 3 (p. 450)
      • 12.4.4 n. 4 (p. 450)
      • 12.4.5 n. 5 (p. 450)
      • 12.4.6 n. 6 (p. 451)
    • 12.4.7 n. 7 (p. 451) 4 CONTENTS
    • 12.4.8 n. 8 (p. 451)
    • 12.4.9 n. 9 (p. 451)
    • 12.4.10 n. 10 (p. 451)
    • 12.4.11 n. 11 (p. 451)
    • 12.4.12 n. 12 (p. 451)
  • 12.5 The dot product
  • 12.6 Length or norm of a vector
  • 12.7 Orthogonality of vectors
  • 12.8 Exercises
    • 12.8.1 n. 1 (p. 456)
    • 12.8.2 n. 2 (p. 456)
    • 12.8.3 n. 3 (p. 456)
    • 12.8.4 n. 5 (p. 456)
    • 12.8.5 n. 6 (p. 456)
    • 12.8.6 n. 7 (p. 456)
    • 12.8.7 n. 10 (p. 456)
    • 12.8.8 n. 13 (p. 456)
    • 12.8.9 n. 14 (p. 456)
    • 12.8.10 n. 15 (p. 456)
    • 12.8.11 n. 16 (p. 456)
    • 12.8.12 n. 17 (p. 456)
    • 12.8.13 n. 19 (p. 456)
    • 12.8.14 n. 20 (p. 456)
    • 12.8.15 n. 21 (p. 457)
    • 12.8.16 n. 22 (p. 457)
    • 12.8.17 n. 24 (p. 457)
    • 12.8.18 n. 25 (p. 457)
  • 12.9 Projections. Angle between vectors in n-space
  • 12.10 The unit coordinate vectors
  • 12.11 Exercises
    • 12.11.1 n. 1 (p. 460)
    • 12.11.2 n. 2 (p. 460)
    • 12.11.3 n. 3 (p. 460)
    • 12.11.4 n. 5 (p. 460)
    • 12.11.5 n. 6 (p. 460)
    • 12.11.6 n. 8 (p. 460)
    • 12.11.7 n. 10 (p. 461)
    • 12.11.8 n. 11 (p. 461)
    • 12.11.9 n. 13 (p. 461)
    • 12.11.10 n. 17 (p. 461)
  • 12.12 The linear span of a finite set of vectors
  • CONTENTS
    • 12.13 Linear independence
    • 12.14 Bases
    • 12.15 Exercises
      • 12.15.1 n. 1 (p. 467)
      • 12.15.2 n. 3 (p. 467)
      • 12.15.3 n. 5 (p. 467)
      • 12.15.4 n. 6 (p. 467)
      • 12.15.5 n. 7 (p. 467)
      • 12.15.6 n. 8 (p. 467)
      • 12.15.7 n. 10 (p. 467)
      • 12.15.8 n. 12 (p. 467)
      • 12.15.9 n. 13 (p. 467)
      • 12.15.10 n. 14 (p. 468)
      • 12.15.11 n. 15 (p. 468)
      • 12.15.12 n. 17 (p. 468)
      • 12.15.13 n. 18 (p. 468)
      • 12.15.14 n. 19 (p. 468)
      • 12.15.15 n. 20 (p. 468)
    • 12.16 The vector space Vn (C) of n-tuples of complex numbers
    • 12.17 Exercises
  • 13 Applications of vector algebra to analytic geometry
    • 13.1 Introduction
    • 13.2 Lines in n-space
    • 13.3 Some simple properties of straight lines
    • 13.4 Lines and vector-valued functions
    • 13.5 Exercises
      • 13.5.1 n. 1 (p. 477)
      • 13.5.2 n. 2 (p. 477)
      • 13.5.3 n. 3 (p. 477)
      • 13.5.4 n. 4 (p. 477)
      • 13.5.5 n. 5 (p. 477)
      • 13.5.6 n. 6 (p. 477)
      • 13.5.7 n. 7 (p. 477)
      • 13.5.8 n. 8 (p. 477)
      • 13.5.9 n. 9 (p. 477)
      • 13.5.10 n. 10 (p. 477)
      • 13.5.11 n. 11 (p. 477)
      • 13.5.12 n. 12 (p. 477)
    • 13.6 Planes in euclidean n-spaces
    • 13.7 Planes and vector-valued functions
    • 13.8 Exercises
