CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI
Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período
LUIZ CARLOS BAPTISTA GOMES
012010
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
ITAJUBÁ
2017
2.6- Vibração livre com amortecimento viscoso
2.6.1 Equação de movimento
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Equação de Movimento: Amortecimento Viscoso, Trabalhos de Engenharia Mecânica
Este documento aborda a equação de movimento de um sistema de grau de liberdade amortecido por força viscosa. O texto explica a expressão da força de amortecimento, a solução da equação diferencial e as diferentes formas de movimento dependentes do fator de amortecimento. Além disso, são apresentados métodos para determinar o fator de amortecimento a partir de medições de deslocamento.
O que você vai aprender
- Qual é o significado do fator de amortecimento e como se calcula?
- Como se calcula o coeficiente de perda em torção?
- Qual é a energia dissipada em amortecimento viscoso?
- Qual é a expressão da força de amortecimento viscoso?
- Como se obtém a solução da equação diferencial associada à força de amortecimento viscoso?
Tipologia: Trabalhos
2017
1 / 18
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI
Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período
LUIZ CARLOS BAPTISTA GOMES
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
ITAJUBÁ
2.6- Vibração livre com amortecimento viscoso
2.6.1 Equação de movimento
A força de amortecimento viscoso, F, tem como expressão:
onde:
c – chamado constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso;
Esta força tem como característica proporcional á velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe fluido separando-as.
A figura 2.21 mostra o esquema de um sistema de grau de liberdade com amortecimento.
Se a força de amortecimento de natureza viscosa ( x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m) ao se aplicar a 2º Lei de Newton, permite que se escreva a equação:
ou
2.6.2 Solução
Resolvendo a equação (2.59), encontramos uma solução na forma:
que introduzida na equação, resulta em
isto só é possível se as raízes forem
Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.59), a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma:
Assim, a solução geral da Equação (2.59) é dada por uma combinação das duas soluções x1(t) e x2(t) :
Onde: C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.
e a solução, Equação (2.69), pode ser expressa de formas diferentes:
onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais.
As condições constantes de integração X e , são obtidas aplicando-se condições iniciais x ( t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos resolver C’1 E C’2:
A forma do movimento representado pela expressão (2.72) é um movimento harmônico com forma de frequência angular, e amplitude decrescente exponencialmente segundo o fator.
O movimento continua sendo harmônico, pois apenas uma frequência está presente. A frequência de oscilação agora não é mais a frequência natural wn e sim a chamada frequência da vibração livre amortecida, dada pela equação (2.76) e o único que resulta em um movimento oscilatório [2.10].
Caso 2. Sistema criticamente amortecido
(ȶ = 1 ou c = cc ou c /2 m = ). Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da Equação (2.68) são iguais:
Por causa das raízes repetidas a solução da Equação (2.59) é dada por [2.6]¹
A aplicação das condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ 0 para esse caso dá
E a solução torna-se
Evidenciado:
Movimento representado pela Equação (2.80) é aperiódico (isto é não periódico).
Que a forma → 0 quando t → ∞, o movimento eventualmente diminuirá até zero.
Vide Figura 2.24.
FIGURA 2.24 - Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.
2.63 – Decremento Logarítmico
Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento. Quando s possui um registro, resultado de uma medição, de um movimento vibratório, é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método de decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre dois deslocamentos medidos de um movimento vibratório livre amortecido. A Figura 2.22 mostra o registro de um movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade. Em se tratando de movimento oscilatório, então o sistema é sub-amortecido e a expressão que descreve o movimento é a (2.70). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2 é:
Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro, então t2=t1+d com d d 2 de forma que:
cosd t 2 cos2 d t 1 cosd t 1
o que torna (2.83)
e o decremento logarítmico é definido pela equação (2.84) então como:
e o decremento logarítmico é definido então como
FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s 1 e s 2.
Pra pequeno amortecimento, a equação (2.85) pode ser aproximada:
se (2.86)
A figura 2.27 mostra graficamente a relação entre e de onde se pode ver que a curva (2.85) se aproxima da reta descrita por (2.86) quando < 0.3.
Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x seguindo-se o cálculo do decremento logarítmico , por (2.86), e a seguir, o fator de amortecimento é calculado por:
Usando a equação (2.86) em vez da equação (2.85), seguimos com:
A forma (2.89) tem-se
As equações (2.91) e (2.85) resultam
Onde pode ser substituído na equação (2.87) ou equação (2.88) para obter o fator de amortecimento viscoso.
2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso
Taxa de variação de energia com o tempo é dada pela equação (2.58)
Onde assumiu que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo na equação (2.93) representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipado. Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. A energia
Resultando em W cd X, onde a expressão acima se conclui que a energia dissipada depende, além da constante de amortecimento c, também da frequência da vibração livre amortecida d e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X. A capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no inicio do referido ciclo. Escolhendo-se o inicio do ciclo, o instante de tempo em que o sistema presente possui a máxima energia cinética (também poderia ser potencial), esta pode ser dada por:
W=
A capacidade especifica de amortecimento é dada:
FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo.
O coeficiente de perda também é utilizado para representar a capacidade de amortecimento de materiais.
Coeficiente de perda
2.6.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso
Vibração torcional é entendida como a oscilação de um corpo em relação a um eixo de referência. O movimento é descrito por uma coordenada angular e os esforços atuantes se apresentam na forma de momentos. A torção de eixo circulares apresenta a relação entre momento torsor e a deformação produzida na extremidade da pela forma:
A definição do coeficiente de restituição (r) dá:
As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna é:
Resposta ao deslocamento:
Exemplo .2.
Amortecedor de choque para uma motocicleta
O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X 1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, X (^) 1,5 = X 1 /4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.
Solução:
Visto que X (^) 1,5 = X 1 /4, X 2 = X (^) 1,5 /4 = X 1 /16.
A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:
Já que X = 250 mm, a equação (E.2) dá, em t1, a Equação (E.2) dá, em t 1 ,
A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento
(E.3)
Quando t = 0
Exemplo 2.
Análise de um canhão
O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.
Solução:
A frequência natural não amortecida:
coeficiente de amortecimento crítico:
S istema criticamente amortecido:
onde
.
X(t) = 0.
A diferenciação na forma:
Para X(t) = 0 tem-se: