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Teorema de Poisson e suas teorias, Resumos de Direito Civil

Alguns pontos relevantes de serem abordados.

Tipologia: Resumos

2023

Compartilhado em 23/01/2023

Dalvi_Silverio
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Aula 4. Processo de Poisson. Defini¸ao.
Um processo estoc´astico ´e um conjunto de vari´aveis alet´orias ξ(t) que depende de um parˆametro t. O parˆametro
t´e interpretado como o tempo. Quando o tempo t´e fixo, o ob jeto ξ(t) trata-se simplesmente como uma vari´avel
aleat´oria. Qualquer sequˆencia de vari´aveis aleat´orias (por exemplo, X1, X2,· · · , onde cada Xi´e uma v.a. ´e um
processo estoc´astico). Como um exemplo “simples”, consideramos o processo de contagem. O processo N(t) chama-se
de contagem, se ele “conta” quantos eventos ocorreram durante o intervalo de tempo (0, t].
Defini¸ao 1 Um processo de contagem N(t)´e um processo de Poisson com intensidade λ, λ > 0, se
1. N(0) = 0, i.e., em instante inicial, nenhum evento ocorreu;
2. N(t+s)N(s)ao depende do N(s)para quaisquer t, s 0, i.e., o processo tem incrementos independentes;
3. P{N(t+s)N(s) = n}=eλt (λt)n
n!, n = 0,1, . . . , i.e., o umero de eventos que ocorreram durante o tempo t
tem a distribui¸ao de Poisson com edia λt.
Notamos que o terceiro item da Defini¸ao 1 sigifica que os incrementos do processo de Poisson ao estacion´arios: para
quaisquer s1, s2, t en P{N(s1+t)N(s1) = n}=P{N(s2+t)N(s2) = n}.Em particular, se tomarmos s3= 0,
teremos ent˜ao: P{N(s3+t)N(s3) = n}=P{N(t)N(0) = n}=P{N(t) = n}
Ex. 1. Seja N(t) um processo de Poisson com intensidade λ. Qual ´e a edia do umero de eventos que ocorreram at´e
o tempo t?
Solu¸ao. Pelo item primeiro da defini¸ao, temos que N(t) = N(t)N(0). Pelo terceiro item, temos que a distribui¸ao de
diferen¸ca N(t)N(0) ´e de Poisson com edia λt.
Existe uma outra defini¸ao de processo de Poisson.
Defini¸ao 2 Um processo {N(t),t 0}´e um processo de Poisson com intensidade λ, λ > 0,se
1. N(0) = 0;
2. os incrementos dele ao independentes e estacion´arios;
3. P{N(h) = 1}=λh +o(h);
4. P{N(h)2}=o(h).
Ex. 2. As defini¸oes 1 e 2 ao equivalentes.
Solu¸ao. Vamos mostrar primeiro que da Defini¸ao 2 segue a Defini¸ao 1. Seja Pn(t) = P{N(t) = n}.Obtemos a equa¸ao
diferencial para P0(t) da seguinte maneira:
P0(t+h) = P{N(t+h) = 0}=P{N(t)=0, N (t+h)N(t)=0}
=P{N(t) = 0}P{N(t+h)N(t)=0}=P0(t)[1 λh +o(h)].
Logo, obtemos que
P
0(t) = lim
h0
P0(t+h)P0(t)
h= lim
h0(λP0(t) + o(h)
h)=λP0(t).
A solu¸ao desta equa¸ao ´e P0(t) = C eλt.Usando a condi¸ao inicial P0(0) = 1, obtemos a constante C= 1 e
P0(t) = eλt.(1)
De forma similar, para n > 0, obtemos:
Pn(t+h) = Pn(t)P{N(t+h)N(t) = 0}+Pn1(t)P{N(t+h)N(t) = 1}+
+
n
k=2
Pnk(t)P{N(t+h)N(t) = k}=
=Pn(t)[1 λh +o(h)] + Pn1(t)[λh +o(h)] +
n
k=2
Pnk(t)o(h)
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Aula 4. Processo de Poisson. Defini¸c˜ao.