    • 13.8.1 n. 2 (p. 482) 6 CONTENTS
    • 13.8.2 n. 3 (p. 482)
    • 13.8.3 n. 4 (p. 482)
    • 13.8.4 n. 5 (p. 482)
    • 13.8.5 n. 6 (p. 482)
    • 13.8.6 n. 7 (p. 482)
    • 13.8.7 n. 8 (p. 482)
    • 13.8.8 n. 9 (p. 482)
    • 13.8.9 n. 10 (p. 483)
    • 13.8.10 n. 11 (p. 483)
    • 13.8.11 n. 12 (p. 483)
    • 13.8.12 n. 13 (p. 483)
    • 13.8.13 n. 14 (p. 483)
  • 13.9 The cross product
  • 13.10 The cross product expressed as a determinant
  • 13.11 Exercises
    • 13.11.1 n. 1 (p. 487)
    • 13.11.2 n. 2 (p. 487)
    • 13.11.3 n. 3 (p. 487)
    • 13.11.4 n. 4 (p. 487)
    • 13.11.5 n. 5 (p. 487)
    • 13.11.6 n. 6 (p. 487)
    • 13.11.7 n. 7 (p. 488)
    • 13.11.8 n. 8 (p. 488)
    • 13.11.9 n. 9 (p. 488)
    • 13.11.10 n. 10 (p. 488)
    • 13.11.11 n. 11 (p. 488)
    • 13.11.12 n. 12 (p. 488)
    • 13.11.13 n. 13 (p. 488)
    • 13.11.14 n. 14 (p. 488)
    • 13.11.15 n. 15 (p. 488)
  • 13.12 The scalar triple product
  • 13.13 Cramer’s rule for solving systems of three linear equations
  • 13.14 Exercises
  • 13.15 Normal vectors to planes
  • 13.16 Linear cartesian equations for planes
  • 13.17 Exercises
    • 13.17.1 n. 1 (p. 496)
    • 13.17.2 n. 2 (p. 496)
    • 13.17.3 n. 3 (p. 496)
    • 13.17.4 n. 4 (p. 496)
    • 13.17.5 n. 5 (p. 496)
  • CONTENTS - 13.17.6 n. 6 (p. 496) - 13.17.7 n. 8 (p. 496) - 13.17.8 n. 9 (p. 496) - 13.17.9 n. 10 (p. 496) - 13.17.10 n. 11 (p. 496) - 13.17.11 n. 13 (p. 496) - 13.17.12 n. 14 (p. 496) - 13.17.13 n. 15 (p. 496) - 13.17.14 n. 17 (p. 497) - 13.17.15 n. 20 (p. 497)
    • 13.18 The conic sections
    • 13.19 Eccentricity of conic sections
    • 13.20 Polar equations for conic sections
    • 13.21 Exercises
    • 13.22 Conic sections symmetric about the origin
    • 13.23 Cartesian equations for the conic sections
    • 13.24 Exercises
    • 13.25 Miscellaneous exercises on conic sections
  • 14 Calculus of vector-valued functions
  • 15 Linear spaces
    • 15.1 Introduction
    • 15.2 The definition of a linear space
    • 15.3 Examples of linear spaces
    • 15.4 Elementary consequences of the axioms
    • 15.5 Exercises
      • 15.5.1 n. 1 (p. 555)
      • 15.5.2 n. 2 (p. 555)
      • 15.5.3 n. 3 (p. 555)
      • 15.5.4 n. 4 (p. 555)
      • 15.5.5 n. 5 (p. 555)
      • 15.5.6 n. 6 (p. 555)
      • 15.5.7 n. 7 (p. 555)
      • 15.5.8 n. 11 (p. 555)
      • 15.5.9 n. 13 (p. 555)
      • 15.5.10 n. 14 (p. 555)
      • 15.5.11 n. 16 (p. 555)
      • 15.5.12 n. 17 (p. 555)
      • 15.5.13 n. 18 (p. 555)
      • 15.5.14 n. 19 (p. 555)
      • 15.5.15 n. 22 (p. 555)
    • 15.5.16 n. 23 (p. 555) 8 CONTENTS
    • 15.5.17 n. 24 (p. 555)
    • 15.5.18 n. 25 (p. 555)
    • 15.5.19 n. 26 (p. 555)
