Trabalho de vibrações - digitado - iury fernandes eleoterio-010639, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

IURY FERNANDES ELEOTERIO

VIBRAÇÕES

Prof: Túlio André Paiva

ITAJUBÁ

Sumario

1. Definição de vibrações livre com amortecimento viscoso. a) Equações de movimento; b) Solução desta Equação; c) Decremento de Logarítmico d) Energia Dissipada em amortecimento viscoso  Exemplo 2.  Exemplo 2.  Exemplo 2.

Cuja as raízes são: Estas raízes dão duas soluções para equação (2.590: Assim, a solução geral da Equação (2.59) é dada por uma combinação das duas soluções x1(t) e x2(t) : onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema. b) Soluções das equações Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento. O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical ne Equação (2.62) torna-se zero.

Ou Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico: Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever: E por consequência:

Onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais. Para as condições iniciais x ( t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1e C’2: O movimento descrito pela Equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de

frequência angular√ 1 − ȶ ² wn ; porém, por causa do fator e −^ ȶ^ wnt^ , a amplitude diminui

exponencialmente com o tempo, como mostra a Figura 2.22. A quantidade é denominada a frequência de vibração amortecida. Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida wd é sempre menor do que a frequência natural wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento, dada pela Equação (2.76), é mostrada em gráfico na Figura 2.23. Ocaso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório [2.10].

2º Caso Sistema Criticamente amortecido.

(ȶ = 1 ou c = cc ou c /2 m = √ k / m ). Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da

Equação (2.68)são iguais: Por causa das raízes repetidas a solução da Equação (2.59) é dada por [2.6]¹.

Com s2 < s1. Nesse caso a solução, Equação (2.69), pode ser expressa como Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos obter as constantes C1 e C2: A Equação (2.81) mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a figura 2.24. Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1. A natureza das raízes s1 e s2 com a variação dos valores da amortecimento c ou ȶ pode ser mostrada em um plano complexo. Na Figura 2.25, os eixos horizontal e vertical são escolhidos como eixo real e imaginário. O semicirculo representa o lugar geométrico das raízes s1 e s2 para diferentes valores de ȶ na faixa 0 < ȶ < 1. Essa figura parmite-nos ver instantaneamente o efeito do parâmetro ȶ no comportamento do sistema. Constamos que, para ȶ =0, obtemos as raízes imaginárias s 1 = + iwn e s2 = -iwn, o que resulta na solução dada na Equação (2.15). Para 0< ȶ < 1, as raízes s1 e s2 são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real. À medida que o valor ȶ aproxima-se do ponto – wn no eixo real. Se ȶ > 1, ambas as raízes estão no eixo real, uma crescendo e outra descrescendo. No limite quando ȶ → ∞, s1 → 0 e s2 → -∞. Pode-se ver que o valor ȶ = 1 representa um estágio de

transição, abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais.

2. Um sistema criticamente amortecido teráo menor amortecimento requerido para o movimento aperiódico; por consequência a massa retorna à posição de repousono menor tempo possível, sem ultrapassar o limite. A propriedade de amortecimento crítico é usada em muitas aplicações práticas. Por exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico, para que voltem a sua posiçaõ inicial após o recuo no tempo mínimo, sem vibrar. Se o amortecimento frnecido fosse maior que o valor crítico, haveria alguma demora antes do próximo tiro.
3. A resposta amortecida livre de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura 2.26. c) Decrescimento logarítmico O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t 1 e t 2 os tempos correspondentes e duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na Figura 2.22. Pela Equação (2.70), podemos expressar a razão.

Porém, t2=t1+Ƭd onde Ƭd=2 π /ῳd é o período de vibração amortecida. Pord é o período de vibração amortecida. Por

consequência, cos(ῳd é o período de vibração amortecida. Pordt 2 -ϕ) = cos(2) = cos(2 π +ῳd é o período de vibração amortecida. Pordt 1 -ϕ) = cos(2) = cos(ῳd é o período de vibração amortecida. Pordt 1 -ϕ) = cos(2) e a Equação (2.83) pode ser

escrita como.

Se usarmos a Equação (2.86) em vez da Equação (2.85), temos (2.88). Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x 1 e x 2 .Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos. Pela Equação (2.87), podemos calcular o fator de amortecimento. Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois deslocamentos separados por qualquer número completo de ciclos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos. FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento. (2.89) Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por uma ciclo satisfazem a equação.

A Equação (2.89) torna-se (2.91) As Equações (2.91) e (2.85) dão (2.92) que pode ser substituído na Equação (2.87) ou Equação (2.88) para obter o fator de amortecimento viscoso. c) Energia dissipada em amortecimento viscoso Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo(dW/dt) é dada por (2.93) pela Equação (2.58).O sinal negativo na Equação (2.93) denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem ῳd é o período de vibração amortecida. Pordt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por². ² No caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)=X cos ῳdt só é possível quando a resposta de regime permanente é considerada sob uma força harmônica de frequência ῳd (ver Seção 3.4). A perda de energia devida ao amortecedor é fornecida pela excitação sob vibração forçada em regime permanente[2.7].

FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo. pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade * é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia. Outra quantidade, conhecida como coeficiente de perda, também é usada para comparar. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação: coeficiente de perda (2.100) Exempli 10 Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m: Ou Assim, a Equação torna-se: Isto é: A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

Exempolo 11 Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X 1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, X1,5 = X 1 /4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm. Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido. Solução: Visto que X1,5 = X 1 /4, X 2 = X1,5/4 = X 1 /16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se pela qual o valor de pode ser determinado como =0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. Por consequência, A constante de amortecimento crítico obtida por: Assim a constante de amortecimento e a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t 1 FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta. Ou O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por Já que X = 250 mm, em t ou A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento