Trabalho de vib...ções - digitado - katia glesis machado aguiar-011483, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ – FEPI

Curso de Engenharia Mecânica

Katia Gleses Machado Aguiar

VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO

ITAJUBÁ

SUMÁRIO

• INTRODUÇÃO....................................................................................................
• 1. VIBRAÇÃO...................................................................................................
• 2. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO.............................
  • 2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO....................................................................
  • 2.2 DECREMENTO LOGARÍTMICO..............................................................
  • 2.3 ENERGIA DISSIPADA COM AMORTECIMENTO VISCOSO..................
  • 2.4 SISTEMAS TORCIONAIS COM AMORTECIMENTO VISCOSO.............
• 3. EXEMPLOS PROPOSTOS........................................................................
  • 3.1. EXEMPLO 2.10....................................................................................
  • 3.2 EXEMPLO 2.11....................................................................................
  • 3.2. EXEMPLO 2.12....................................................................................
• REFERÊNCIAS.................................................................................................

INTRODUÇÃO

Os primeiros estudiosos da área de vibração concentrarão seus esforços no entendimento dos fenômenos naturais, e no desenvolvimento de teorias matemáticas que descrevessem a vibração de sistemas físicos. Atualmente o estudo das vibrações vem sendo empregado na engenharia, como projeto de maquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas e sistema de controle. Em todos esses projetos os efeitos das vibrações são sentidos e podem causar algum tipo de falha ou desgaste e até mesmo incomodo aos usuários (RAO, SINGIRESU S, 2008). O estudo das vibrações é de fundamental importância para a engenharia moderna, pois possibilita o conhecimento de maquinas e equipamentos. Através deste conhecimento podemos melhorá-los e consequentemente aumentar o ganho em qualidade, produtividade, entre outros aspectos (RAO, SINGIRESU S, 2008). Na maioria dos casos as vibrações são consideradas como dano, mas há casos em que podemos utiliza-la a favor de aplicações industriais como exemplo podemos citar as esteiras transportadoras, tremonhas, peneiras, compactadores, maquinas de lavar, escovas de dente elétrica, massageadores elétricos entre outros (RAO, SINGIRESU S, 2008).

1. VIBRAÇÃO Denomina-se vibração todo movimento que se repita regular ou irregularmente após um intervalo de tempo. Como exemplo podemos citar o balançar de um pendulo e o movimento de uma corda dedilhada (RAO, SINGIRESU S, 2008). Um sistema vibratório é composto basicamente por um meio para armazenar energia potencial, um meio para armazenar energia cinética e um meio de perda de energia. Estes sistemas podem ser agrupados em discretos e contínuos. Os sistemas discretos são aqueles que podem ser subdivididos em partes de forma que cada uma delas possua um determinado número de graus de liberdade, levando a um número finito de graus de liberdade do sistema global, sendo também chamados de sistemas com parâmetros concentrados (RAO, SINGIRESU S, 2008). Os sistemas contínuos não podem ser divididos, possuindo um número infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos (SOEIRO, 2007). Para descrevermos perfeitamente o movimento de todas as partes que compõem um sistema vibratório quanto a sua posição, velocidade e aceleração se faz necessário o

número mínimo de coordenadas, que denominamos de graus de liberdade, para isso é escolhido de forma arbitrária um sistema de referência (SOEIRO, 2007). Na literatura, as vibrações são classificadas de diversas maneiras, Rao, Singiresu S, (2008) as classifica da seguinte maneira: Vibração livre e forçada; Vibração não amortecida e amortecida; Vibração linear e não linear; Vibração determinística e aleatória. Nesse trabalho abordaremos a vibração livre, mais precisamente a vibração livre com amortecimento viscoso.

2. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO Podemos definir vibração livre como sendo o movimento de sistema sob uma perturbação inicial sem a ação nenhuma outra força após essa perturbação inicial. Quando um sistema vibratório não sofre perda de energia e a amplitude do movimento permanece constante ao longo do tempo durante todo o movimento este sistema é considerado não amortecido, se qualquer energia for perdida dessa maneira o sistema é considerado amortecido (RAO, SINGIRESU S, 2008). Em sistemas amortecidos a energia de vibração é convertida em calor ou som, consequentemente o deslocamento diminui gradativamente. O mecanismo responsável por essa conversão e denominado amortecimento. É difícil denominar as causas do amortecimento em sistemas práticos, para facilitar o seu estudo ele é modelado como Amortecimento viscoso, amortecimento Coulomb ou por atrito seco e Amortecimento material ou solido ou por histerese (SOEIRO, 2007).