Um processo estoc´astico ´e um conjunto de vari´aveis alet´orias ξ(t) que depende de um parˆametro t. O parˆametro t ´e interpretado como o tempo. Quando o tempo t ´e fixo, o objeto ξ(t) trata-se simplesmente como uma vari´avel aleat´oria. Qualquer sequˆencia de vari´aveis aleat´orias (por exemplo, X 1 , X 2 , · · · , onde cada Xi ´e uma v.a. ´e um processo estoc´astico). Como um exemplo “simples”, consideramos o processo de contagem. O processo N (t) chama-se de contagem, se ele “conta” quantos eventos ocorreram durante o intervalo de tempo (0, t].

Defini¸c˜ao 1 Um processo de contagem N (t) ´e um processo de Poisson com intensidade λ, λ > 0 , se

  1. N (0) = 0, i.e., em instante inicial, nenhum evento ocorreu;
  2. N (t + s) − N (s) n˜ao depende do N (s) para quaisquer t, s ≤ 0 , i.e., o processo tem incrementos independentes;
  3. P {N (t + s) − N (s) = n} = e−λt^ (λt)

n n! , n^ = 0,^1 ,...^ , i.e., o n´umero de eventos que ocorreram durante o tempo^ t tem a distribui¸c˜ao de Poisson com m´edia λt.

Notamos que o terceiro item da Defini¸c˜ao 1 sigifica que os incrementos do processo de Poisson s˜ao estacion´arios: para quaisquer s 1 , s 2 , t e n P {N (s 1 + t) − N (s 1 ) = n} = P {N (s 2 + t) − N (s 2 ) = n}. Em particular, se tomarmos s 3 = 0, teremos ent˜ao: P {N (s 3 + t) − N (s 3 ) = n} = P {N (t) − N (0) = n} = P {N (t) = n}

Ex. 1. Seja N (t) um processo de Poisson com intensidade λ. Qual ´e a m´edia do n´umero de eventos que ocorreram at´e o tempo t?

Solu¸c˜ao. Pelo item primeiro da defini¸c˜ao, temos que N (t) = N (t) − N (0). Pelo terceiro item, temos que a distribui¸c˜ao de diferen¸ca N (t) − N (0) ´e de Poisson com m´edia λt. 

Existe uma outra defini¸c˜ao de processo de Poisson.

Defini¸c˜ao 2 Um processo {N (t), t ≥ 0 } ´e um processo de Poisson com intensidade λ, λ > 0 , se

  1. N (0) = 0;
  2. os incrementos dele s˜ao independentes e estacion´arios;
  3. P {N (h) = 1} = λh + o(h);
  4. P {N (h) ≥ 2 } = o(h).

Ex. 2. As defini¸c˜oes 1 e 2 s˜ao equivalentes.

Solu¸c˜ao. Vamos mostrar primeiro que da Defini¸c˜ao 2 segue a Defini¸c˜ao 1. Seja Pn(t) = P {N (t) = n}. Obtemos a equa¸c˜ao diferencial para P 0 (t) da seguinte maneira:

P 0 (t + h) = P {N (t + h) = 0} = P {N (t) = 0, N (t + h) − N (t) = 0} = P {N (t) = 0}P {N (t + h) − N (t) = 0} = P 0 (t)[1 − λh + o(h)].

Logo, obtemos que

P 0 ′(t) = lim h→ 0

P 0 (t + h) − P 0 (t) h

= lim h→ 0

−λP 0 (t) +

o(h) h

= −λP 0 (t).

A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e P 0 (t) = Ce−λt. Usando a condi¸c˜ao inicial P 0 (0) = 1, obtemos a constante C = 1 e

P 0 (t) = e−λt. (1)

De forma similar, para n > 0, obtemos:

Pn(t + h) = Pn(t)P {N (t + h) − N (t) = 0} + Pn− 1 (t)P {N (t + h) − N (t) = 1} +

∑^ n

k=

Pn−k(t)P {N (t + h) − N (t) = k} =

= Pn(t)[1 − λh + o(h)] + Pn− 1 (t)[λh + o(h)] +

∑^ n

k=

Pn−k(t)o(h)

Logo

P (^) n′(t) = lim h→ 0

Pn(t + h) − Pn(t) h

= −λPn(t) + λPn− 1 (t)

  • lim h→ 0

Pn(t) o(h) h

  • Pn− 1 (t) o(h) h

∑^ n

k=

Pn−k(t) o(h) h

= −λPn(t) + λPn− 1 (t).

