Baixe Vetores e Geometria Analítica 2ª Ed. [Paulo Winterle] e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity!
VETORES E
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Paulo Winterle
a
edição
Vetores e
Geometria Analítica
2 a^ edição
Vetores e
Geometria Analítica
Paulo Winterle
2 a^ edição
©2014 by Pearson Education do Brasil
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D Roger Trimer G Kelly Tavares S Silvana Afonso C Danielle Sales C Tatiane Romano E Vinícius Souza E Rodrigo Manoel e Gisele Gonçalves P Maria Dolores D. Sierra Mata S Deborah Quintal C Pedro Gentile e Alberto Vonach Corrêa P ERJ Composição Editorial
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Winterle, Paulo Vetores e geometria analítica / Paulo Winterle. -- 2. ed. -- São Paulo : Pearson Education do Brasil, 2014. ISBN 978-85-4301-382-
- Cálculo vetorial 2. Geometria analítica
- Matemática I. Título.
CDD-512. 14-02270 -516. índices para catálogo sistemático:
- Cálculo vetorial : matemática 512.
- Geometria analítica : matemática 516.
A
experiência adquirida em mais de vinte anos de docência da disciplina me motivou a apre- sentar este trabalho, cuja ênfase é o aspecto didático. Procurei organizar um texto que per- mita ao estudante “prosseguir sozinho”, se assim o desejar, sem naturalmente prescindir da orientação do professor.
E, para tanto, como este livro foi pensado? O texto está estruturado sobre os dois grandes assuntos, intimamente relacionados, de seu título. Os “personagens” dos quatro primeiros capítulos são os vetores, cujo papel é de fundamental importância, não apenas no ensino da Matemática, também na aplicação em outras áreas. No final dos capítulos 2 e 3 encontram-se duas aplicações na Física. No Capítulo 1, a noção de vetor é apresentada de forma intuitiva, e seu estudo é realizado por meio dos Tratamentos geométrico e algébrico. Este capítulo me- receu uma atenção muito “carinhosa” e por isso mais delongada, porquanto seu conteúdo facilitará sobremaneira a compreensão do que está pela frente. Os últimos cinco capítulos são dedicados à geometria analítica. O estudo da reta, do plano e das distâncias (capítulos 5, 6 e 7), estruturado sobre vetores, pretende conduzir o estudante a interpretações geométricas de fatos algébricos. No Capítulo 8, curiosidades em torno das cônicas emolduram o assunto, e, finalmente, no Capítulo 9 pretende-se fazer entender a origem das equações das superfícies quádricas, a partir das correspondentes superfícies de revolução.
A par de uma sequência lógica dos assuntos, são apresentados 111 problemas resolvidos, que no texto estão identificados como Exemplos. Sua criteriosa seleção objetivou, na maioria das vezes, não só complementar a parte teórica, como preparar para o passo seguinte.
Como estes apaixonantes segmentos da Matemática, vetores e geometria analítica, per- mitem a visualização dos conceitos, são apresentadas 214 Figuras , que podem auxiliar em muito sua compreensão.
Além de tudo, um número expressivo e variado de Problemas propostos no final de cada capítulo, ao todo 460, proporcionará uma aprendizagem mais consistente.
A elaboração de um livro-texto com a explícita função didática voltada ao desenvolvi- mento de um trabalho acadêmico propõe-se a atingir dois alvos: o aluno e o professor, tanto dentro quanto fora da sala de aula.
Ao aluno, razão primordial do processo de ensino-aprendizagem, gostaria de me dirigir de um modo todo especial. Às vezes é bom lembrar: Vetores e geometria analítica são assuntos de vital importância na compreensão de disciplinas tais como cálculo, álgebra linear, equações diferenciais, e outras, uma vez que, além de relacionarem as representações algébricas com entes geométricos, visam desenvolver habilidades como raciocínio geométrico e visão espa- cial. Sua aprendizagem, entretanto, será tanto mais segura e consistente quanto maior for o tempo dedicado a atividades extraclasse, principalmente na solução de problemas. Ao tentar resolvê-los, sugere-se não fazê-lo de forma “corrida”, e sim saltando de dois em dois, ou de
P A R A I n í C I O D E C O n V E R S A...