Sistema (a) sistema (b) Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso (Adaptado RAO, SINGIRESU S, 2008).

2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO O amortecimento viscoso é mais comumente usado em análise de vibrações. Caracteriza-se pelo atrito entre um solido (uma peça) e um fluido (ar, gás, água e óleo). Neste caso a resistência oferecida pelo fluido ao corpo faz com que a energia seja dissipada (SOEIRO, 2007). O fluido apresenta alta viscosidade, sendo que a força de atrito viscoso é proporcional à velocidade relativa entre o solido e o fluido:

(2.58)

da ordem da grandeza dos parâmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido (SOEIRO, 2007).

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento critico:

Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever

e por consequência

Assim, a solução, da equação (2.64), pode ser escrita como

A natureza das raízes S 1 e S 2 e por consequência o comportamento da solução, Equação (2.69), depende da magnitude do amortecimento. Pode-se mostrar facilmente que para o caso de ζ=0 esta equação se transforma na equação que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento.

Por consequência, admitimos que ζ≠0 e consideramos os três casos seguintes: CASO 1: SISTEMA SUBAMORTECIDO No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico. ( ζ< 0 ou C < Cc ou C/2m < ).

Como consequência tem-se que:

e a solução da equação (2.69), pode ser escrita de formas diferentes:

Onde (C´1 e C´2), (X, ϕ) e (X (^) 0, ϕ0) são constantes arbitrarias e determinadas

pelas condições iniciais.

Para as condições iniciais x(t = 0) = x 0 e ẋ(t = 0)= ẋ 0 , podemos determinar C´1 e C ´2:

a solução torna-se

as constantes (X, ϕ) e (X (^) 0, ϕ0)podem ser expressas como

A frequência de oscilação agora não é mais a frequência natural e sim a chamada frequência da vibração livre amortecida, dada por

Figura 2.22 Solução da subamortecida ( ζ< 0 ou C < Cc ou C/2m < ). (Adaptado de SOEIRO,

CASO 2: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO

( ζ< 1 ou C = C (^) c ou C/2m = ). Nesse caso as duas raízes S1 e S2 da equação (2.68) são iguais: (2.77) Neste caso a solução da equação (2.59) é dado por

para as

condições inicais x(t=0) =x 0 e ẋ(t=0)= ẋ 0

A solução torna-se

negativas, fazendo com que o movimento diminua exponencialmente com o tempo exemplificado na figura 2.24. Podemos comparar os três casos descritos acima e concluir que o movimento oscilatório só acontece em sistemas subamortecidos ( ζ < 1). Sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório, como consequência não há vibração.

2.2 DECREMENTO LOGARÍTMICO O decremento logarítmico, que é consequência de um simples impulso provocado no sistema (em vibração livre) é obtido através da razão entre duas amplitudes sucessivas do sinal (CASSOLINO LC. PEREIA AHA.,2010). Representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida (RAO, SINGIRESU S, 2008). Quando um sistema oscilatório com um grau de liberdade, com amortecimento viscoso é excitado por um impulso sua resposta vem na forma de decaimento no tempo, dada por:

Resposta ao impulso para um oscilador simples (Adaptado de CASSOLINO LC. PEREIA AHA.,2010) Vamos representar t 1 e t 2 os tempos correspondente a duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na figura 2.22. Pela equação (2.70), podemos expressar a razão

(2.83) O decremento pode ser obtido pela equação:

(2.85)

Para pequeno amortecimento, a equação (2.85) pode ser aproximada:

se (2.86)

Figura 2.27 Variação do decremento logarítmico com amortecimento (Adaptado RAO, SINGIRESU S, 2008). O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade é outra forma do fator de amortecimento adimensional ζ. Então

O método de estimativa do amortecimento através do decremento logarítmico funciona a parir da quantificação X 1 e X 2 (amplitudes consecutivas). Na maioria dos casos é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico pode ser calculado da seguinte maneira:

(2.89)

Onde X 1 e X (^) m+1 denotam as amplitudes correspondentes aos tempos t 1 e t (^) m+1= t (^1)

• mτ (^) d`, m é um número inteiro. Então o decremento logaritmo é obtido através de

Resumo das principais informações para a determinação do amortecimento pelo método do decremento logarítmico (Adaptado de CASSOLINO LC. PEREIA AHA.,

A capacidade de amortecimento e o coeficiente de perda são utilizados para comparar a capacidade de amortecimento de materiais em engenharia.

