UFPB/CCEN/Departamento de Matem´atica
Introdu¸c˜ao `a An´alise Funcional
Lista 3: Teoremas de Baire, Banach-Steinhaus, Aplica¸c˜ao Aberta e Gr´afico Fechado
1. Mostre que um espa¸co topol´ogico homeomorfo a um espa¸co de Baire ´e tamb´em um
espa¸co de Baire.
2. Mostre que todo conjunto enumer´avel Enum espa¸co m´etrico X´e magro se, e somente
se, En˜ao possui pontos isolados em X.
3. Mostre que Qn˜ao ´e um conjunto Gδem Re que, para cada fun¸c˜ao f:R→Ro conjunto
dos pontos de continuidade de f´e um conjunto Gδ. Conclua que n˜ao existe fun¸c˜ao de
Rem Rtal que o conjunto dos pontos de continuidade seja exatamente Q. Dˆe exemplo
de uma fun¸c˜ao de Rem Rcont´ınua apenas em R/Q.
4. Seja ψ:R→(0,∞). Mostre que existem um intervalo n˜ao vazio (a, b) e um natural n0
tal que {t∈(a, b) : ψ(t)>1
n0
}´e denso em (a, b).
5. Sejam XeYespa¸cos de Banach e seja b:X×Y→Fuma aplica¸c˜ao bilinear. Mostre
que b´e cont´ınua se, e somente se as aplica¸c˜oes lineares x7→ b(x, y) (para cada yfixado)
ey7→ b(x, y) (para cada xfixado) s˜ao cont´ınuas.
6. Prove as seguintes generaliza¸c˜oes do exerc´ıcio anterior:
(a) Se X,YeZs˜ao espa¸cos vetoriais normados e X´e completo, ent˜ao uma aplica¸c˜ao
bilinear b:X×Y→Z´e cont´ınua se, e somente se, as aplica¸c˜oes lineares x7→ b(x, y)
(para cada yfixado) e y7→ b(x, y) (para cada xfixado) s˜ao cont´ınuas.
(b) Se X1, . . . , Xks˜ao espa¸cos de Banach e b:X1×. . . Xk→F´e uma aplica¸c˜ao
multilinear tal que para cada i= 1, . . . , k exj∈Xjfixados com j=i, as aplica¸c˜oes
bi:Xi→F,bi(xi) = b(x1, x2, . . . , xk) s˜ao cont´ınuas ent˜ao b´e cont´ınua.
7. Sejam XeYespa¸cos vetoriais normados e seja T:X→Yuma transforma¸c˜ao linear.
Mostre que T´e cont´ınua se, e somente se, T−1¯
BY(0,1) tem interior n˜ao vazio.
8. Sejam ∥.∥1e∥.∥2duas normas em um espa¸co vetorial Xque o tornam um espa¸co de
Banach. Mostre que se existe C > 0 tal que ∥x∥1≤C∥x∥2para todo x∈Xent˜ao as
duas normas s˜ao equivalentes.
9. Sejam XeYespa¸cos de Banach. Mostre que se T∈L(X, Y ) ´e uma bije¸c˜ao ent˜ao
existem C1eC2tais que
C1∥x∥ ≤ ∥T x∥ ≤ C2∥x∥
1
docsity.com
