Topologia Algebrica, Notas de estudo de Informática

Baixe Topologia Algebrica e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity!

INTRODUC¸ ˜AO `A TOPOLOGIA

ALG ´EBRICA

Mauricio A. Vilches

Departamento de An´alise - IME

UERJ

PREF ´ACIO

Um dos problemas b´asicos da Topologia ´e saber se dois espac¸ ˜os s˜ao homeomorfos ou n˜ao. Na verdade n˜ao existem m´etodos gerais para resolver esta quest˜ao. Verificar se dois espac¸ ˜os s˜ao homeomorfos consiste em encontrar uma func¸ ˜ao cont´ınua, bijetiva com inversa cont´ınua, entre ambos os espac¸os. Agora provar que dois espac¸ ˜os n˜ao s˜ao homeomorfos ´e muito mais complicado pois ´e necess´ario provar que n˜ao existe nenhuma func¸ ˜ao cont´ınua, bijetiva com inversa cont´ınua, entre ambos os espac¸os. A Topologia Alg´ebrica naceu nas ´ultimas d´ecadas do s´eculo XIX, quando no ano de 1894 o eminente matem´atico francˆes Henri Poincar´e apresentou uma s´erie de traba- lhos onde fundamentou a Topologia Alg´ebrica, com o nome de Analisys Situs. Dentre as descobertas de Poincar´e, destacam-se os conceitos de homotopia e de grupo funda- mental, al´em de alguns teoremas, muitos dos quais somente foram provados muitos anos depois (1931), essencialmente por de de Rham. Poincar´e, entendeu que existia uma profunda relac¸ ˜ao entre a estrutura topol ´ogica de um espac¸o e seu grupo fun- damental. Ele, entre outras coisas, tentava estabelecer quando duas superf´ıcies s˜ao homeomorfas ou n˜ao. A id´eia fundamental da Topologia Alg´ebrica ´e associar, de forma un´ıvoca a espac¸os e propriedades topol ´ogicas, estruturas e propriedades alg´ebricas. A vantagem deste tratamento ´e a riqueza que possui a ´Algebra, obtida atrav´es de milˆenios, o que n˜ao acontece com a Topologia. Por exemplo, nos espac¸os topol ´ogicos, os seus elementos n˜ao podem ser somados, j´a a soma de grupos ´e um grupo. Nestas notas, que s˜ao introdut ´orias, associaremos a espac¸os topol ´ogicos, func¸ ˜oes cont´ı- nuas e homeomorfismos, grupos, homomorfismos de grupos e isomorfismos de gru- pos de tal forma que estudando as propriedades alg´ebricas possamos extrair con- sequˆencias sobre a geometria e a topologia do espac¸o em quest˜ao. Por exemplo, ´e pos´ıvel provar que o toro e a garrafa de Klein n˜ao s˜ao homeomorfas, pois seus grupos fundamentais n˜ao s˜ao isomorfos. J´a provar que S^2 e S^3 n˜ao s˜ao homemorfas ´e muito mais dif´ıcil e com os conceitos estudados nestas notas n˜ao ser´a poss´ıvel provar este fato. Nestas notas, exigiremos conhecimentos s ´olidos de Topologia Geral e o m´ınimo em relac¸ ˜ao aos conhecimentos de Teoria dos Grupos. Desejo agradecer ao meu aluno Andr´e T. Machado pela motivac¸ ˜ao de fazer estas notas e de forma muito especial a minha colega professora Maria Luiza Corrˆea pela leitura rigorosa dos mauscritos, al´em dos in ´umeros coment´arios e observac¸ ˜oes, os quais per- mitiram dar clareza aos t ´opicos estudados.

Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro

Conte ´udo

Cap´ıtulo 1

HOMOTOPIA

1.1 Introdu¸c˜ao

Nos cap´ıtulos seguintes, X e Y s˜ao espac¸os topol ´ogicos; I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R e todas as func¸ ˜oes consideradas s˜ao cont´ınuas.

Defini¸c˜ao 1.1. Sejam f, g : X −→ Y func¸ ˜oes, ent˜ao:

1. f e g s˜ao ditas homot ´opicas se existe uma func¸ ˜ao cont´ınua:

H : X × I −→ Y tal que

H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x)

para todo x ∈ X.

2. A func¸ ˜ao H e dita´ homotopia entre f e g.

Observa¸c ˜oes 1.1.

1. A notac¸ ˜ao que se usa para indicar que f e homot ´´ opica a g ´e:

H : f ' g.

8 CAP´ITULO 1. HOMOTOPIA

2. A homotopia entre f e g e uma fam´´ ılia a um parˆametro de func¸ ˜oes cont´ınuas entre X e Y , isto ´e, para cada t ∈ I:

ft : X −→ Y

e cont´ ´ ınua, onde ft(x) = H(x, t).