    • 15.5.20 n. 27 (p. 555)
    • 15.5.21 n. 28 (p. 555)
  • 15.6 Subspaces of a linear space
  • 15.7 Dependent and independent sets in a linear space
  • 15.8 Bases and dimension
  • 15.9 Exercises
    • 15.9.1 n. 1 (p. 560)
    • 15.9.2 n. 2 (p. 560)
    • 15.9.3 n. 3 (p. 560)
    • 15.9.4 n. 4 (p. 560)
    • 15.9.5 n. 5 (p. 560)
    • 15.9.6 n. 6 (p. 560)
    • 15.9.7 n. 7 (p. 560)
    • 15.9.8 n. 8 (p. 560)
    • 15.9.9 n. 9 (p. 560)
    • 15.9.10 n. 10 (p. 560)
    • 15.9.11 n. 11 (p. 560)
    • 15.9.12 n. 12 (p. 560)
    • 15.9.13 n. 13 (p. 560)
    • 15.9.14 n. 14 (p. 560)
    • 15.9.15 n. 15 (p. 560)
    • 15.9.16 n. 16 (p. 560)
    • 15.9.17 n. 22 (p. 560)
    • 15.9.18 n. 23 (p. 560)
  • 15.10 Inner products. Euclidean spaces. Norms
  • 15.11 Orthogonality in a euclidean space
  • 15.12 Exercises
    • 15.12.1 n. 9 (p. 567)
    • 15.12.2 n. 11 (p. 567)
  • 15.13 Construction of orthogonal sets. The Gram-Schmidt process
  • 15.14 Orthogonal complements. projections
    • finite-dimensional subspace 15.15 Best approximation of elements in a euclidean space by elements in a
  • 15.16 Exercises
    • 15.16.1 n. 1 (p. 576)
    • 15.16.2 n. 2 (p. 576)
    • 15.16.3 n. 3 (p. 576)
    • 15.16.4 n. 4 (p. 576)
  • CONTENTS
  • 16 Linear transformations and matrices
    • 16.1 Linear transformations
    • 16.2 Null space and range
    • 16.3 Nullity and rank
    • 16.4 Exercises
      • 16.4.1 n. 1 (p. 582)
      • 16.4.2 n. 2 (p. 582)
      • 16.4.3 n. 3 (p. 582)
      • 16.4.4 n. 4 (p. 582)
      • 16.4.5 n. 5 (p. 582)
      • 16.4.6 n. 6 (p. 582)
      • 16.4.7 n. 7 (p. 582)
      • 16.4.8 n. 8 (p. 582)
      • 16.4.9 n. 9 (p. 582)
      • 16.4.10 n. 10 (p. 582)
      • 16.4.11 n. 16 (p. 582)
      • 16.4.12 n. 17 (p. 582)
      • 16.4.13 n. 23 (p. 582)
      • 16.4.14 n. 25 (p. 582)
      • 16.4.15 n. 27 (p. 582)
    • 16.5 Algebraic operations on linear transformations
    • 16.6 Inverses
    • 16.7 One-to-one linear transformations
    • 16.8 Exercises
      • 16.8.1 n. 15 (p. 589)
      • 16.8.2 n. 16 (p. 589)
      • 16.8.3 n. 17 (p. 589)
      • 16.8.4 n. 27 (p. 590)
    • 16.9 Linear transformations with prescribed values
    • 16.10 Matrix representations of linear transformations
    • 16.11 Construction of a matrix representation in diagonal form
    • 16.12 Exercises
      • 16.12.1 n. 3 (p. 596)
      • 16.12.2 n. 4 (p. 596)
      • 16.12.3 n. 5 (p. 596)
      • 16.12.4 n. 7 (p. 597)
      • 16.12.5 n. 8 (p. 597)
      • 16.12.6 n. 16 (p. 597)
    • Chapter
  • CHAPTER
  • 4 Chapter
    • Chapter
  • CHAPTER
  • 6 Chapter
    • Chapter
  • CHAPTER
  • 8 Chapter
    • Chapter
  • CHAPTER
  • 10 Chapter