S U m Á R i O
Agradecimentos ......................................................v Para início de conversa ........................................vii
1 V E T O R E S.................................. 1
O tratamento geométrico...................................... Noção intuitiva ............................................... 1 Casos particulares de vetores ......................... 3 Operações com vetores .................................. 6 Ângulo de dois vetores ................................. 12 Problemas propostos ............................. 13
z
x y
v u v u
u
(a) (b)
v v
u
O tratamento algébrico ........................................ Vetores no plano ......................................... 17 Igualdade de vetores ..................................... 20 Operações com vetores ................................ 20 Vetor definido por dois pontos.................... 22 Ponto médio ................................................. 26 Paralelismo de dois vetores .......................... 27 Módulo de um vetor .................................... 27 Vetores no espaço ........................................ 30 Igualdade – operações – vetor definido por dois pontos – ponto médio – paralelismo – módulo de um vetor ...... 35 Problemas propostos ............................. 38
2 P R O D U T O E S C A L A R.......... 4 7
Definição algébrica ...................................... 47 Propriedades do produto escalar ............. 48 Definição geométrica de produto escalar ......................................................... 50 Cálculo do ângulo de dois vetores ........... 54 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor ............................................... 56 Projeção de um vetor sobre outro ........... 59 Interpretação geométrica do módulo do produto escalar................................... Produto escalar no plano ........................... 62 Uma aplicação na Física ............................. 63 Problemas propostos ......................
(a) (b)
u
v 2
u
v
v 1
θ v 1
v v 2
θ
v
π u
v u
u v
4 P R O D U T O m i S T O............. 9 3
Definição ........................................................ 93 Propriedades do produto misto................ Interpretação geométrica do módulo do produto misto ..................................... Volume do tetraedro ................................... Problemas propostos ......................
w
v
u
v ×w
h θ h
3 P R O D U T O V E T O R i A L......... 7 3
Preliminares.................................................... Definição do produto vetorial ................... 74 Características do vetor u^ → × v^ → ................... 76 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial ................................. 79 Uma aplicação na Física ............................. Problemas propostos ......................
x
V e t o r e s e g e o m e t r i a a n a l í t i c a
8 C ô n i C A S........................ 1 6 7
As seções cônicas ........................................ Parábola ......................................................... Definição.............................................. Elementos ............................................ Equações reduzidas ............................. Translação de eixos .............................. Outras formas da equação de parábola......................................... Equações paramétricas........................ Problemas propostos ....................
O O O
(a) (b) (c)
O O
(a) (b) Elipse ............................................................. 186 Definição.............................................. Elementos ............................................ Equações reduzidas ............................. Outras formas da equação da elipse ... Equações paramétricas........................ Problemas propostos ....................
Hipérbole ...................................................... Definição.............................................. Elementos ............................................ Equações reduzidas ............................. Outras formas da equação da hipérbole .................................. Equações paramétricas........................ Problemas propostos .................... Curiosidades .................................................
9 S U P E R F í C I E S q U á D R I C A S 2 2 3
Introdução..................................................... Superfícies de revolução ........................... Elipsoides....................................................... Hiperboloides .............................................. 228 Paraboloides ................................................. 231 Superfícies cônicas...................................... Superfícies cilíndricas................................ 234 Problemas propostos .................... O
z
x
−b b y
B I B L I O G R A F I A...................... 2 4 3
O O O
(a) (b) (c)
xii
V e t o r e s e g e o m e t r i a a n a l í t i c a
V E T O R E S
Com o propósito de garantir maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetoresvetores é feita por meio de dois tratamentos que se completam: o geométrico e o algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é possibilitar, predominantemente, a visua lização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros são abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato.
O TRATAmEnTO GEOméTRICO
noção intuitiva
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unida- de adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3 m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm^3 ou que a temperatura ambiente é de 30 °C, determinamos perfeitamente essas grandezas.
Existem, no entanto, grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas ve- toriais, que, para serem perfeitamente caracterizadas, necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.
Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as ideias de direção e de sentido. A Figura 1.1(a) apresenta três retas. A reta r 1 determina, ou define, uma direção. A reta r 2 determina outra direção, diferente da direção de r 1. Já a reta r 3 , por ser paralela a r 1 , possui a mesma direção de r 1. Assim, a noção de di- reção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas paralelasretas paralelas têm a mesma direção.
Na Figura 1.1(b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. O desloca- mento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos associar dois sentidos. Fica claro, então, que só podemos falar em “sentidos iguais” ou em “sentidos contrários” caso estejamos diante da mesma direção.
AB
ou B − A
em que A é a origem e B a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado
por uma letra minúscula encimada por uma seta, tal como v.
Quando escrevemos v = AB
(Figura 1.4), afirma- mos que o vetor v é determinado pelo segmento orien- tado AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v. Assim, cada ponto do espaço pode ser considerado como orgem de um
segmento orientado que é representante do vetor v. Essa é a razão de o vetor também ser chamado de vetor livre , no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto.
Ainda, dados um vetor
v = AB
e um ponto P, existe um só ponto Q (Figura 1.5) tal que o segmento orientado PQ tenha o mesmo com- primento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos também v = PQ
, o que reforça o fato de que um representante de v pode ter sua origem em qualquer ponto P do espaço.
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de v por | v| ou || v||.
Casos particulares de vetores
a) Dois vetores u e v são paralelos , e indica-se por u// v, se os seus representantes tive- rem a mesma direção. Na Figura 1.6, tem-se u// v// w , na qual u e v têm o mesmo sentido, enquanto u e v têm sentido contrário ao de w.
b) Dois vetores u e v são iguais , e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.
c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é
indicado por 0
ou AA
(a origem coincide com a extremidade). Pelo fato de esse vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.
d) A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto − v, de mesmo módulo e
mesma direção de v, porém, de sentido contrário (Figura 1.7). Se v = AB
, o vetor BA
é o oposto de AB
, ou seja, BA
= − AB
.
B
A
v
Figura 1.
Figura 1.
B Q
A P
C a p í t u l o 1
V e t o r e s
u v
w Figura 1.
v −v
Figura 1.
e) Um vetor u é unitário se | u | = 1. A cada vetor v , v ≠ 0
, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v : u e − u (Figura 1.8). Nesta figura, tem-se | v | = 3 e | u| = |− u| = 1. O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v
. Na verdade o vetor u não é versor só de v, mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade. f ) Dois vetores u (^) e v (^) (Figura 1.9(a)) são ortogonais, e indica-se por u (^) ⊥ v, se algum representante de (^) u formar ângulo reto com algum representante de v.
A Figura 1.9(b) apresenta dois representantes de u e v, com origem no ponto A,
formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor.
v
u −u Figura 1.
A (^) u
v
u
v
(a) (b) Figura 1.
g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano no qual esses vetores estão representados. É importante observar que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares , pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de u e v pertencendo ao plano π (Figura 1.10) que passa por aquele ponto. No caso de u e v serem não para- lelos, como nessa figura, esses vetores determinam a “direção” do plano π, que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos.
π v
u
P
4^ Figura^ 1.
V e t o r e s e g e o m e t r i a a n a l í t i c a
2. A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
H
C
A B
E D F
G
Figura 1.
a) DH
= BF
b) AB
= −HG
c) AB
⊥ CG
d) AF
⊥ BC
e) | AC
| = |HF
|
f) |AG
| = | DF
g) BG
// ED
h) AB
, BC
e CG
são coplanares
i) AB
, FG
e EG
são coplanares
j) EG
, CB
e HF
são coplanares k) AC
, DB
e FG
são coplanares
l) AB
, BG
e CF
são coplanares
m) AB
, DC
e CF
são coplanares
n) AE
é ortogonal ao plano ABC
o) AB
é ortogonal ao plano BCG
p) DC
é paralelo ao plano HEF
Respostas
a) V d) V g) F j) V m) V p) V b) F e) V h) F k) V n) V c) V f) V i) V l) F o) V
OPERAÇÕES COm VETORES
Adição de vetores Consideremos os vetores u e v, cuja soma u
v pretendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer (Figura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento orien- tado AB representante do vetor u. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de v. O vetor representado pelo segmento orientado de
V e t o r e s e g e o m e t r i a a n a l í t i c a
Figura 1.
A
B u
v
u v
origem A e extremidade C é, por definição, o vetor C
soma de u e v , ou seja, u^ + v = AC^ ^ ou AB
= AC
Sendo u // v, a maneira de obter o vetor u +
v é
a mesma e está ilustrada na Figura 1.15(a) ( u e
v de
mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) ( u e v de sentidos contrários).
v
u v u
u
(a) (b)
v
v
u
Figura 1.
No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há outra maneira de encontrar o vetor soma
u^ + ^ v. Representam-se u = AB^ ^ e ^ v^ = AD^ ^ por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o paralelo- gramo ABCD (Figura 1.16), e o segmento orientado de origem A, que corresponde à diagonal do paralelogramo,
é o vetor u + v , ou seja,
u^ + ^ v^ = AC^ ^ ou AB^ ^ + AD^ ^ = AC^ Para o caso de determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é aná- logo (Figura 1.17(a)) e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 1.17(b)), a soma
será o vetor zero ( u + v
w
t = 0
).
v
u t
w w
w (a) (b)
u
u u
v
v v
Figura 1.
Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: I) Comutativa: u + v = v + u II) Associativa: ( u + v) + w = u + ( (^) v + (^) w)
A B
D C
u
v (^) u v
Figura 1.
C a p í t u l o 1
V e t o r e s