A equa¸c˜ao obtida pode ser reescrita da seguinte forma:

eλt[P (^) n′(t) + λPn(t)] = λeλtPn− 1 (t) ou d dt

(eλtPn(t)) = λeλtPn− 1 (t). (2)

Usando indu¸c˜ao matem´atica, vamos mostrar que a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes (2) tem a solu¸c˜ao Pn(t) = e−λt(λt)n/n!. Usando (2) e suposi¸c˜ao da indu¸c˜ao, temos

d dt (eλtPn(t)) =

λntn−^1 (n − 1)! ou eλtPn(t) =

(λt)n n!

+ C.

Pela condi¸c˜ao inicial P 0 (0) = 0, temos que C = 0. 

Ex. 3. Seja N (t) um processo de Poisson com intensidade λ. Seja T 1 o tempo de ocorrˆencia do primeiro evento, e seja Tn, n = 1, 2 ,... , o intervalo temporal entre (n − 1)-´esimo e o n-´esimo eventos. (Se T 1 = 5 e T 2 = 10, ent˜ao os tempos de ocorrˆencia do primeiro evento e do segundo evento s˜ao 5 e 15, respectivamente). Prove que os Tn’s s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdos com a distribui¸c˜ao exponencial com m´edia 1/λ.

Solu¸c˜ao. Provamos primeiro que o instante T 1 tem a distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro λ. Para isso, notamos que o evento {T 1 > t} ocorre se e somente se nenhum evento do processo de Poisson ocorreu durante o intervalo [0, t], assim temos: P {T 1 > t} = P {N (t) = 0} = e−λt. O que prova que T 1 tem distribui¸c˜ao exponencial com o parˆametro λ. Agora, para obter a distribui¸c˜ao de T 2 , notamos que a probabilidade desejada pode ser representada da seguinte forma:

P {T 2 > t} = E[P {T 2 > t | T 1 }]. (3)

Logo P {T 2 > t | T 1 = s} = P {0 eventos ocorreram durante tempo (s, s + t] | T 1 = s} = P {0 eventos ocorreram durante tempo (s, s + t]} = e−λt^ (4)

em que as ´ultimas igualdades s˜ao conseq¨uˆencias de independˆencia e estacionaridade dos incrementos do processo de Poisson. Usando (4), logo calculamos (3):

P {T 2 > t} = E[P {T 2 > t | T 1 }] =

0

P {T 2 > t | T 1 = s}λe−λsds

0

e−λtλe−λsds = e−λt

0

λe−λsds = e−λt



O fato dos tempos entre as ocorrˆencias de um processo de Poisson ter distribui¸c˜ao exponencial n˜ao pode nos surpreender. A suposi¸c˜ao de que o processo possui os incrementos independentes faz o processo em cada incremento “esquecer” o passado, em outras palavras, o processo possui a propriedade de “falta da mem´oria”. A outra vari´avel de interesse ´e saber quando acontece o n-´esimo evento Sn. Temos a seguinte representa¸c˜ao para o tempo de espera Sn : Sn = T 1 +T 2 +· · ·+Tn. Sabemos que a distribui¸c˜ao da soma de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas com distribui¸c˜ao exponencial com intensidade λ ´e gama com parˆametros λ e n. A densidade fSn (t) desta distribui¸c˜ao fica dada por

fSn (t) = λe−λt^

(λt)n−^1 (n − 1)!

, λ > 0. (5)

Podemos obter a densidade (5) atrav´es de outro racioc´ınio. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada ´e a probabilidade de {Sn ≤ t}, que significa que pelo menos n eventos ocorreram at´e o tempo t. Assim, obtemos a f´ormula para fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada:

FSn (t) = P {Sn ≤ t} = P {N (t) ≥ n} =

∑^ ∞

k=n

P {N (t) = k} =

∑^ ∞

k=n

e−λt^

(λt)k k!

Exerc´ıcios dom´esticos. Exerc´ıcios para Lista: 2,3,4,6,12.