3. Intuitivamente, a homotopia ”deforma”continuamente f em g.

Exemplo 1.1.

[1] Sejam X = {a}, Y = {a, b} com a topologia discreta e f, g : X −→ Y definidas por f (a) = a e g(a) = b; ent˜ao f n˜ao ´e homot ´opica a g.

[2] Sejam f, g : R −→ R^2 definidas por f (x) = (x, x^2 ) e g(x) = (x, x); logo f ' g.

De fato, definamos a seguinte homotopia:

H : R × I −→ R^2

H(x, t) = (x, x^2 − t x^2 + t x).

Claramente, H e cont´´ ınua, H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ R. Logo:

f ' g.

Figura 1.1: Homotopia entre f e g

10 CAP´ITULO 1. HOMOTOPIA

Proposi¸c˜ao 1.4. Sejam f, g : X −→ Rn^ cont´ınuas; ent˜ao f ' g.

De fato, consideremos:

H :X × I −→ Rn (x, t) −→ (1 − t) f (x) + t g(x).

Logo, H e cont´´ ınua, H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x). Em geral, se E e um espac´ ¸o vetorial normado e f, g : X −→ E s˜ao cont´ınuas, ent˜ao f ' g. De fato, podemos definir a homotopia:

H :X × I −→ E

(x, t) −→ (1 − t) f (x) + t g(x).

Esta homotopia ´e dita linear. A propriedade f ' g ainda ´e v´alida se substituirmos E por um subconjunto convexo C de E.

Proposi¸c˜ao 1.5. (Poincar´e -Bohl) Sejam E um espac¸o vetorial normado e

f, g : X −→ E − { 0 }

cont´ınuas tais que ‖f (x) − g(x)‖ < ‖f (x)‖, para todo x ∈ X; ent˜ao f ' g.

De fato, notemos que a origem n˜ao pertence ao segmento de reta f (x)g(x); caso contr´ario, poder´ıamos ter:

‖f (x) − g(x)‖ = ‖f (x)‖ + ‖g(x)‖ > ‖f (x)‖;

logo, consideramos a homotopia linear:

H(x, t) = (1 − t) f (x) + t g(x),

para todo (x, t) ∈ X × I.

Proposi¸c˜ao 1.6. Denotemos por C

X, Y

o conjunto de todas as func¸ ˜oes f : X −→ Y cont´ınuas. Ser homot ´opica ´e uma relac¸ ˜ao de equivalˆencia em C

X, Y

A ´unica propriedade que n˜ao ´e imediata ´e a transitiva. Sejam H : f ' g e K : g ' h as respectivas homotopias; devemos provar que existe Q : f ' h. Definamos Q : X × I −→ Y por:

Q(x, t) =

H(x, 2 t) se 0 ≤ t ≤ 1 / 2 K(x, 2 t − 1) se 1 / 2 ≤ t ≤ 1.

Q e cont´´ ınua, Q(x, 0) = H(x, 0) = f (x) e Q(x, 1) = K(x, 1) = h(x), para todo x ∈ X.

1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 11

Proposi¸c˜ao 1.7. Sejam f 0 , f 1 ∈ C

X, Y

e g 0 , g 1 ∈ C

Y, Z

tais que f 0 ' f 1 e g 0 ' g 1. Ent˜ao

g 0 ◦ f 0 ' g 1 ◦ f 1 ,

isto ´e, a composic¸ ˜ao de func¸ ˜oes preserva as homotopias.

Novamente, sejam H : f 0 ' f 1 e K : g 0 ' g 1 as respectivas homotopias; ent˜ao defina- mos Q : X × I −→ Z por:

Q(x, t) = K(H(x, t), t).

Q e cont´´ ınua e para todo x ∈ X, temos que:

Q(x, 0) = K(H(x, 0), 0) = K(f 0 (x), 0) =

g 0 ◦ f 0

(x), Q(x, 1) = K(H(x, 1), 1) = K(f 1 (x), 1) =

g 1 ◦ f 1

(x).

1.3 Homotopia e Campos de Vetores na Esfera

Seja:

Sn^ = {x ∈ Rn+1^ / ‖x‖ = 1} ⊂ Rn+

a esfera unit´aria com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1.

Defini¸c˜ao 1.2. Denotemos e definamos por:

a :Sn^ −→ Sn x −→ −x.

A func¸ ˜ao a e dita´ ant´ıpoda.

Proposi¸c˜ao 1.8. Sejam f, g : Sn^ −→ Sn^ cont´ınuas tais que f (x) 6 = −g(x), para todo x ∈ Sn; ent˜ao f ' g.

Consideremos a homotopia:

H(x, t) =

(1 − t) f (x) + t g(x) ‖(1 − t) f (x) + t g(x)‖

H e bem definida e cont´´ ınua pois f (x) 6 = −g(x), para todo x ∈ Sn, o que equivale ao segmento de reta f (x)g(x) n˜ao conter a origem. Por outro lado, H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x), para todo x ∈ Sn.