2.4 SISTEMAS TORCIONAIS COM AMORTECIMENTO VISCOSO

Para Sistemas torcionais com amortecimento viscoso podemos utilizar os mesmos métodos apresentados para a equação do movimento e energia dissipada em amortecimento viscoso. Considere o sistema com um grau de liberdade figura (2.29a) o toque (figura (2.29b) será dado por

(2.101)

C (^) t é a constante de amortecimento viscoso por torção e é velocidade angular do disco.

A equação do movimento pode ser derivada como (2.202) Onde J 0 = momento de inercia de massa do disco, k (^) t = constante elástica do sistema. Neste caso a solução da equação (2.102) pode ser determinada como sistemas lineares através da equação

2.103) Assim calculamos

e

(2.105) C (^) t é a constante crítica de amortecimento por torção.

Figura 2.29 Amortecedor viscoso por torção viscoso (Adaptado RAO, SINGIRESU S, 2008).

3. EXEMPLOS PROPOSTOS 3.1. EXEMPLO 2.

Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.00N e está montada sobre uma base que tem uma rigidez de 5x10 6 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000N.s/m. durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (figura 2.30 (a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4. SOLUÇÃO: em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e V (^) t2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va

representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (figura 2.30 (b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá

(E.1) Onde Va1 =0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e V (^) t1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h=2 m:

(E.2)

Ou

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

Figura 2.30 Martelo de forjar viscoso (Adaptado RAO, SINGIRESU S, 2008).

2. EXEMPLO 2. Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (figura 2.31(a)) deve atender as seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliencia na entrada, a curva deslocamento –tempo resultante deve ser como a indicada na (figura 2.31(b)). Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessarias para o amortecedor se o periodo de vibração

amortecida for de 2 s e a amplitude X 1 tiver de ser reduzida a um quarto em um

meio-ciclo (isto é, X (^) 1,5 = X 1 /4).determine tambem a velocidade inicial minima que resulta em um deslocamneto maximo de 250 mm. Aboradgem: usmos a equação para decremento logaritimico em termos do fator de amortecimento, equaçãopara o periodo de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento maximo para um sitema subamortecido e envolve que passa pelos pntos maximos de um sistema subamortecido.

SOLUÇÃO: visto que X1,5 = X 1 /4, X 2 = X1,5/4= X 1 /16. Por consequencia, o

decremento logaritimico torna-se

(E.1)

Pela qual o valor de ζ pode ser determinado como ζ = 0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. por consequência,

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim, a constante de amortecimento é dada por

E a rigidez por

Figura 2.31 amortecedor para uma motocicleta viscoso (Adaptado RAO, SINGIRESU S, 2008).

3.2. EXEMPLO 2.

Analise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na figura 2.32 (2.8). Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte a posição de repouso no menor tempo possível oscilação, ele é forçado a fazer uma translação por traz contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial. SOLUÇÃO:

1. A frequência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento critico (equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela equação (2.78)

Onde C1=X 0 e C 2= ẋ 0 + ω n x0. O tempo t 1 no qual x (t) alcança um valor máximo pode

ser obtido fazendo ẋ (t) = 0. A diferenciação da equação (E.1) dá

Por consequência, ẋ (t) = 0 dá

Nesse caso, x0 = C 1 = 0; por consequência, a equação (E.2) resulta em t1 = 1/

ωn. visto que o valor máximo de x (t) ou a distância de recuo é dada como X máx = 0,

m, temos

Ou

3. Se t 2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação a sua posição inicial, temos

(E.3)

A solução a da equação (E.3) dá t 2 = 0,8258 s.

REFERÊNCIAS

CASSOLINO LC. PEREIA AHA., Informativo Técnico Cientifico; Amortecimento: classificação e métodos de determinação. ATCP Engenharia Física. São Carlos – Brasil – 2010. RAO, SINGIRESU S, Vibrações Mecânicas , 4ª Edição, Editora Pearson Prentice Hall, São Paulo - 2008.