  1. Sejam X 1 e X 2 duas vari´aveis aleat´orias independentes assumindo valores inteiros n˜ao-negativos. Suponha que X 1 e X 1 + X 2 tem distribui¸c˜ao de Poisson com parˆametros λ 1 e λ 2 , respectivamente. Mostre que a distribui¸c˜ao de X 2 ´e de Poisson com parˆametro λ = λ 2 − λ 1.
  2. sejam N 1 (t) e N 2 (t) dois processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2 , respectivamente. Sejam t 1 e t 2 (t 1 < t 2 ) dois instantes que correspondem a ocorrˆencias sucessivas do processo N 1 (t). Determine a distribui¸c˜ao de probabilidade da vari´avel aleat´oria Y = N 2 (t 2 ) − N 2 (t 1 ).
  3. Existem dois tipos de chamadas que chegam a um posto telefˆonico. O primeiro tipo requer informa¸c˜oes comerciais e o do segundo tipo n˜ao. Suponha que as chegadas desses dois tipos de chamadas podem ser representadas por processos de Poisson independentes com as taxas λ 1 e λ 2. Qual ´e a probabilidade de que entre duas chamadas n˜ao comerciais cheguem cinco chamadas comerciais?
  4. Numa pesquisa origem-destino realizada numa rodovia decide-se entrevistar cada 15o^ ve´ıculo que passa. Se, no per´ıodo da entrevista, os carros que passam na rodovia seguem um processo de Poisson com taxa λ, determine a distribui¸c˜ao de probabilidades do n´umero de ve´ıculos entrevistados no intervalo [0, t).
  5. N 1 (t) e N 2 (t) s˜ao dois processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2 , respectivamente. Qual ´e a probabilidade de que a 1a^ ocorrˆencia do processo N 1 (t) ocorra antes da 1a^ ocorrˆencia de N 2 (t)?
  6. Passageiros chegam a um ponto final de ˆonibus segundo um processo de Poisson N (t) com m´edia de 3 por minuto. Suponha que um ˆonibus partiu no instante inicial e n˜ao deixou nenhum passageiro na fila. Seja T o tempo que decorre para chegar o pr´oximo ˆonibus e suponha que T ´e independente do processo e tem distribui¸c˜ao uniforme no intervalo (9, 11). Calcule a m´edia e a variˆancia de N (T ).
  7. Seja N (t) um processo de Poisson com m´edia de 3 ocorrˆencias por minuto. Considere 5 ocorrˆencias sucessivas desse processo e determine a probabilidade de que nenhum intervalo entre elas seja superior a 30 segundos.
  8. Seja {N (t), t ≥ 0 } um processo de Poisson com taxa λ. Para h > 0 , fixado, determine a distribui¸c˜ao de proba- bilidades de N (t) dado N (t + h) = n.
  9. Os carros passam na “Ayrton Senna” por um posto de pol´ıcia rodovi´aria. Os carros leves “formam” um processo de Poisson N 1 (t) com intensidade λ 1 = 2 carros por um minuto. Os caminh˜oes “formam” um processo de Poisson N 2 (t) com intensidade de λ 2 = 1 carro por um minuto. Consideramos tamb´em um processo de Poisson N (t) de carros (tanto carros leves como caminh˜oes) que passam pelo posto de pol´ıcia.

(a) Notamos que o processo N (t) pode ser representado como a soma de processos N 1 (t) e N 2 (t). Prove que o processo N (t) ´e um processo de Poisson com intensidade λ 1 + λ 2. (b) Qual ´e a probabilidade de que nenhum carro passe pelo posto de pol´ıcia de 10.00 horas at´e 10.15?

  1. Seja {N (t)}t≥ 0 um processo de Poisson com taxa λ=15. Calcule:

(a) P {N (6) = 9} (b) P {N (6) = 9, N (20) = 13, N (56) = 27}

  1. Sejam 2 processos de Poisson, tendo taxas λ 1 = 1 e λ 2 = 3 respectivamente. Suponha que vamos analisar o valor de cada um deles nos intervalos de tempo [s 1 , t] e [s 2 , t], respectivamente. Calcule os valores de s 1 e s 2 para que os dois processos tenham contado exatamente o mesmo n´umero de ocorrˆencias.
  2. O fluxo de consumidores numa loja ´e descrito por um processo de Poisson com taxa de 25 consumidores por hora. Sabe-se que a propor¸c˜ao de consumidores do sexo feminino ´e de 80%. Qual ´e a probabilidade que nenhum consumidor homem entre nessa loja durante um intervalo de 15 minutos?

Referˆencias

[1] S.M.Ross (1997) Introduction to probability models. Chapter 5.3.