Se multiplicarmos um vetor por um escalar s, obteremos um novo vetor. Seu módulo é o produto do módulo de pelo valor absoluto de s. Sua direção é a direção de e seu sentido é o mesmo de se s for positivo, mas o oposto se s for negativo.

2 2 = +

a a

2. Multiplicando um vetor por um vetor:

a) Produto Escalar (Produto Interno) produz um escalar.

= ab cosΦΦΦΦ ,. lê-se “a escalar b”

Onde a é o módulo de , b é o módulo de , e Φ é o ângulo entre e.

Um produto interno pode ser considerado como o produto de duas grandezas: (1) o módulo de um dos vetores e (2) a componente escalar do outro ao longo da direção do primeiro vetor.

. = (a cós Φ)(b) = (a)(b cós Φ) . =. (propriedade comutativa)

Os vetores podem ser escritos em termos dos vetores unitários:

. = (ax + ay + az ). (bx + by + bz ) Propriedade distributiva

. = axbx + ayby + azbz

Exemplo 1

Qual é o ângulo Φ entre = 3,0 - 4,0 e = -2,0 + 3,0?

1 o^ passo: como = ab cosΦΦΦΦ , devemos determinar os módulos dos vetores e

a = = 5,

b = = 3,

2 o^ passo: como. = (ax + ay + az ). (bx + by + bz ), podemos determinar.

. = (3,0 - 4,0 ).( -2,0 + 3,0 ) = (3,0 ).( -2,0 ) + (3,0 )( 3,0 ) + (- 4,0 ( -2,0 + (- 4,0 ( 3,0 )

O ângulo entre os vetores unitários no primeiro termo ( e ) é 0o, e nos outros termos é 90o.

. = - (6,0)(1) + (9,0)(0) + (8,0)(0) – (12)(0) = - 6,

Então: -6,0 = (5,00)(3,61).cosΦ Φ = cós-1^ Φ = 109,4o

b) Produto Vetorial (Produto Externo) produz um vetor

O produto vetorial com , é escrito na forma x e produz um terceiro vetor de módulo:

c = ab sen ΦΦΦΦ, sendo = x e lê-se “a externo b”

onde Φ é o menor dos dois ângulos entre e.

Se e são paralelos, x = 0 e é máximo quando são perpendiculares.

| x | é o módulo de x

A direção de é perpendicular ao plano definido por e. (regra da mão direita)

x = - ( x ) não é válida a propriedade comutativa

x = (ax + ay + az ) x (bx + by + bz ) propriedade distributiva

EXERCÍCIOS

Três vetores são dados por = 3,0 + 3,0 – 2,0 , = 2,0 - 4,0 + 2,0 e = 2,0 + 2,0 + 1,.

Encontre (a) ( x ). ; (b) ( + ). e (c) ( + ) x.

Dois vetores, e , estão no plano xy. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320o^ e 85o, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo x. Quais são os valores de (a). e (b) x? (a) – 18,8 unidades; (b) 26,9 unidades, sentido +z
Dois vetores são dados por = 3,0 + 5,0 e = 2,0 + 4,.

Encontre (a) x , (b). (c) ( + ). e (d) a componente de ao longo da direção de. (a) 2,0 ; (b) 26; (c) 46

Use a definição de produto escalar, = ab cosΦΦΦΦ, e o fato de que. = axbx + ayby + azbz para

calcular o ângulo entre os dois vetores dados por = 3,0 + 3,0 + 3,0 e = 2,0 + 1,0 + 3,. 22 o

Um vetor tem módulo igual a 6,00 unidades, outro vetor tem módulo igual a 7,00 unidades, e

vale 14,0. Qual é o ângulo entre? 70,5o

Os vetores estão no plano xy. O vetor tem módulo 8,00 e ângulo de 130o^ (em relação a ); O

vetor tem componentes bx = - 7,72 e by = - 9,20. (a) Quanto vale 5. ?; (b) Qual é 4 x 3 em termos de vetores unitários. (a) – 83,4; (b) (1,14 x 10^3 )