1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 13

Corol´ario 1.2. Se f : X −→ Sn^ e cont´´ ınua e n˜ao sobrejetiva, ent˜ao f ' c, onde c e uma´ func¸ ˜ao constante.

Prova : Como f n˜ao ´e sobrejetiva, ent˜ao existe y ∈ Sn^ tal que f (x) 6 = y, para todo x ∈ X. Seja c : X −→ Sn^ tal que c(x) = −y, para todo x ∈ X; logo f (x) 6 = −c(x), isto ´e, f ' c.

Defini¸c˜ao 1.3. Um campo de vetores cont´ınuos tangentes a Sn^ e uma func´ ¸ ˜ao cont´ınua:

ν : Sn^ −→ Rn+1^ tal que < ν(x), x >= 0, para todo x ∈ Sn,

onde < , > e o produto interno euclidiano em´ Rn+1. Se ν(x 0 ) = 0, ent˜ao x 0 ´e dita singularidade do campo ν.

Sn

x

ν (x)

Figura 1.3: Campo tangente a Sn

Observa¸c ˜oes 1.2.

1. Se n e ´´ımpar, ent˜ao existe um campo de vetores cont´ınuo, sem singularidades, tangente a Sn.

De fato: como antes consideremos Sn^ ⊂ R^2 k^ e definamos:

ν(x 1 , x 2 ,... , xk, y 1 , y 2 ,... , yk) = (−y 1 , −y 2 ,... , −yk, x 1 , x 2 ,... , xk).

ν e um campo cont´´ ınuo, sem singulariades e tangente a Sn.

2. Se existe um campo de vetores cont´ınuo, sem singularidades e tangente a Sn, ent˜ao a ' idSn^.

De fato. Seja ν o campo e definamos f : Sn^ −→ Sn^ por:

14 CAP´ITULO 1. HOMOTOPIA

f (x) =

x + ν(x) ‖x + ν(x)‖

f e cont´´ ınua e f (x) 6 = x; logo f (x) 6 = −a(x) e f ' a. Por outro lado, seja

H(x, t) =

x + t ν(x) ‖x + t ν(x)‖

H e bem definida;´ H(x, 0) = x, H(x, 1) = f (x) e f ' idSn^. Logo, por transitivi- dade,

a ' idSn^.

Resumindo: em Sn, temos:

1. Se n e ´´ımpar, ent˜ao a ' idSn^.
2. Se existe um campo de vetores cont´ınuo sem singularidades em Sn, ent˜ao:

a ' idSn.

3. E poss´´ ıvel provar, utilizando conceitos mais avanc¸ados, que a ' idSn^ , implica em n ´ımpar.

1.4 Homotopia Relativa

Sejam A ⊂ X, f, g : X −→ Y cont´ınuas tais que f (a) = g(a), para todo a ∈ A.

Defini¸c˜ao 1.4. f e homot ´´ opica a g relativamente a A se existe homotopia:

H :X × I −→ Y tal que H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x), H(a, t) = f (a) = g(a)

para todo a ∈ A e x ∈ X.

16 CAP´ITULO 1. HOMOTOPIA

[2] Denotemos por Rn ∗ = Rn^ − { 0 } e seja:

r :Rn ∗ −→ Rn ∗ x −→ x/‖x‖.

Ent˜ao r 'Sn idRn ∗. De fato, definamos H : Rn ∗ × I −→ Rn ∗ por:

H(x, t) = (1 − t) x + t r(x).

Logo, H(x, 0) = x, H(x, 1) = r(x). Em particular, para todo x 0 ∈ Sn, temos:

H(x 0 , t) = (1 − t) x 0 + t r(x 0 ) = (1 − t) x 0 + t x 0 = x 0.

1.5 Tipo de Homotopia

Neste par´agrafo introduziremos um conceito mais fraco que o de homeomorfismo, o qual nos permitir´a diferenciar espac¸os.

Defini¸c˜ao 1.5. Os espac¸os X e Y tem o mesmo tipo de homotopia ou s˜ao homot ´opicamen- te equivalentes , se existem

f : X −→ Y e g : Y −→ X,

cont´ınuas, tais que:

g ◦ f ' idX e f ◦ g ' idY.

As func¸ ˜oes f e g s˜ao ditas inversas homot ´opicas. Denotaremos os espac¸os com o mesmo tipo de homotopia por:

X ' Y.

Se X e Y s˜ao homeomorfos, ent˜ao X ' Y. A rec´ıproca ´e, claramente, falsa. Ser homo- topicamente equivalente ´e, claramente, uma relac¸ ˜ao de equivalˆencia.

1.6. EXEMPLOS 17

1.6 Exemplos

[1] Rn^ ' { 0 }.

De fato, considere as func¸ ˜oes f : Rn^ −→ { 0 } tal que f (x) = 0 para todo x ∈ Rn^ e g : { 0 } −→ Rn^ a inclus˜ao. Por outro lado, seja H : Rn^ × I −→ Rn^ definida por:

H(x, t) = t x;

H e cont´´ ınua; H(x, 0) = 0 =

g ◦ f

(x) e H(x, 1) = x = idX (x); ent˜ao H : g ◦ f ' idX. Como

f ◦ g

(0) = f (0) = 0 = id{ 0 }(0), f ◦ g = id{ 0 }.

[2] S^1 × R ' S^1 × { 0 } ∼= S^1.

Considere f : S^1 × R −→ S^1 × { 0 } definida por f (x, t) = (x, 0) e g : S^1 × { 0 } −→ S^1 × R a inclus˜ao, isto ´e g(x, 0) = (x, 0). Por outro lado, seja H :

S^1 × R

× I −→

S^1 × R

definida por:

H((x, t), s) = (x, t s);

logo, H ´e cont´ınua e:

H((x, t), 0) = (x, 0) =

g ◦ f

(x, t) H((x, t), 1) = (x, t) = idS (^1) ×R(x, t).

Ent˜ao H : g ◦ f ' idS (^1) ×R. Note que

f ◦ g

(x, 0) = (x, 0) = idS (^1) ×R(x, 0); logo:

f ◦ g = idS (^1) ×R.

S^1 x {0}

S^1 xIR

Figura 1.5: Equivalˆencia entre o cilindro S^1 × R e o c´ırculo S^1

[3] Sn^ ' Rn+1^ − { 0 }.

1.6. EXEMPLOS 19

Definamos:

f : M −→ Σ f ([(x, y)]) = [(x, 1 /2)].

f e bem definida, pois:´

f ([(1, 1 − y)]) = [(1, 1 /2)] = [(1, 1 − 1 /2)] = [(0, 1 /2)] = f ([(0, y)]).

Seja g : Σ −→ M a inclus˜ao; temos que:

( f ◦ g)([(x, 1 /2)]) = [(x, 1 /2)] = idΣ([(x, 1 /2)]).

Definamos:

H : M × I −→ M

H([(x, y)], t) = [(1 − t) (x, y) + t (x, 1 /2)].

0

1

1/

Figura 1.7: Equivalˆencia entre a faixa e o c´ırculo central

H e cont´´ ınua e bem definida. De fato:

H([(0, y)], t) = [(1 − t) (0, y) + t (0, 1 /2)] = [(0, y − t y + t/2)] = [(1, 1 − y + t y − t/2)] = [((1 − t) (1, 1 − y) + t (1, 1 /2))] = H([(1, 1 − y)], t).

Por outro lado:

20 CAP´ITULO 1. HOMOTOPIA

H([(x, y)], 0) = [(x, y)] = idM [(x, y)] H([(x, y)], 1) = [(x, 1 /2)] =

g ◦ f

[(x, y)] =⇒ g ◦ f ' idM.

Proposi¸c˜ao 1.9. Seja

[

X, Y

]

o conjunto das classes de homotopias de func¸ ˜oes cont´ınuas de X em Y. Se X ' X′^ e Y ' Y ′, ent˜ao #

[

X, Y

]

[

X′, Y ′

]

, onde # indica a cardinalidade do conjunto.

Prova : Sejam Ψ : X′^ −→ X e Φ : Y −→ Y ′^ equivalˆencias homot ´opicas. Definamos:

G :

[

X, Y

]

[

X′, Y ′

]

[

f

]

[

Φ ◦ f ◦ Ψ

]

Claramente G e uma bijec´ ¸ ˜ao.

1.7 Espa¸cos Contr´ateis

Defini¸c˜ao 1.6. X e´ contr´atil se X tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto.

Exemplo 1.3.

[1] Rn^ e B[x, r] s˜ao espac¸os contr´ateis.

[2] Em geral, se E e um espac´ ¸o vetorial normado, os conjuntos convexos de E s˜ao contr´ateis. Em particular, E e contr´´ atil.

[3] Seja X um espac¸o topol ´ogico e consideremos CX o cone de X. CX e contr´´ atil. Para detalhes, veja [ MV ]. Definamos:

H : CX × I −→ CX

([(x, t)], s) −→ [(x, (1 − s) t + s)].

Logo, H([(x, t)], 0) = [(x, t)] = idCX ([(x, t)]

e H([(x, t)], 1) = [x, 1], onde [(x, 1)] ´e o v´ertice do cone.

Proposi¸c˜ao 1.10. X e contr´´ atil se, e somente se idX ' c, onde c : X −→ X e a func´ ¸ ˜ao constante c(x) = p, para todo x ∈ X.